线性代数复习题学习教案

1、会计学1第一页，共64页。第1页/共64页第二页，共64页。第2页/共64页第三页，共64页。计算(j sun)下列行列式：第3页/共64页第四页，共64页。第4页/共64页第五页，共64页。只有方阵只有方阵(fn zhn)才讨论它的逆矩阵才讨论它的逆矩阵;方阵方阵(fn zhn)A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法:伴随矩阵法伴随矩阵法; 初等行变换法初等行变换法.用两种方法求A的逆矩阵。第5页/共64页第六页，共64页。设求解(qi ji)矩阵方程：矩阵矩阵(j zhn)乘法不符合交换律乘法不符合交换律,左乘和右乘的结果不同左乘和右乘的结果不同证明(zhn

2、gmng)：设方阵A满足：问A是否可逆？逆矩阵A与伴随矩阵A*之间的关系第6页/共64页第七页，共64页。给定(i dn)向量组A:如果(rgu)存在一组不全为零的实数：则称向量组A是线性相关线性相关的.否则称它是线性无关线性无关的.给定向量组A:如果存在一组实数则称向量可由线性表示线性表示。第7页/共64页第八页，共64页。1.按定义(dngy)判别,作研究是否存在(cnzi)非零解,使上式成立.2.用秩判断：若则线性相关.则线性无关.3.利用定理;一个向量线性相关的充要条件是该向量为零向量；两个向量线性相关的充要条件是这两个向量成比例;n个n维向量线性相关的充要条件是：n+1个n维向量必线

3、性相关;第8页/共64页第九页，共64页。向量向量(xingling)组组线性相关的充要条件是其中线性相关的充要条件是其中(qzhng)至少至少有一个向量（不一定每一个向量）可由其余向量有一个向量（不一定每一个向量）可由其余向量线性表示。线性表示。如果向量组中部分向量线性相关，则该向量组如果向量组中部分向量线性相关，则该向量组线性相关。线性相关。如果向量组线性无关，则它的任一部分向量也如果向量组线性无关，则它的任一部分向量也线性无关线性无关!第9页/共64页第十页，共64页。例研究例研究(ynji)下列向量组的线性相关性下列向量组的线性相关性.201,520,321321 解一解一 00020

4、1520321, 0321332211kkkkkk即即令令 第10页/共64页第十一页，共64页。整理整理(zhngl)得到得到)(. 0253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(,0253022101)(321线线性性相相关关从从而而必必有有非非零零解解线线性性方方程程组组的的系系数数行行列列式式线线性性方方程程组组 第11页/共64页第十二页，共64页。解二解二,201,520,321321 ,253022101),(321 A矩阵矩阵第12页/共64页第十三页，共64页。 000220101253022101初等行变换初等行变换A., 32)(321线线性性相相关关故故

5、向向量量组组 AR第13页/共64页第十四页，共64页。102,321,100,110,11154321线性无关(wgun).01111011001 必线性相关可作为(zuwi)三维向量空间的一组基。在基下的坐标(zubio)？第14页/共64页第十五页，共64页。设向量(xingling)组可以(ky)由向量组线性表示,且则向量组必线性相关.若向量组可以由向量组线性表示,且线性无关，则第15页/共64页第十六页，共64页。第16页/共64页第十七页，共64页。设向量组A与向量组B的秩相同,且A组能由B组线性表示(biosh),证明A组与B组等价.只须证B组可由A组线性表示(biosh)即可.

6、用反证法.矛盾矛盾(modn).证: 设若B组不能由A组线性表示,则在B中至少存在一个向量不能由A组线性表示,构造向量组但C组可由B组线性表示,第17页/共64页第十八页，共64页。.第18页/共64页第十九页，共64页。解的结构：若R(A)=rn,则方程组的解向量集合是一个(y )向量空间, 它的一组基也称为基础解系，它的维数是n-r，即基础解系由n-r个线性无关的解向量构成。通解(tngji)的形式：是它的基础解系，且线性无关。 齐次线性方程组的任一个解都是基础解系的线性组合.为任意实数第19页/共64页第二十页，共64页。即求AX=0的两个(lin )线性无关的解向量.10 018118

