最新厦门大学网络教育线性代数复习题B含答案

1、精品文档厦门大学网络教育 2011-2012学年第二学期线性代数复习题 B精品文档、选择题（每小题3分，共18分）4bCG b1 +2C| a<H2b1 +3C|1.设行列式a?b?C2=d，则C2 b： * 2q a： + 2b： *3仑=(a3b3C3C3 匕3 + 2C383 + 2d + 3C3A. -2d ；B. -d ；C. d ；D. 2d。2. 已知A为n阶非零方阵，E为n阶单位矩阵，若 A =0，则（A. E - A不可逆，E -A不可逆;B . E - A不可逆，E A可逆;C. E A可逆，E -A可逆;D . E A不可逆，E - A可逆。3. 向量 宀,：-2

2、, ：-3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）°A .宀 >2 , >2*3 , >3*1 ； B . >1 ,< ：'2 , >1 *2 *3 ；C.1一2 , 2一3 , 一冷；D . >1*2 , 2：3 ,：'i ° 4若3阶方阵2E-A及E A ,3A-E都不可逆，则A的特征多项式中常数项为 （22A. ;B. 2 ;C.；335 .下列命题错误的是()°A.相似矩阵有相同的特征多项式;B. n 1个n维向量必线性相关；C. 矩阵Q是n阶正交矩阵的充分必要条件是 Q = Qt ；D .若矩阵A的

3、秩是r，并且存在r -1阶子式，则其所有的r -1阶子式全为0 °6.下列命题正确的是（）°A .若A, B为同阶方阵，且 AJ =A，则BtAB也是对称阵;B.若AX=AY，且A=0，其中0为零矩阵，则X二丫 ；C.齐次线性方程组 AX =O ( A是m n矩阵)有唯一解的充分必要条件是r(A)二m ；D设非齐次线性方程组 AX =b有无穷多解，则相应的齐次线性方程组 AX=O有唯一解。二、填空题(每小题3分,共18分)7.设 4 4 矩阵 A = (2, 3), B = ( - ,2, 3)，其中- , ： , 1 , 2 , 3 均为四维列向量，且已知行列式|A| =

4、 4 , |B|=1，则行列式|AB|二。广 122、&若 A=24 t ，当 t=时，r (A 尸 2。<3 7 9 丿9. =(2k k -103)与：2 =(5-3 k k 1)正交，则 k 二。10.已知3阶矩阵A的特征值为1,-1, 2，则矩阵 2A E ( E为三阶单位矩阵)的特征值为(111.设A为可逆矩阵，且AB二36，则 r(B )=9丿12 .若A , B均可逆，D二则D可逆，且D二三、计算题(共64分)13.行列式计算(10 分)求行列式D11 a2HIHI，其中 a<ia2iI( an H 0 , Dn是n阶行列式，主对角线上的元素为1 ai ,II

5、I1 an其余元素为1。14.求解矩阵方程(10分)'03 3 '设 A= 110 , AB=A + 2B，求 B。<-12315线性方程组的计算（12分）1（2 -冈 2x2 -2x3 = 1设有线性方程组 2为（5 _ Jx2 _4x3 =2 ，问取何值时，此方程组（1）有唯 | 2x _4x2（5 - ）x3 - - -1一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无限多解时求其通解。16. 向量组计算（10分）已知向量组冷=（1212）,： 2=（1 03 1）T ,： 3=（2-10 1）T ,：4 =（21-22）T , >5 =（2243）T，试求, :

6、- 2,:- 3, :- 4 ,:- 5 的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。2 2 217. 设二次型f（X1,X2,X3）=2X1 3x2 3X3 - 2ax2X3（a - 0）可通过正交变换化成标准型2 2 2f =*22 5y3，求参数a及使用的正交变换（20分）说明：（1）先将二次型表示成矩阵形式（2分）;（2）求出a的值（5分）;（3）求出对 应于特征值的特征向量（6分）；（4）将这些特征向量正交单位化（ 3分）;（5）最后写出所 作的正交变换（4分）。请按上述五步顺利给出解题过程。一、选择题（每小题3分，共18分）1. B。解：由行列式的性质可知G 0+

7、2印 +2b +3C|Gba1 D GC2 b? + 2 C2 a? + 2b? + 3c?=C2b?a?=a?b2C2=-dC3 匕3 + 2 C3 玄3 + 2匕3 +3QC3b3a3a3dC323232. C。解：由于(E A)(E A A ) = E A =E，(E A)(E - A A ) = E A = E，因此E A, E - A均可逆，故选Co3. C. 解:显然有 1(1 -2) 1(2 -3) 1C 3 -1)= 0 ,所以1-2 , 2 -3 , ' 3 -线性相关，故选Co4. A。解：根据定理5.1知，设'o是A的特征值，则必有| oE - A| =

8、0，于是 oE - A不1可逆，又2E-A及E A, 3A-E都不可逆，那么2E - A , - E-A , - E-A不可逆，312知A的特征值为2 , -1,丄，而A的特征多项式中常数项的值等于-I Ah335. D。解：A 正确，相似矩阵有相同的特征多项式（§5.2性质5）oB .正确，n，1个n维向量必线性相关（定理 2.5 ） oC.正确，矩阵Q是n阶正交矩阵的充分必要条件是Q二Qt，这是正交矩阵的定义。D 错误，矩阵 A的秩是r，若其所有的r -1阶子式全为0 ,则A的任何r阶子式都为0 ,r阶非零子式）这与矩阵的秩为r矛盾（注意矩阵 A的秩是r，说明其存在一个6. A。

