定比分点的向量公式及应用

1、定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（ 321307）吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点 O，设OP1 a，OP2 b，若 P1P PP2，则 OP 1 a b 。11 11 特别地，当1时，即 P为线段 P1 P2的中点，则有 OP 1 a 1 b。22用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明一、求定比 的值：例 1：已知 A（ 2,1），B（3, 1）及直线 l： y 4x 5，直线 AB与l相交于 P点，求 P点分 AB 的比解：设 P(x, y) ，则由 AP PB ，得1 1 3 1(x, y) (2,1) (3, 1) ( ,)，1 1 1 1

2、 又 P点在直线 l 上， 1 4(1 3 ) 5 ， 5 ，11 1 。3例 2：如图所示，在 ABC中， D为边 BC上的点，且 BD k DC ，E 为 AD上的一点，且 DE l EA ，延长 BE交 AC于F，求 F分有向线段 CA所成的比解： CFFA ， BFBC BAB D C11又 DE l EA ， BE 1 BD l BA ，1 l 1 lk而 BD k DCBC ，1kkl BE BC BA ，(1 l )(1 k) 1 lB、E、F共线，设 BE tBF，而tBF 1 t BC 1 t BAk l t tBC BA BC BA(1 l )(1 k )1 l 1 1tk

3、1 (1 l)(1 k)，解得 l(1 k) 。 t l k1 1 l、求直线上点的坐标例 3：已知点 A( 1, 1)，B(2,5) ，点C为直线 AB上一点，且 AC 5BC，求C点 的坐标。分析：先求出 C点分 AB 的 的值，再利用定比分点的向量公式求出点 C的坐标AC 解： AC 5BC ， AC 5 ，CB利用定比分点的坐标公式有15153OC OA OB ( 1, 1) (2,5) ( ,4) 。66662 C点的坐标为 (3 ,4)。21例 4：已知 A(2,3) ， B( 1,5) ，且 AC 1AB，AD 3AB ，求点 C，D的坐标。 3分析：由题设，运用定比分点的向量公

4、式，可以求得点C，D 的坐标。解：设 C(x1, y1) ，D(x2, y2) ，1 AC 1 AB ，3AC 11 CB 2根据定比分点的向量公式有 OC 1 OA111 12 OB，2 1 1132 (2,3) 13 ( 1,5) (1,131)11 12 ( x1, y1)11 (2,3) 2 ( 1,5)同理由 AD 3AB 得 2 AD 32 DB根据定比分点的向量公式有 OC 1 OA 1 OB ，3 (x2 ,y2 ) 13 (2,3)23 ( 1,5) 2 (2,3) 3 ( 1,5) ( 7,9)22点 C的坐标为 (1,11) ，D点的坐标为 ( 7,9)三、证明三点共线例

5、 5：已知点 A(a,b c) ， B(b,c a) ， C(c,a b) ，求证： A、 B、 C三点共线。ab证明：设 C / (c, y) 在 AB 上， C / 分 AB的比为 ，则ac，解得cba b c cy a 1bc c yab C/(c,y)与 C(c,a b) 重合，由题设知 C在 AB上， A、 B、C三点共线。四、求字母系数范围例 6：已知点 A(3,3) ， B( 1,5) ，一次函数 y kx 1的图象与线段 AB有公共点， 求实数 k 的取值范围。解：设 P(x, y) 为一次函数图象与线段 AB的交点，把 P看作 AB 的定比分点，其 定比为 ，则有0，由定比分

6、点公式有而 P 点在函数 y kx 1图象上，解得 3k 2k4k 4 0，即 k 3 或 k 4，而当 P 点与 B重合时， k 4也适合。2 k 4或 k。3例 7：若直线y ax 2与连接 P( 2,1) ，Q(3,2) 两点的线段有公共点， 求实数 a 的取值范围。解：当直线过P点时， a 23 ，直线过 Q点时， a 34 ，当直线与线段PQ的交点在 P、Q之间时，设这个交点 M (x, y) 分 PQ的比为 ，由定比分点公式有OM1 1 2 3 1 21 1 OP 1 OQ 1 1 ( 2,1) 1 (3,2) ( 2 3 ,1 2 )，11 M点的坐标为 ( 2 3 1 2又直线

7、过点 M，1 2 2 3a 2 ，12a 33a 4又点 M在线段 PQ上知0 ，2a 3 0 ，解得 a 43 或 a3a 4 a 4 或 a 3 。32五、解决平面几何问题：例 8 ：如图所示，在平行四边形ABCD中， P 点在线段 AB上，且 PABP m，Q在线段 AD上，且 QADQ n ，BQ与 CP相交于 R，求 RPCR 的值分析： 取两基底， 由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来，再求解。解：设 BA a ， BC b ， PR RC ，BCPRRC由题意有 AP mPB ， AQ nQD ，则 BP 11PABA1 a ，mm1m11n1nBQBABDa1n1n1

8、n 1 n11BRBPBC11n(a b) a b ，1n(1 )(1 m) 1a b ，又 B、R、Q三点共线，存在实数 t使 BQ tBR，a b a n b ，(1 )(1 m) 1 1 n1 ，且 t n 。(1 )(1 m) 1 1 n(1 m)(1 n)，即 PR 。 RC (1 m)(1 n)例 9 ： 设 直 角 三 角 形 AOB 斜 边 的 三 等 分|OD |2 |OE|2 |DE |2 2|AB|2。分析：以 O为原点， OA 为 x 轴正向建立直角坐标系，设OA (a,0)，OB (0,b) ，用a ， b表示相关线段的长度，从而证明命题。证明：以直角顶点 O 为原点

9、，直角边 OA、x轴， y 轴建立直角坐标系，如图设点 A( a,0) ，点 B(0,b)，D(x,y)所在直线为则 D 分 AB 的比为1 ，2由定比分点的向量公式得点 D坐标为 (2 a,1b)33 同理点 E坐标为 (1 a,2 b)，33由两点间距离公式，得|OD |2 4a9b9，|OE |2a949b，999 922a |DE |2 a9b2，9，2 2 2 2 2 2 2 |OD |2 |OE|2 |DE |2a2b23323 (a2 b2)而 a2 b2 | AB |2，|OD|2 |OE|2 |DE |2 2|AB|2。3例 10：如图，已知 ABC ，求证： ABC 的三条AD、BE、CF相交于一点 G，且 AG BG CG 2 。AD BE CF 3 分析：几何问题应用向量来解决，关键是将有中线关线段设为向量，可以在平面内任取一点 O为向量的始点，将 OA 、OB 、 OC 设出。OC c ，又设 G1为 ADOB b ，证明：如图，在平面内任取一点 O，设 OA a ， 上一点，且 AG1 2G1D ，则1 D为 BC中点， OD (b c) ，21 2 1