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1、精品文档精品文档第二章复习与思考题1什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？答：若n次多项式lj x （j =0,1，n）在n 1个节点x。：为：:：冷上满足条件j,k =0,1,n,则称这n 1个n次多项式I。X丄x ,，In x为节点Xo,X1，Xn上的n次拉格朗日插值以lk x为例，由lk x所满足的条件以及lk x为n次多项式，可设I k x = A X - X。.1 IX - XkX - Xk 1 X - Xn ，其中A为常数，利用Ik xk =1得1=AXk-XoXk-XkXk-Xk1Xk-Xn，1Xk -X。Xk - XkXk -Xk1Xk - XnL(x)二

2、X _X。X _xk j X - xk 1 X - 焉(兀X。)八(兀Xk4 Ixk Xk* r(xk Xnj=。j-*X _ XjXk _Xjn对于 lj x （i 二。,1，,n），有 v Xjklj x 二 xk k 二。,1，n，特别当 k 二。时，有i=。n- li X = 1 i £2什么是牛顿基函数？它与单项式基0X,，Xnf有何不同？答：称"-1,x-X。，X-X。X -X1，,X -X。！X -Xnd；为节点X。，为，,Xn 上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点x。，/，,xn上的n次牛顿插值多项式 巳x可以表示为Pn X =a。 a1 x x。an x

3、x。x其中ak = f k°,x1,，xk !k =。,1，n与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如Pk 1 X = Pk X ak 1 x-x。 X - Xk ,其中ak i是节点Xo,X!，Xki上的k 1阶差商，这一点要比使用单项式基 1,x,xn 方便得多3什么是函数的n阶均差？它有何重要性质？答： 称 f &0, Xk L -f-Xkf X0 为函数 f X 关于点 Xo, Xk的一阶均差，xk 一 X0f Xo,Xi, Xk丄f X" Xkf Xo，Xl 为f X 的二阶均差.一般地，称Xk %Xo

4、"，Xnf X。，Xn,XnL f Xo,Xi,一为f X的n阶均差.Xn _ Xn均差具有如下基本性质:(1) n阶均差可以表示为函数值f X。，f Xi , f Xn的线性组合，即nXo,Xi,Xnj=0f (Xj )Xj Xo Xj XjXj Xj 1Xj Xn该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性f X0, X1,Xn 1 =f Xi,X2, ,XnL fXo,Xi，Xnl(3)若f x在a,b上存在n阶导数，且节点Xo,Xi/ ,Xna,b 1， 则n阶均差与n阶导数的关系为4写出n 1个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同?答：给定区间

5、a,b I上 n 1a Xo叮X叮叮Xn _ b上的函数值丫)二f Xj (i =0,1，n)，则这n V个节点上的拉格朗日插值多项式为nLn x i；» yk x ,k =ok =0,1, n., n X - Xi 其中 lk(x)= 口 U (Xk Xj j "k这n 1个节点上的牛顿插值多项式为Pn X =ao y X Xo 厂 亠 an X Xox x.,其中ak = f lx°,Xi， 入k =0,1，,n为f x在点x°,Xi，Xk上的k阶均差.由插值多项式的唯一性，Ln x与Pn x是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具

6、有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效， 因而牛顿插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点5插值多项式的确定相当于求解线性方程组Ax = y，其中系数矩阵 A与使用的基函数有关.y包含的是要满足的函数值Yo，yi/ ,yn T.用下列基底作多项式插值时，试描述矩阵A中非零元素的分布(1)单项式基底；(2)拉格朗日基底；(3)牛顿基底答： 若使用单项式基底，则设 Pn x二a0飞必川“心乂，其中a01a1/' ,an为待 定系数，利用插值条件，有'a。乜必 + +anX； = y°ao - aiXi -anX：.a。+印人 + +anX： =yn因此，求