9、解：A.正确，若 A , B为同阶方阵，且 AT 二 A，则（B1A3 ）T BATB（TT） BtA3则btab也是对称矩阵。B .错误，反例：?1 Y00丿3广01S 3、<00丿<0 02、00记A =<00102）丰0丿<0二丫。注意矩阵乘法不满足消去律,AX =AY，只有A可逆时，才有X =Y。C.错误，齐次线性方程 AX =O （ A是m n矩阵）有唯一解的充分必要条件是 r（A）二n。D 错误，非齐次线性方程组 AX二b有无穷多解，则 A的秩小于A的列秩，即A的秩小于 方程未知数的个数，是相应的齐次线性方程组AX =0有无穷多解的充要条件。、填空题(每小题

10、3分,共18分)7解:2 1,2 2,2 3 冃二2 1,2 2,2 3丨 T：,2 1,2 2,2 31 = 23(| A| |B|) = 40。广122、广122、广122、&解：A =24t:369:003<369<24切<00t4| A B|=| 二，又 r A =2，故 t =4。9.因为：j , ：-2 正交，所以：-2 =10k -3(k -1) - 3(k *1)=0，则 k -。1510解：由 I E-B|=| E-2A-E|=|(' -1)E-2A|=8|-E-A|=0,的特征值，于是由 A的特征值1, -1, 2可知B的特征值为3, -1

11、, 5。11解：A为可逆矩阵，则 A可写成一系列初等矩阵的乘积， AB由B左乘A得到，相当 于可通过初等行变换把 B变成AB，由于初等变换不改变矩阵的秩，故 r(B)=r(AB)，而r(AB) =1，所以 r(B) =r(AB) =1。12 .解：由| D戶| A | B且A、Y,使得W /O'即f AXAY)(EO'E丿&X + BZCY +BWQE>B可逆可知，D可逆，设矩阵Y (Ewj 2则AX = E，故X 二 A ； AY =O ,则 Y = O ；CX BZ =O ,故 BZ - - CX, Z - -BCA，；CY BW 二 E，贝U BW 二 E，

12、故 W 二 B 所以 D，广AI-BCAOB_1三、计算题(共64分)13.解:精品文档0精品文档Dn 二內(1丄)a1a1 a1a2Tamilian1a2 a2(1 a1a2a21+ 印1n1 、i a ain 11八丄i =1 ai1 J丄i =1 aia21+ a2a2n 1= a1aj|lan(1)i =1 ai1an an1ananan(1 + 丄)anIIIIIIIIIa2丄a2a21丄anIIIIIIIII（将各列分别加到第 1列得）an1an1+丄anIIIa2丄a2IIIan1IIIa21an再将第一行乘以-1分别加到其余各行,1Dn =时2 1且(1 ' -)i=1

13、 aia211an0n 1= a1a|an(1)i=1 ai14 .解：由 AB = A 2B，可得(A -2E)B由于精品文档广033、(100、(-233、A2E =110-2 010=1-10230b1I-12b-233而 A-2E1-10=2式0，所以 A 2E 可逆，则 B = (A 2E)A。-1 2 1z-233033<2 3 3 0 3 3'广100033、(A2E,A)=1-101101 X 0 1 1 0 010-123日21-123丿1 1 0 3 3j1°0111广033'1因此 B =(A2E) A= -123J 1 °Q-k

14、 2-21 '2 5 九-42 、B =25-丸-42:01-九1 丸1 丸12-45 九卫 0(1亠丸)(10丸)(1 一丸)(4 一丸)15 .解：对增广矩阵B =( Ab)作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有(1)当1且10时,r(A) = r(B) =3，方程组有唯一解。(2) 当，=10时，r(A)=2，r(B)=3，方程组无解。(3) 当 =1时，r(A)=r(B)=1，方程组有无限个解,这时，24-42)r12-21、B =00000000<0000><0000>由此便得通解禺- -2x2 2x3 1 ( X3可任意取值)广1、X2=C110+01

15、°丿(G,C2 R)。16解：将向量：'1 , ：'2 , ：'3 , >4 , :- 5看成一个矩阵的列向量组，得矩阵广12102-1212、2A =130-24<2112311222 11222 "'1 0011、0-2-5-3-2n0-1-3-2-10 10-11-02-2-4200-8-800 0110<0-1£-2一1丿<00112 0000对矩阵A仅施以初等行变换，把A化为阶梯形矩阵A因此向量组，： 2，： 3是向量组，:- 2，：'3，:- 4，：5的一个极大线性无关组，且-2，： =冷 上込'° 圧3。222T17.解：(1)二次型 f (Xi,X2,X3)=2X1 3X2 3X3 2axiX3 二 X AX，其中2 0 0、A =0 3a,X =Xa 3 丿由题意知 A的特征值为 、=1, '2 = 2,，3 = 5。将=1代入，得E - A =( -2)('2-6'9-a2) =0(a 0),z200 '得a2，于疋A -032<023丿0