函数极限连续06297实用教案

1、函 数的定义(dngy)反函数反函数与直接(zhji)函数之间关系基本初等(chdng)函数复合函数初等函数函 数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数第一章 函数 主要内容第1页/共58页第一页，共59页。一、一、 函数函数(hnsh)1. 函数(hnsh)的概念定义(dngy): 定义域 值域图形:( 一般为曲线 )设函数为特殊的映射:其中求函数的定义域 P9: 2题第2页/共58页第二页，共59页。2. 函数函数(hnsh)的的特性特性有界性 ,单调(dndio)性 ,奇偶性 ,周期性3. 反函数设函数(hnsh)为单射,反函数为其逆映射4. 复合函数给定函数链则复

2、合函数为5. 初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数.第3页/共58页第三页，共59页。2. 函数的几种函数的几种(j zhn)特性特性设函数(hnsh)且有区间(q jin)(1) 有界性使称 使称 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (2) 单调性为有界函数.在 I 上有界. 使若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界.称 为有上界称 为有下界当时,称 为 I 上的称 )(xf为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .xy1x如:y=1/x在(0,1)和 第4页/共58页第四页，共59页。xyoxx(3) 奇偶性奇偶性且有若则称 f

3、(x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明(shumng): 若在 x = 0 有定义(dngy) ,为奇函数时,则当必有定义域关于原点对称(duchn)图像关于y轴对称图像关于原点对称第5页/共58页第五页，共59页。(4) 周期性周期性且则称为周期函数(zhu q hn sh) ,to)(tf2xo2y2若称l为周期(zhuq)( 一般(ybn)指最小正周期 ).周期为 周期为注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数第6页/共58页第六页，共59页。4. 反函数与复合反函数与复合(fh)函数函数(1) 反函数的概念(ginin)及性质若函数(hnsh)为单射,则存

4、在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数 .其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增且也单调递增 性质: 第7页/共58页第七页，共59页。2) 函数(hnsh)与其(yq)反函数的图形关于(guny)直线对称 .例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线xy 对称 .),(abQ),(baPxyo指数函数第8页/共58页第八页，共59页。(2) 复合复合(fh)函数函数 则设有函数(hnsh)链称为由, 确定的复合(fh)函数 , 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 :函数但函数链不能构成复合函数

5、 .可定义复合第9页/共58页第九页，共59页。5.初等(chdng)函数(1) 基本(jbn)初等函数(六大类)幂函数、指数函数(zh sh hn sh)、对数函数、三角函数、反三角函数(2) 初等函数由基本初等函数否则称非初等函数 . 例如 ,构成 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所称为初等函数 .又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .常数函数、第10页/共58页第十页，共59页。 初等(chdng)函数2.幂函数3.指数函数(zh sh hn sh)5.三角函数(snjihnsh)1.常值函数4.对数函数6.反三角函数第11页/共58页第十一页，共59页

6、。一、基本初等(chdng)函数常值函数(hnsh)oxy1.常值函数(hnsh)constant function其中C是常数定义域值域第12页/共58页第十二页，共59页。幂函数oxy2.幂函数(power functions )定义域值域都过点(1,1)第13页/共58页第十三页，共59页。xay xay)1( a3.指数(zhsh)(exponential function) 指数函数(zh sh hn sh)定义域值域都过点(0,1)第14页/共58页第十四页，共59页。4. 对数函数(du sh hn sh)xyalog)1( a(logarithmic function)定义域值

7、域都过点(1,0)自然对数a=e=2.71828时第15页/共58页第十五页，共59页。正弦(zhngxin)函数5. 三角函数(snjihnsh)定义域值域),(周期(zhuq)奇偶性 奇函数 单调性 第16页/共58页第十六页，共59页。余弦(yxin)函数定义域值域 1 , 1),(周期(zhuq)奇偶性 偶函数 单调(dndio)性 第17页/共58页第十七页，共59页。正切(zhngqi)函数定义域值域周期(zhuq)奇偶性 奇函数 单调(dndio)性 第18页/共58页第十八页，共59页。余切(yqi)函数定义域值域周期(zhuq)奇偶性 奇函数 单调(dndio)性 第19页/

