概率统计总复习资料

1、概率论部分1 古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。例1:袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个 白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B=取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球样本空间的样本点总数：n二=5005事件 B包含的样本点：r =：C4C；C5=24O，则 P（B）=240/5005=0.048例2:在09十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：Ait =5040，设B=能排成一个四位偶数。若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有 5种选法； 其余三位数则在

2、余下的九个数字中任选，有种选法；从而共有5A：=2520个。其中，千位数为0的四位偶数”有多少个？此时个位数只能在 2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4 种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有 A种选法；从而共有4A；=2245A3 _4A2个。因此 P（B） J - =2296/5040=0.4562. 概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。例 1:事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.5，P(B)=0.6，求:P(AB)，P(A- B)，P(A B) 解：P(AB)= P(A)P(B)=0.3, P(A- B)= P(A)-

3、P(AB)=0.2，P(A B)= P(A) + P(B)- P(AB)=0.8 例 2： 若 P(A)=0.4, P(B)=0.7,P(AB)=0.3,求：P(A- B), P(A B)，P(A| B)，P(A| B)，P(A| B) 解：P(A- B)=0.1, P(A B)=0.8, P(A| B) =3/7, P(A | B) = P(B P(AB) =4/乙P(B)P(B)P(B)P(A|B)=P=P(C) =2/3P(B) 1 -P(B)3. 准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和 0.1,某顾

4、客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： （1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买 下的该箱中，没有残次品的概率。4C1812C2401 9解:设事件A表示“顾客买下该箱”，Bi表示“箱中恰好有i件次品”，i = 0,1,2。则P（B。）= 0.8 ,P(BJ =0.1 , P(B2)=0.1 , P(A|B。)才,由全概率公式得2P(A)二' p(BJP(A|Bi)二i =00.8 1 0.1 - 0.1 12519= 0.94 ；由贝叶斯公式P(B0 | A)二0.8 1=0.85P(A)0.944. 随机

5、变量及其分布 (1) 一维离散型例：随机变量X的分布律为.X1234pk2kP 3k4k :确定参数k求概率 P(0<X<3), P(1<X<3)求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y =(X -3)2的分布律及期望E(X -3)2解：由卩匚=1,有 k+ 2 k+ 3 k+ 4 k =1 得 k =0.1iP(0<X<3)= P(X=1) + P(X=2)=0.3, P(1<X<3)= P(X=2)=0.2 0 x <10.11 _ x ： 2F(x) =0.3 2 兰x<30.6 3 込 x ： 41 x _422

6、22E(X) Xi p =3, E(X )人 pi =10, D(X)=E(X ) _(E(X) =1iiY014 'P0.30.60.1E(X -3)2=1(2) 一维连续型 例：已知随机变量X的概率密度为f(x)=kx°：x：2 ,、0 其他确定参数k求概率P(1<X<3)求分布函数F(x)求期望E(X),方差D(X)求函数Y,X的密度函数及期望E(. X)解：由 f(x)dx=1，有_f(x)dx= kx2dxk=1, 得 k=3/80332 32P(1<X<3)= i f (x)dx = x dx=7/8.8 0 x 兰03F(x) = &am

7、p; 0cxc28 、1 x 艺2be2 3-be2 3E(X)二.xf (x)dx= 0 x3dx=3/2, E(X2)=.二x2f(x)dx= q-x4dx=12/5 D(X)= E(X2) -(E(X)2=3/20f()3y50 cy 龙72f(y) = 4 0 其他E(、X)= j :Jx f (x)dx = o # x2dx 二2(3)二维离散型例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率 P(X<Y)， P(X=Y)求边缘分布律 P(X=k) k=0,1,2 和 P(Y=

