2018版高中数学苏教版必修5学案：1.3正弦定理、余弦定理的应用(一)

1、学习目标1利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题2 利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题产知识梳理知识点一有关的几个术语1方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的角如图所示的d、也即表示点 A 和点 B 的方位角故方位角的范围是0 360.2方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角，它是方位角的另一种表示形式.如图，左图中表示北偏东30右图中表示南偏西 60.4.视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角_.5 坡角： L3正弦定理、余弦定理的应用（一）自主学习思考30左

2、图） ,240（右图） .3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时h（tana=了），如图.上两图中的两个方向,坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度坡面水半而知识点二解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题解题思路(2) 基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：1分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；2建模：根据已知条件与求解目标， 把已知量与待求量尽可能

3、地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；3求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；4检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解(3) 主要类型詳题型探究重点突破题型一测量距离问题例 1(1)海上 A，B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望C 岛和 A 岛成 75 的视角，贝 U B，C 间的距离是 _海里.mJSmJS运算答案 56解析根据题意，如图所示.在厶 ABC 中，A = 60 B= 75 AB= 10,C = 45.即10BC即上二，2 2(2)在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个

4、相距为-2-的军事基地 C 和 D测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和 B 处，且/ ADB 30 / BDC 30 / DCA 60/ACB 45如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离解/ADC ZADB+ ZCDB60,又/ DCA 60 / DAC 60在厶 BCD 中，ZDBC 45,- BCCD =昼si n 30 sin 45，。C4a.在厶 ABC 中，由余弦定理得AB2 AC2+ BC2 2AC BC os 45 3a2+3a2- 2X-ax严4824ax斤器2蓝方这两支精锐部队之间的距离为却.反思与感悟 求距离问题时应注意的三点(1)选定或确定所求量所在的三角形若其他量已知，

5、则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理(3) 测量两个不可到达的点之间的距离问题首先把求不可到达的两点A, B 之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边跟踪训练 1 如图，A、B 两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距 20 米的 C、D 两点，测得Z由正弦定理可得AB = BCsin C sin A，BC 5 6（海里）.二 AD CD AC a.HBCA 60ZACD 30ZCDB 45ZBDA 60 那么此时 A、B 两点在厶 ABC 中，由余弦

6、定理得AB = AC2 3 4+ BC2 2ACXBCXcos/ BCA = 10 6（米）. A、B 两点间的距离为 10 6 米.题型二测量高度问题例 2 如图所示，A、B 是水平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45, / BAD =120，又在 B 点测得/ ABD = 45,其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.解 由于 CD 丄平面 ABD, / CAD = 45 所以 CD = AD.2800X亠 得 AD=AB-T-=二=呗屁 D(m).4即山的高度为 800( 3 + 1) m.反思与感悟 在运用正弦定理、 余弦定理解决实际问题时

7、， 通常都根据题意，从实际问题中 抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解 跟踪训练 2 (1)甲、乙两楼相距 a从乙楼底望甲楼顶的仰角为60从甲楼顶望乙楼顶的间的距由正弦定理得AC =20si n（45 + 60 sin180 -（3045+ 6020sin 105 = 20sin 75 =sin 45 = sin 45 =10（1 + 一 3）（米）,BC =sin18020si n 45-60+30+45 20s in 45sin 45o= 20（米）.因此只需在 ABD 中求出 AD 即可，在厶 ABD 中，/ BDA =

8、180 45 120= 15由 AB = AD田 sin 15 =sin 45，俯角为 30则甲、乙两楼的高分别是 _答案 3a,23a解析甲楼的高为 atan 60 3a,乙楼的高为3a atan 30 = 3a33a=2y3a.(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度 h,在地面上选两点 A, B, AB = 20 m，在 A 点处测得 P 点仰角/ OAP = 30在 B 点处 测得 P 点的仰角/ OBP = 45又测得/ AOB= 60求旗杆的高度 h.(结 果保留两个有效数字)解在 Rt AOP 中，/ OAP = 30 OP = h.在 Rt BOP 中，/ OBP=

