2018版高中数学苏教版必修五学案：1.2余弦定理(一)

1、【学习目标】1掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.H问题导学-知识点一 余弦定理的推导思考 1 根据勾股定理，若 ABC 中，/ C= 90 贝 U c2= a2+ b2= a2+ b2-2abcos C.试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？思考 2 在 c2= a2+ b2- 2abcos C 中，abcos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考 1 的猜想吗？梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要因为两边及其夹角恰好是 确定平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模长.另外，也

2、可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理.知识点二余弦定理的呈现形式1.a2=_,b2=_,2c=_.】章解三角形余弦定理（一）b2+ c2- a2bcc2+ a2- b22caa2+ b2-c22ab知识点三适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考 1 观察知识点二第 1 条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？思考 2 观察知识点二第 2 条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形?梳理 余弦定理适合解决的问题：（1）已知两边及其夹角， 解三角形；（2）已知三边，解三角形.类型一 余弦定理的证明例 1 已知 ABC, BC= a,

3、 AC = b 和角 C,求 c.反思与感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁桥梁架在哪儿，要勘探地形，证 明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方. 跟踪训练 1 例 1 涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题?coscos题型探究类型二用余弦定理解三角形命题角度 1 已知两边及其夹角例 2 已知 ABC 中，b = 3, c= 1, A = 60 求 a 和 sin B.反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定 理求其余的角.跟踪训练 2 在厶 ABC 中，已知 a = 2, b= 2 迄

4、，C= 15 求 A.命题角度 2 已知三边例 3 在厶 ABC 中，已知 a=,3, b = 1, c= 2求 A, B, C.b2+ c2- a3反思与感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形 cos A=b2+ a2- c2cos C= 巫 求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理.跟踪训练 3 在厶 ABC 中，sin A : sin B : sin C = 2 : 4 : 5,判断三角形的形状.当堂训练31.一个三角形的两边长分别为4和5，它们夹角的余弦值是-5 则三角形的另一边长为22 2a2+ b2+ c2 b2= a2 c2 2bccos A : cos C=-2._

5、 在 ABC 中， a= 7,b= 4 诟，c =谄 3,则厶 ABC 的最小角为 _ .3 .在 ABC 中，符合余弦定理的是 _ .c2= a2+ b2- 2abcos C; c2= a2- b2- 2bccos A;5如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍，那么它的顶角的余弦值为 _a2+ c2- b22ac，莎厂，cosB =2ab p-规律与方法-1. 利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1) 已知两边和夹角，解三角形.(2) 已知三边求三角形的任意一角.2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(1) 如果一个三角形两边

6、的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.(2) 如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.(3) 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.答案精析问题导学知识点一思考 1 当 a= b= c 时，/ C = 60 a2+ b2 2abcos C = c2+ c2 2c cos 60 = c2, 即式仍成立，据此猜想，对一般厶ABC，都有c2= a2+ b2 2abcos C.思考 2 abcos C= |C|CX|cosCB, CA=CB CA.2 2 a + b 2abcos C=CB2+ CA2 2CB CA=(CB-

7、CA)2=AB2=c2.猜想得证.知识点二1.b2+ c2 2bccos A c2+ a2 2cacos B a2+ b2 2abcos C2.ABC知识点三思考 1 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角， 可用余弦定理解三角形.思考 2 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可 用余弦定理解三角形.题型探究例 1 解如图，设 c!t= a a, C云=b b,A B = c c,由 Alt= Clt C云，知 c c= a a b b,贝U|c c|2= c c c c =(a a b b) (a a b b)=a a a a

8、 + b b 2a ab b2 2=a a + b b 2|a a |b b|cos C.所以 c2= a2+ b2 2abcos C.跟踪训练 1 解 如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,C(bcos A, bsin A)，2 2 2即 a = b + c 2bccos A.2 2 2同理可证 b = c + a 2cacos B,2 2 2c = a + b 2abcos C.例 2 解由余弦定理，得 a2= b2+ c2 2bccos A2 2=3+12X3X1cos 60=7,- a = . 7.由正弦定理，得 sin B= &竽 bsin 60 3 ,21=7X3=寸跟踪训练 2 解 由余弦定理，得 c2= a2+ b2 2abcos C= 8 4 .3, 所以 c=.6 .2.由正弦定理，得 sin A= asin C= 1,c 2因为 ba,所以 BA,所以 A 为锐角, 所以 A= 302 BC2例 3 解由余弦定理的推论,2 2 2b + c a 得 cos A=一 2bC=卄+ 22-祠=12X1X22.因为 0Ab, AB, B = 30 C= 180 A B = 90跟踪训练 3 解 因为 a : b :