8、k) k=0,1,2,3求条件分布律 P(X=kY=2)k=0,1,2 和 P(Y=k|X=1)k=0,1,2,3求期望 E(X), E(Y)，方差 D(X), D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数'xy，判断是否不相关求 Z=X+Y, W=maxX, Y，V=minX, Y的分布律解：P(X<Y)=0.7,P(X=Y)=0.2 X 的分布律X012P0.50.20.3丫的分布律丫0123P0.10.20.30.4X的条件分布律XY=2012P1/21/61/3丫的条件分布律Y|X=10123P0.150.250.250.35E(X)二二 人卩耳=0.8, E(X2)= 才

9、卩耳=1.4, D(X)= E(X2)-(E(X)2=0.76i ji jE(Y)八 ' yj Pj =2, E(Y2)八 ' y2Pj =5, D(Y)=E(Y2)-(E(Y)2=1i ji jE(XY)八 x yj py =1.64, cov(X,Y)= E(XY) E(X )E(Y) =0.04i j_ cov(X,Y)xy0.046 相关.D(X)、D(Y)Z=X + Y的分布律Z012345p0.050.130.220.30.170.13W=maxX, Y的分布律W0123P0.050.180.370.4V=minX, Y的分布律V012P0.550.220.23(4

10、)二维连续型0例：已知二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x,y) = *2cx y,0,x1 2:y : 1其它'确定常数c的值；求概率P(X<Y)求边缘密度fx(x)，fY(y)，判断X,Y是否相互独立 求条件密度 fxY(x | y)， fY|x (y | x) 求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数；y，判断是否不相关cx2ydy =1，得 c=21/4: : 1 解：由f(x, y)dxdy=1,有匚.J (x, y)dxdy = dx xfx (x)=fY(y)1 21 2 x27xy 211ydy x802(1x4

11、)1 空 x 1其它y 21 27-_ x ydx = $ y_y 4-0X与Y不独立f (x, y) 3 2x v fx|Y(x| y)詔 fY(y)2 y0乞y乞1其它-y乞x冬y其它f(x,y) _ 8yfY|X (y | X)=匸 fx (x)1 - x40e(x)二: 1= = xf(x, y)dxdy= .d2 -be -be 2E(X2)x2f (x, y)dxdy =其它1 21 3 dx x2 x ydy =0x 41 211'214二 dx 2 x ydy =7/15D(X)= E(X2) _(E(X)2=7/15121 2 2x y dy =7/9 422121E

12、(Y )f(x,y)dxdy= /Xx2D(Y)=E(Y2) - (E(Y)2 =28/891e(丫)7mmf(x,y)dxdy=./x xx2y3dy =7/114'x3y2dy =04:11E(XY) = J J xyf (x, y)dxdy= J1dxf2.1x2cov(X,Y)=0, Ly=O, X 与 丫不相关5. 会用中心极限定理解题。例1:每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为 2,方差为1.52，求在100次射击中有180到 220发炮弹命中目标的概率.例2:设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒 发芽的概率。解：设这批种子

13、发芽数为X，则X B(1000,0.9)，由中心极限定理得所求概率为PX _880880二 90°) =1 - ：(-2.108) =2(2.108) =0.9826 ,90数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1. 统计量的判断。2. 计算样本均值与样本方差及样本矩。3. 熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理4. 会求未知参数的矩估计、极大似然估计。+1 h日 0 v x C 1例：设总体X的概率密度为f(x)=卄宀，X1,，Xn是来自总体X的一个样本,0,其匕求未知参数二的矩估计量与极大似然估计量.5. 掌握无偏性与有效性的判断方法。例：设X!,X2,X3是来自总体X的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计13111131XiX2X3 ； (X1X2X3)；X1X2 -X3 ；(X1X2)； X1 X2 X35102323412求出方差，比较哪个更有效。6. 会求正态总体均值与方差的置信区间。7理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。例：设XN(U,；2) , u和二2未知，(X1,，Xn)为样本，(X1,xn)为样本观察值。试写出 检验u与给定常数U0有无显著差异的步骤；试写出检验匚2与给定常数匚0比较是否显著偏 大的步骤。解:(1) 1.提出假设 H :u=u,H1：u=u2. 选取统