二阶导数的意义

1、二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的 变化率（如物理上的加速度等）（2）函数的凹凸性。（3）判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶 导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为 极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。驻点的数学含义：函数的导数为o的点称为函数的驻点，驻点可以划分函 数的单调区间。驻点和拐点的区别在驻点处的单调性可能改变，而在拐点处凹凸性肯定改 变。拐点：二阶导数为零。（且三阶导不为零）驻点：一阶导数为零。二阶 导数为零时，一阶不一定为零；一

2、阶导数为零时，二阶不一定为零。（拐点不一定是驻点）（驻点也不一定是拐点）、用二阶导数判断极大值或极小值定理讼 f（X）ft 0 二阶可瓠且 f<x0'o-f <x0' °.f O q f % xo 輛帕几，则“在L取得极小值.1例 试问a为何值时，函数Sy严在x处取得极33值？它是极大值还是极小值？求此极值.解 f (x) acosx cos3x又当0,a 2 时，f从而有a 1 o,即a 2.9(x) 2sinx 3sin3x ,且'月以f(x)2sin x；sin 3x在x，处取得极大值，且f( ) 3极大值x厲戍祈a3x2 9x，的极大值与极

3、小值.解f (x)在2, 4上连续，可导.令f (x) 3x2 6x 9 3 (x 1) (x 3) 0,得x 1和x 3,思考：f(x)在x 1取得极大还是极小值？在X 3取得极大还是极小值?f ' (x) 6x 6-1代入二阶导数表达式为T2, f (x)在x 1取得极大值3代入二阶导数表达式12,在x 3取得极小值 二、函数图像凹凸定理若2在一内二阶可导，则 曲线y f (x)在(a, b)内图像是凹曲线的充要条件是f(a, b) 曲线y f (x)在要条件是f(a, b)内图像是凸曲线的充(a., b) o几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f(x) 0恒成

4、 立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连岀的一条 线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。1 .曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了 函数变 化的大致情况.但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图 形，虽然从左到而图1一2中的曲线为向上y toXf(x)位于其每点处切线右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同.如图1一1中的曲线为 向下凸，图11定义 设y f (x)在(a, b)内可导，若曲方，则称它为在G, b)内下凸(或上凹)；若f (x)位于其每点处切线的下方, 曲线y则称它在G,b)内上凸(或下凹).相应地，也称函

5、数y f(x)分别为(a,b)内的下凸函数和上凸函数(通常把上凸 函数称为凸函数)根据函数图象判断：一般开口向下的二次函数是凸函数，开口向上的二 次函数是凹函数。在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分 总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如y二-x八2, y二lnx。不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反 的。Convex Function在国内的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函 数。在国内涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和国外的提法是一致 的，也就是和单纯的数学教

6、材是反的。很头大的问题。另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。般来说，可按如下方法准确说明:1. f ( X xl+- (XI 向原点”，或“下凸”2> f ( X xl -(入 1 向原点”，或“上凸”为“凸为“凹)x2) <= X f (xl) +- X (1) f (x2),即 V 型, (也可说上凹)，(有的简称凸，有的简称凹)x2) >= X f (xl) +- X (1) f (x2), 即 A 型, (下凹)，(同样有的简称凹，有的简称凸)凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义。通常我们把函数f的图象画在第1象限，站在x坐标轴

7、的角度，看上 方的图象，f>0的函数是“凸”的；一代宗师Hardy的Inequalities 书中就这么认为的。但是，当大官是往往站在咼处，看下去就是凹的；国人 文字“凹”也对应f>0的函数图象。我想：中国教育部的官员若下规定的 话，必定与Hardy相反。从图11和图12明显看岀，下凸曲线的斜率tan f (x)(其中为切 线的倾角)随着X的增大而增大，即f ( X)为单增函数；上凸曲线斜率f(X) 随着X的增大而减小，也就是说，f (x)为单减函数.但f(X)的单调性 可由二阶导数f(X)来判定，因此有下述定理.定理若f(x)在(a, b)内二阶可导，则曲线y f(x)在(a,b

8、)内下凸(凹函数)的充要条件是f (x) 0x (a, b) 2例1讨论高斯曲线y e 的凸性.解 y 2xex, y 2(2x2 l)e x 所以当2x2 10 ,即当x ,或x 巴 0；当2x2 1 o ,即当 x ：时y o因此在区间（j与（，）内曲线下凸；在区间0 :）内曲线卜 导数的意义导数是高中数学的新增内容之一，在高中阶段的引入意义深远，利用导 数既可从更深的角度来研究函数性质，又可更广泛地联系其他学科，体现 数学学科的基础性。、一阶导数的几何意义与物理意义1）函数在点处的导数的几何意义：表示曲线 在点处的切线的斜率2）函数在点处的导数的物理意义：指函数 在 处对自变量x的变化率

9、。在很多物理量中都是借助变化率定义的。例如，角速度是角度（作为时间的函数）对时间的变化率；电 流 是电量（作为时间的函数）对时间的变化率；瞬时功率是功（作为时间的 函数）对时间的变化率；瞬时电动势是磁通量（作为时间的函数）对时间的 变化率。最常用的是瞬时速度，若S = S （t ）,则物体在时刻的瞬时速 度O二、二阶导数的物理意义函数的二阶导数指对自变量X的变化率。在物理量中最常用的为瞬时加速度，若则物体在t时刻的加速度、与的意义(1)的意义：若函数在某个区间内可导，表示在这个区间内为增函数；(2)的间义：若函数在某个区间内可导，表示在这个区间内为减函数。四、的意义的意义：如果在某个区间内恒有，则为常函数。是有极值的 必要条件。(1)求极值。求可导函数 的极值步骤：1求导数2求方程的根；3检查在方程根左右的值的情况，如果