微积分基本操作

1、第5章 微积分的基本操作5.1极限Mathematica计算极限的命令是Limit它的使用方法主要有：Limitexpr,x->x0 当x趋向于x0时求expr的极限Limitexpr,x->x0,Direction->1 当x趋向于x0时求expr的左极限Limitexpr,x->x0,Direction->-1 当x趋向于x0时求expr的右极限趋向的点可以是常数，也可以是+，- 例如：1求In1:=LimitSqrtx2+2/(3x-6),x->InfinityOut1=2求In2:=LimitSinx2/x2,x->0Out2=13求In3:=

2、LimitLogx/x,x->0,Direction->-1Out3= -5.2微分1.函数的微分 在Mathematica 中，计算函数的微分或导数是非常方便的，命令为Df,x,表示对x求函数f的导数或偏导数。该函数的常用格式有以下几种 Df,x 计算导数或Df,x1,x2, 计算多重偏导数Df,x,n 计算n阶导数Df,x,NonConstants->v1,v2, 计算导数，其中v1,v2依赖于x例如：(1) 求函数sinx的导数In1:=DSinx,xOut1=Cosx(2) 求函数e x sinx的2阶导数In2:=DExpx*Sinx,x,2Out2=2e x Co

3、sx(3) 假设a是常数，对sinax求导In3:=DSina*x,xOut3=aCosax(4) 二元函数f(x,y)=x 2 y+y 2 求f对x,y 的一阶和二阶偏导In4:=fx_,y_=x2*y+y2Out4= x 2 y+y 2In5:=Dfx,y,xOut5=2xyIn6:=Dfx,y,yOut6=x 2 + 2yIn7:=Dfx,y,x,yOut7=2xIn8:=Dfx,y,x,2Out8=2yIn9:=Dfx,y,y,2Out9=2Mathematica可以求函数式未知的函数微分，通常结果使用数学上的表示法。例如：In10:=Dx*gx,xOut10=gx+xgxIn11:=

4、Dx*gx,x,4Out11=4g (3)x+xg (4)x对复合函数求导法则同样可用：In12:=Dghx,xOut12=ghx hx如果要得到函数在某一点的导数值，可以把这点代入导数如：In13:=DExpx*Sinx,x/.x->2Out13=e 2 Cos2+e 2 Sin2In14:=N%Out14=3.643922.全微分在Mathematica中，Df,x给出f的偏导数，其中假定f中的其他变量与x无关。当f为单变量时，Df,x计算f对x的导数。函数Dtf,x给出f的全微分形式，并假定f中所有变量依赖于x.下面是Dt命令的常用形及意义Dtf 求全微分dfDtf,x 求f对x的

5、微分Dtf,x1,x2, 求f对xi多重全微分Dtf,x,Constants->c1,c2,. 求全微分df，其中c1,c2.是常数下面我们求x 2 +y 2 的偏微分和全微分In1:=Dx2+y2,xOut1=2xIn2:=Dtx2+y2,xOut2=2x+2yDty,x可以看出第一种情况y与x没有关系，第二种情况y是x的函数。再看下列求多项式 x 2 +xy 3+yz的全微分并假定z保持不变是常数。In3:=Dtx2+x*y3+y*z,Constants->zOut3=2Dtx,Constantsz+y 3 Dtx, Constantsz+3xy 2 Dty,Constants

6、z+zDty, Constantsz如果y是x的函数，那么y被看成是常数In4:=Dtx2+x*yx+yx*zOut4=2xDtx+Dtxyx+Dtzyx+xDtxyx+zDtx yx5.3计算积分1.不定积分在Mathematica中计算不定积分命令为Integeratef,x,当然也可使用工具栏直接输入不定积分式。来求函数的不定积分。当然并不是所有的不定积分都能求出来。例如若求 Mathematica就无能为力：In1:=IntegrateSinSinx,xOut1= 但对于一些手工计算相当复杂的不定积分，MatheMatica还是能轻易求得，例如求In2:= Out2=积分变量的形式也可

7、以是一函数，例如：In3:=Out3= -CosSinx输入命令也可求得正确结果：In4:=IntegrateSinSinx,SinxOut4= -CosSinx对于在函数中出现的除积分变量外的函数，统统当作常数处理，请看下面例子：In5:=Out5=2.定积分定积分的求解主要命令是Integratef,x,min,max， 或者使用工具栏输入也可以。例如求In6:=Integratex2Expax,x,-4,4Out6=显然这条命令也可以求广义积分，例如求：In7:=Integrate1/(x-2)2,x,0,4Out7=求无穷积也可以，例如：In8:=Integrate1/x4,x,1,I

8、nfinityOut8=如果广义积分发散也能给出结果，例如：In9:=Integrate1/x2,x,-1,1Out9= 如果无法判定敛散性，就用给出一个提示，例如：In10:=Integrate1/x,x,0,2 Integrate:idiv: Integral of does not converge on 0,2.Out10=如果广义积分敛散性与某个符号的取值有关，它也能给出在不同情况下的积分结果。例如：In11:=Integrate1/xp,x,1,InfinityOut11=IfRep>1,Integratex p,x,1,AssumptionsRep1结果的意义是当p >

9、;1时，积分值为,否则不收敛。在Integrate中可加两个参数Assumptions 和 GenerateConditions例如上例中，只要用Assumptions->Rep>1就可以得到收敛情况的解：In12:=Integrate1/xp,x,1,Infinity,Assumptions->Rep>1Out12= 3.数值积分数值积分是解决求定积分的另一种有效的方法，它可以给出一个近似解。特别是对于用Integrate命令无法求出的定积分，数值积分更是可以发挥巨大作用。它的命令格式为：Nintegratef,x,a,b 在a,b上求f数值积分Nintegratef