7、1285811得基础解系80111 085121或者800811511B第20页/共64页第二十一页，共64页。825931222015312220153122201511081120,085121对应(duyng)的方程组:-8x1 +x3-x4=0-5x1+x2 -2x4=0 x2=5x1+2x4x3=8x1+x4第21页/共64页第二十二页，共64页。1120,085121281181280111,085121第22页/共64页第二十三页，共64页。第23页/共64页第二十四页，共64页。解的结构：方程组的任一解可以(ky)表示为一个特解加上AX=0的一个解.通解(tngji)的形式：为

8、任意实数是AX=0的基础解系.是AX=b的特解方程组的全部解就是它的一个特解加上AX=0的全部解.第24页/共64页第二十五页，共64页。设线性方程(fngchng)组AX=b有m个方程(fngchng),n个未知元,则( )正确.A. 若AX=0仅有零解,则AX=b有唯一(wi y)解;B. 若AX=0有非零解,则AX=b有无穷多解;C. 若AX=b 有无穷多解,则AX=0仅有零解;D. 若AX=b有无穷多解,则AX=0有非零解.第25页/共64页第二十六页，共64页。第26页/共64页第二十七页，共64页。求解(qi ji)方程组:第27页/共64页第二十八页，共64页。015322111

9、2112112313401221112112112000101可以(ky)验证：全部(qunb)解（通解）是：k是任意(rny)实数。第28页/共64页第二十九页，共64页。 . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解a解法一系数矩阵的行列式为A第29页/共64页第三十页，共64页。aaA32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa第30页/共64页第三十一页，共64页。., 0,21方程组有非零

10、解方程组有非零解时时或者或者当当 Aaa:,1化成最简形化成最简形把系数矩阵把系数矩阵时时当当Aa 10000000001001011323111121211111.,01014321为任意常数为任意常数kkxxxxx 从而得到(d do)方程组的通解第31页/共64页第三十二页，共64页。 00000300101011112323121121211111,2化为化为之变换可把之变换可把由计算由计算时时当当AAa 0000010010100001第32页/共64页第三十三页，共64页。 aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯

11、形A第33页/共64页第三十四页，共64页。., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此时时方方程程组组有有时时或或者者当当 ARaa 2000010010101111aa第34页/共64页第三十五页，共64页。.,1010 4321为为任任意意常常数数为为从从而而得得到到方方程程组组的的通通解解kkxxxxx 第35页/共64页第三十六页，共64页。设A，B都是n阶矩阵(j zhn)，且AB=O，证明：将B看作(kn zu)n个列向量组成，由AB=O，可知B的每一列(y li)向量都是齐次线性方程组AX=0的解向量。设R(A)=r,则AX=0的解空间的秩为n

12、-r.B的列向量都属于AX=0的解空间。 所以利用上一题的结果，可证：若|A|=0，则|A*|=0第36页/共64页第三十七页，共64页。设A是n阶方阵，如果存在(cnzi)实数和n维非零向量(xingling)使 则称是方阵A的特征值特征值是方阵A的对应于特征值的特征向量特征向量。方阵A的特征值是确定的，而特征向量是不唯一的。第37页/共64页第三十八页，共64页。特征值的求法：构造(guzo)行列式求特征值就是(jish)求多项式的根。一般用因式分解法。特征向量的求法：即求方程组的非零解.对应于一个特征值，可能有多个(du )线性无关的特征向量。对应于不同的特征值的特征向量是线性无关的。矩

13、阵A与特征值的关系：第38页/共64页第三十九页，共64页。设方阵A满足A2=A,证明(zhngmng)A的特征值只有0或1.第39页/共64页第四十页，共64页。第40页/共64页第四十一页，共64页。10000002,10100002yBxA若A与B相似(xin s)，求x,y的值。|A|=-2,|B|=-2y, 所以(suy)y=12+x=2+y-1,所以(suy)x=0.A的特征向量：110,110,001321第41页/共64页第四十二页，共64页。第42页/共64页第四十三页，共64页。若n阶方阵(fn zhn)A有n个不同的特征值：则A与对角(du jio)矩阵相似。方阵A的r重