9、45 OB = OP = h.tan 45在厶 AOB 中，AB = 20, / AOB = 60 ,由余弦定理得 AB2= OA2+ OB2 2 OA OB cos 60 即 202= ( 3h)2+ h2 2 , 3h h-,解得 h2=400176.4 , h 13 m.4 V 3题型三测量角度问题例 3 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处(，3 1)海里的 B 处有一艘走私船在A 处北偏西 75。方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以10.3 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/时的速度，从 B 处向北偏东 30方向逃窜 侗：缉私船沿

10、什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则 CD= 10,3t, BD=10t,在厶 ABC 中，由余弦定理，有BC2= AB2+ AC2 2AB ACcos A=(3 1)2+ 22 2( 3 1) 2 cos 120 = 6.OA = OP.1 =tan 30 =ABCsin AACsin/ ABC又/ ABC (0 60,/ ABC = 45AB 点在 C 点的正东方向上,缉私船沿北偏东 60的方向行驶又在 BCD 中，/ CBD = 120 / BCD = 30 D = 30 BD = BC ,即 10

11、t = 6. t = 16小时 15 分钟.缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15 分钟.反思与感悟航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.跟踪训练 3 甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东60方向的 B 处，两船相距 a n mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的3 倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?解 如图所示，设两船在 C 处相遇，并设/ CAB =0,乙船行驶距离 BC 为 x n mile ,

12、则 AC= 3x,由正弦定理得sin0=BC严=1而960, 0=30,/ ACB = 30, BC = AB = a.甲船应沿北偏东 30方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.已当堂抱迴_自查自纠1.一艘船上午 9 : 30 在 A 处，测得灯塔 S 在它的北偏东 30 勺方向，且与它相距 8,2 海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10 : 00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东75 勺方向，此船的航速是 _ 海里/时.sin / ABC =2前20=返BC62/ CBD = 90 30 120又/ BCD (0 90，/ BCD = 30答案

13、16(6 2)解析 由题意得在三角形 SAB 中，/ BAS= 30/ SBA= 180 75 = 105 / BSA= 45因此此船的航速为8 62= 16( 6 2)(海里/时).22在某测量中，设 A 在 B 的南偏东 347，则 B 在 A 的北偏西 _ .答案 347解析 由方向角的概念，B 在 A 的北偏西 3427 3甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测 20 m 高的旗杆，甲观测的仰角为 50乙观测 的仰角为40用 d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么 d1,d2的大小关系是 _答案 d1d2解析 仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1d2.4如图所示，已知两座

14、灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在 观察站 C的北偏东 40灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60则灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西答案 10解析 由题意可知/ ACB = 180 40 60 = 80 / AC= BC,./ CAB =ZCBA= 50 从而 可知灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 105如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15 向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45 若 CD = 50 m,山坡对 于地平面的坡度为0,则 cos =_答案.3 1由正弦定理得SAsin

15、 105ABsin 45，即 SiMQ =ABsin 45得 AB = 8( 6 2),解析在厶 ABC 中，由正弦定理ABsin 30AC sin135， AC = 100 2在厶 ADC 中,AC=CDsin(0+90=sin 15，cos0=sin(+90)=CDCAC sin 156.2012 年 10 月 29 日 飓风“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象， 然后向右转 105,行进 10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135。后继续前行回到出发点，那么x=_ m.答案吟6解析 由题意/

16、CBA = 75 / BCA = 45/ BAC = 180 75- 45 = 60 .x 10.1 砸sin 45 =sin 60X=3(m)课堂小结-11正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1) 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2) 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3) 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4) 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解2解三角形应用题常见的两种情况(1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解有足够条件的三角形， 然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解3.测量距离问题包括两种情况(1) 测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离(2) 测量两个不可到达点之间的距离.第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况