8、共58页第十九页，共59页。正割(zhngg)函数定义域值域周期(zhuq)2奇偶性 偶函数 单调(dndio)性 第20页/共58页第二十页，共59页。余割(yg)函数定义域周期(zhuq)奇偶性 奇函数 单调(dndio)性 23值域2第21页/共58页第二十一页，共59页。6. 反三角函数(snjihnsh)定义域值域 1 , 1奇偶性 奇函数 单调(dndio)性 第22页/共58页第二十二页，共59页。定义域值域 1 , 1单调(dndio)性 第23页/共58页第二十三页，共59页。定义域值域奇偶性 奇函数 单调(dndio)性 ),(第24页/共58页第二十四页，共59页。xyc

9、ot 反余切函数反余切函数arcxycot arc定义域值域单调(dndio)性 ),(第25页/共58页第二十五页，共59页。极 限的定义(dngy)数 列函 数数列极限与函数(hnsh)极限之间关系四则运算(s z yn sun)无穷小无穷大无穷小比较极 限的性质唯一性有界性保号性极限存在准则两个重要极限极限第26页/共58页第二十六页，共59页。注意(zh y)：极限定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正整数 ,使得对于 时的一切 ,不等式 都成立,那么就称常数(chngsh) 是数列 的极限,或者称数列收敛于 ,记为 或如果数列没有(mi yu)极限,就说数列是发散的

10、.数列第27页/共58页第二十七页，共59页。总有总有有界:无界:下界(xi ji):上界:第28页/共58页第二十八页，共59页。收敛数列收敛数列(shli)的性质的性质性质(xngzh)1（极限的唯一性）收敛数列(shli)的极限必唯一.收敛数列必为有界数列.性质2（有界性）反之不一定成立推论 无界数列则必发散性质3（保序性）推论1（保号性）推论2第29页/共58页第二十九页，共59页。性质4（收敛数列(shli)与其子数列(shli)间的关系）发散数列判别法:1. 无界数列必定(bdng)发散.2. 一子列发散,则数列发散.3. 两子列收敛到不同的极限,则数列发散.性质(xngzh)5

11、(夹逼准则)第30页/共58页第三十页，共59页。单调增加有上界(shngji)数列有极限；单调(dndio)减少有下界数列有极限。性质6 (单调有界收敛(shulin)准则)第31页/共58页第三十一页，共59页。函数(hnsh)极限第32页/共58页第三十二页，共59页。函数极限的统一(tngy)定义(见下表)第33页/共58页第三十三页，共59页。过 程时 刻从此时刻以后 x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过 程时 刻从此时刻以后 )(xf Axf)(第34页/共58页第三十四页，共59页。左极限(jxi

12、n)右极限(jxin)(right-hand limit)(left-hand limit)定理(dngl)第35页/共58页第三十五页，共59页。函数极限(jxin)的性质定理2（函数(hnsh)极限的局部有界性）定理(dngl)1（函数极限的惟一性）(注:对于六种极限形式都成立只要做相应的修改即可,可类似证明) 若存在，那么该极限是唯一的，若那么存在常数 M 0,()fxM0 ，和使得当00 xx ，有xlimxlim第36页/共58页第三十六页，共59页。推论(tuln)3.不等式性质(xngzh)定理(dngl)(保序性)注意:若将小于等于改成小于,极限式子也不可以改成小于.第37页/