7、解Ax = y的系数矩阵A为1Xo1为 A =1Xn为范德蒙德矩阵XonX1nXn(2)若使用拉格朗日基底，则设Ln x =a°lo x 叭 x a.ln x，其中 L x 为 拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有”aolo(x° )+a1(Xo+an(xo )=y°aolo X1a*1 %an 为二 Iaolo Xna1 Xnan Xn 二 y.由拉格朗日插值基函数性质，求解 Ax =y的系数矩阵 A为10 00 1 0 A =I A< A Ji A J A0 0 1为单位矩阵(3)若使用牛顿基底,则设 Pn x 二 a。 a! X X。F：；川 an X

8、 X。xx.,由插值条件，有a0 * ai (X0 - 冷)+ * an (x0 - 冷 J (x0 - xn)=y0a° +c(X! X0 )+an(X! X0厂区)= yya° y Xn -x° an Xn -X0 Xn - Xn=y.a0 = y0a° pg x° )=% a° y Xn -X0 产 亠 an Xn -X0 Xn - Xnl=yn故求解Ax二y的系数矩阵 A为1X1 - X0X2 -XXn -X01A = 1J为下三角矩阵6用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序答：

9、若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，则工作量由低到高分别为拉格朗日基底，牛顿基底，单项式基底7给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？答：设fnx在a,bl上连续，fn1x在 a,b内存在，节点a玄X0Xn弐b， Ln x是满足条件Ln Xj二yj, j = 0,1，n的插值多项式，则对任何X - a,b 1 插值余项n 1 % 十(x)n 1!这里：W ab 且与 x 有关， n 1 X = X - X° X - X1 x - Xn 若有max f L权)=M n卑，则Ln (x逼近f (x )的截断误差(n +1 !8埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什

10、么是泰勒多项式？它是什么条件下的 插值多项式？答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等称Pn(X )= f(X。)+ f '(X。'(X X。)+ f ' X0)(x Xo )n!为f x在点Xo的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为P# lx。)= f gx。)k = 0,1，,n，泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一点x0处给出n - 1个插值条件得到的n次埃尔米特插值多项式.9为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有

11、 何优点？答：对于任意的插值结点，当n时，Ln x不一定收敛于f x，如对龙格函数做高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满意分段低次插值是将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以避免单个高次插值的振荡现象10三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由答：三次样条插值要求插值函数S x C2 a,b 1，且在每个小区间Xj,Xj上是三次多项式，插值条件为S Xj 二 yj, j 二。,1, ,n .三次分段埃尔米特插值多项式Ih x是插值区间a,b 1上的分段三

12、次多项式，且满足Ih X C1 a,b 1，插值条件为I h Xk = f Xk，I h Xk 二 f Xk ,(k =0,1,n).分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的三次样条函数只需给出节点处的函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样 条插值更优越一些11. 确定n 1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？答：由于三次样条函数 S x在每个小区间上是三次多项式， 所以在每个小区间l-xj, Xj 上要确定4个待定参数，n 1个节

13、点共有n个小区间，故应确定 4n个参数，而根据插值条 件，只有4n -2个条件，因此还需要加上2个条件，通常可在区间la,b丨的端点a = x0, b二xn 上各加一个边界条件，常用的边界条件有3种：已知两端的一阶导数值，即S Xo = fo， S Xn = fn (2) 已知两端的二阶导数值，即S Xo 二 fo“，S “Xn = fn“，特殊情况为自然边界条件S Xo = 0 , S Xn =0 (3) 当f X是以Xn - Xo为周期的周期函数时， 要求S X也是周期函数，这时边界条件 就满足Sx o =SXn -o，S Xo o 二S Xn -o， S Xo o 二 S Xn -o这时S x称为周期样条函数12. 判断下列命题是否正确？(1) 对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多(2) 如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的(3) li x(i -o,1/ ,n)是关于节点Xj(i=o,1，n)的拉格朗日插值基函数，则对任何次n数不大于n的多项式P x都有、Tj x P冬二P xi =o(4) 当f X为连续函数，节点Xi(i =o,1，n)为等距节点，构造拉格朗日插值多项式Ln x，则n越大Ln x越接近f x .(5) 同上题，若构造三次样条