14、特征值对应的特征向量不超过r个。方阵A可对角化的充分必要条件是A的每个ri重特征值都有其对应的ri个线性无关的特征向量。第43页/共64页第四十四页，共64页。对实对称矩阵(j zhn)A，必存在正交矩阵(j zhn)Q，使其中是A的特征值。第44页/共64页第四十五页，共64页。求A的特征值，可得与A相似的对角(du jio)矩阵求A的特征向量，将A的特征向量作为矩阵(j zhn)P的列向量，可得相似变换矩阵(j zhn)P，将矩阵P正交化，单位化，（即将A的特征向量进行正交化，单位化），可得正交变换矩阵Q，P，Q不唯一。第45页/共64页第四十六页，共64页。设A为n阶实对称(duchn)

15、矩阵，X为n维变向量，则称为(chn wi)二次型。若对均有称为(chn wi)正定二次型,相应的矩阵A称为正定矩阵.若对均有称为负定二次型,相应的矩阵A称为负定矩阵.二次型矩阵A必与对角矩阵相似.第46页/共64页第四十七页，共64页。设A为二次型矩阵(j zhn),则存在可逆矩阵(j zhn)P,使特别(tbi)存在正交矩阵Q,使为平方和形式(xngsh).是A的特征值。若A的特征值全大于0,则A是正定矩阵.若A的特征值全小于0,则A是负定矩阵.第47页/共64页第四十八页，共64页。第48页/共64页第四十九页，共64页。第49页/共64页第五十页，共64页。设是否(sh fu)可由线性

16、表示(biosh)？若可以，则表示(biosh)式是否唯一？是否有解，有解是否唯一？第50页/共64页第五十一页，共64页。653352291, :xxx可解得第51页/共64页第五十二页，共64页。方程组AX=0的基础(jch)解系？A的特征值和特征向量？第52页/共64页第五十三页，共64页。A的全部(qunb)特征值：A的全部(qunb)特征向量：第53页/共64页第五十四页，共64页。.),(0,)2(?)1(.00221100不可对角化不可对角化证明证明且至少有一且至少有一如果如果可对角化可对角化在什么条件下在什么条件下阶下三角阵阶下三角阵是是设设AjiaaaaAnAjinn 例8例

17、8A解解(1)可对角化的充分条件是有个互异的可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值AAAn第54页/共64页第五十五页，共64页。,02211 aaaAnnAEfA )(, 0)()(2211 aaann 即即).()(2211aaann ).1(niaAiii 的所有特征值的所有特征值得得.,), 2 , 1,( 可对角化可对角化时时即当即当时时当当Aaanjijijjiiji , 0)( fA令令第55页/共64页第五十六页，共64页。.)2(用用反反证证法法.)1(),(,211的特征值的特征值是是使使则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵可对角化可对角

18、化若若AnidiagAPPPAin 所以所以可知可知由由,)1(11aaiii .111111111EaaaaAPP 第56页/共64页第五十七页，共64页。,11111111EaPPaPEaPA .,)(00000对角化对角化不可不可故故矛盾矛盾这与至少有一个这与至少有一个Ajiaji 第57页/共64页第五十八页，共64页。.,0202120221为对角阵为对角阵使使求正交变换求正交变换设实对称阵设实对称阵ATTTA 例9例9解解第一步求第一步求A的特征值由的特征值由 20212022 AE第58页/共64页第五十九页，共64页。, 0)2)(1)(4( . 2, 1, 4321 得得., 0)(的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxAEi 得得由由对对, 0)4(, 41 xAE .1221 解之得基础解系解之得基础解系 , 042, 0232, 0223232121xxxxxxx第59页/共64页第六十页，共64页。得得由由对对, 0)(, 12 xAE , 02, 022, 02323121xxxxxx.2122 解之得基础解系解之得基础解系得得由由对对, 0)2(, 23 xAE 第60页/共64页第六十一页，共64页。 , 022, 0232, 02432