13、共58页第三十七页，共59页。定理(dngl)(局部保号性)推论(tuln)注意:若将小于等于(dngy)改成小于,极限式子也不可以改成小于.第38页/共58页第三十八页，共59页。4 夹逼准则(zhnz)第39页/共58页第三十九页，共59页。一些基本(jbn)初等函数的极限第40页/共58页第四十页，共59页。00,0,0 |Mxx当时,00,0,0 |Mxx当时,所有(suyu)以为极限的函数(包括(boku)数列)都称为在某个趋势下的无穷大无穷大无穷小第41页/共58页第四十一页，共59页。定理1 在自变量的同一(tngy)变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意(zh y)无

14、穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理(dngl)2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1 在自变量的同一变化过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则定理4.在自变量的同一变化过程中,第42页/共58页第四十二页，共59页。无穷大量无穷大量(dling)的运算性质的运算性质(1)有限(yuxin)个正无穷大量之和为正无穷大量； 有限(yuxin)个负无穷大量之和为负无穷大量。(2)有限(yuxin)个无穷大量之积为无穷大量。(3)非0常量C与正无穷大量之积为无穷

15、大量。(4)无穷大量与有界量之和为无穷大量。 特别地，无穷大量与常量C之和为无穷大量。注：两无穷大量之和或差不一定为无穷大量。注：无穷大量与有界量之积不一定为无穷大量，无穷大量与无穷小量（或无穷大量）之商不一定为无穷大量。第43页/共58页第四十三页，共59页。无穷小无穷小无穷小的性质(xngzh) ;无穷小的比较(bjio) ;常用(chn yn)等价无穷小: ;x;x;x第44页/共58页第四十四页，共59页。 极限极限(jxin)的四则运算法的四则运算法则则则有定理(dngl) 1 . 若定理(dngl) 2 . 若则有定理 3 . 若且 B0 , 则有定理5. 设且 x 满足时,又则有

16、第45页/共58页第四十五页，共59页。(2) ,消去(xio q)零因子法1. 极限(jxin)四则运算法则2. 求函数极限(jxin)的方法 (3) 对 型 , 约去公因子 ,分子分母同除分母最高次幂Th1Th2Th3Th4总结 (4) 型(无穷小因子分出法)(5)无穷项之和,变形后求极限(1)多项式与分式函数(分母不为0)代入法求极限(7)利用左右极限求分段函数极限(6)利用无穷小、无穷大运算性质求极限(8) 复合函数极限求法设中间变量洛必达法则洛必达法则第46页/共58页第四十六页，共59页。其他其他(qt)未定式未定式:解决(jiju)方法:通分转化0取倒数(do sh)转化0010

17、取对数转化00为非负常数 )一般有如下结果：第47页/共58页第四十七页，共59页。 两个重要(zhngyo)极限 e)11(lim)2(或e1)1(lim0注: 代表相同的表达式填空题 ( 14 )第48页/共58页第四十八页，共59页。求极限(jxin):能否直接(zhji)使用洛必达法则:第49页/共58页第四十九页，共59页。连续性间断(jindun)点间断(jindun)点的分类基本初等(chdng)函数反函数复合函数初等函数连续性定义间断点定义闭区间上连续函数性质连续第50页/共58页第五十页，共59页。对自变量的增量对自变量的增量(zn lin)有函数(hnsh)的增量)(xfy

18、 xoy0 xxxy左连续(linx)右连续当时, 有函数)(xf在点连续有下列等价命题:连续第51页/共58页第五十一页，共59页。定理2. 连续(linx)单调递增 函数的反函数连续函数的运算连续函数的运算(yn sun)法则法则定理1. 在某点连续(linx)的有限个函数经有限次和,差,积 ,商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .(递减).递增(递减)也连续单调定理3. 连续函数的复合函数是连续的.定理3.初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续第52页/共58页第五十二页，共59页。二、二、 函数函数(hnsh)的间断点的间断点在在(1) 函数(hnsh)(2) 函数(hnsh)不存在;(3) 函数存在 ,但 不连续 :设在点的某去心邻域内有定义 ,则下列情形这样的点之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点 . 在无定义 ;第53页/共58页第五十三页，共59页。间断间断(jindun)(jindun)点分