10、,x,a,x1,x2,b 以x1,x2.为分割求a,b上的数值积分Nintegratef,x,a,b,MaxRecursion->n 求数值积分时指定迭代次数n下面我们求Sinsinx在0,上的积分值，由于这个函数的不定积分求不出，因此使用Integrate命令无法得到具体结果，但可以用数值积分求：In13:=NintegrateSinSinx,x,0,PiOut13=1.78649如果积分函数存在不连续点，或存在奇点我们可对积分进行分段求解。例如函数在-1，1上，显然x=0点是一个无穷间断点。因此若要求其数值积分，必须在其中插入点0。In14:=NIntegrate1/SqrtAbsx

11、,x,-1,1 Nintegrate:inum:Integrand is not numerical at x = 0.Out14=Nintegrate,x,-1,1In15:=NIntegrate1/SqrtAbsx,x,-1,0,1Out15=4.对无穷积分，也可求数值积分，例如：In16:=NintegrateExp-x2,x,0,InfinityOut16=0.8862275.4多变量函数的微分下面是计算多变量函数的偏导数及全微分的命令与单变量基本相同，通过分析下面的例子我们可以我们可以轻松掌握。 ( 1 ) Df,x1, x2 , x n 计算偏导数下面是实际的例子：求函数sin(x

12、y 2)对x的偏导数：In1:=DSinx*y2,xOut1=y 2 Cosxy 2 求函数sin(xy 2)对x的二阶偏导数：In2:=DSinx*y2,x,xOut2= -y 4 Sinxy 2 上述命令也可写成如下形式：In3:=DSinx*y2,x,2Out3= -y 4 Sinxy 2 求函数sin(xy 2)对x的二阶对y的一阶混合偏导数：In4:=DSinx*y2,x,x,yOut4= -2xy 5 Cosxy 2 - 4y 3Sinxy 2上述命令也可写成如下形式：In5:=DSinx*y2,x,2,yOut5= -2xy 5 Cosxy 2 - 4y 3Sinxy 2( 2)

13、 Df,x,NonConstants->c1 ,c 2 ,，中ci依赖于x下面是实际的例子：In6:=Dx2+y2,x,NonConstants->yOut6=2x+2yDy,x,NonConstantsy注意：Dy,x,NonConstantsy表示，其中y是x的函数。 ( 3 ) Dtf 计算全微分df 下面是实际的例子：计算d(x 2 y 3)In7:=Dtx2*y3Out7=2xy 3 Dtx+3x 2 y 2 Dty 其中Dtx为dx，Dty为dy定义z为一个二元函数，求z的全微分，并提出Dtx和Dty：In8:=z=x3*y+x2*y2-3x*y2;CollectDtz

14、,Dtx,DtyOut8=(3x 2 y -3y 2 +2xy 2 )Dtx+(x 3 6xy+2x 2 y)Dty将上式表示成的标准形式：In9:=%/.Dtx->dx,Dty->dyOut9= dy(x 3 6xy+2x 2 y)+ dx(3x 2 y -3y 2 +2xy 2 )求z对x的导数： In10:=Dtz,xOut10=3x 2 y -3y 2 +2xy 2 +x 3 Dty,x -6xyDty,x+2x 2 yDty,x因为Mathematica不知道y是否为x的函数，所以保留Dty,x。用置换运算将Dty,x置换成0即可求得z对x的导数：In11:=Dtz,x/

15、.Dty,x->0Out11=3x 2 y -3y 2 +2xy 2 ( 4) 求隐函数的导数下面是实际的例子：求隐函数5y 2 + siny= x 2的导数：In12:=Dt5*y2+Siny=x2,xOut12=10yDty,x+CosyDty,x=2xIn13:=Solve%,Dty,xOut13=Dty,x( 5 ) Dtf,x,Constants->c1 ,c 2 ,计算全微分df , 其中ci是常数下面是实际的例子：In14:= Dtx2+y2+z2,x,Constants->zOut14=2x+2yDty,x,Constantsz( 6 ) Dtf, x1, x

16、2 , x n 计算f对xi的多重全微分下面是实际的例子：In15:= z=x3*y+x2*y2-3x*y2;In16:=Dtz,x,yOut16=3x2 6y + 4xy + 6xyDtx,y + 2y 2 Dtx,y 6xDty,x + 2x 2 Dty,x + 3x 2 Dtx,yDty,x 6yDtx,yDty,x + 4xyDtx,yDty,x5.5多变量函数的积分 (重积分)多变量函数的积分类似于一元函数的积分,可以利用Integrate函数来完成。命令如下：Integratef,x,a,b,y,c,d,z,m,n 计算重积分Nintegratef,x,a,b,y,c,d,z,m,

17、n 数值积分或重积分的数值解下面是具体的例子：计算重积分In1:= Out1=我们也可以直接输入Integrate命令进行积分，但要注意x与y的顺序：In2:=Integrate1/(x2+y+1),y,xOut2= 计算二重积分：In3:= Integratex2+y2,x,0,a,y,0,bOut3=y的积分限也可以是x的函数：In4:= Integratex2+y2,x,0,a,y,0,x2Out4=以下是数值积分的例子：在重积分中，无法求出某个变量的积分值，会求出可积的部分，再输出运算结果。In5:= IntegrateSqrtx+y,x,0,2,y,0,Sqrtx+2Out5=(76924622 1/ 41024-4602 3/ 42430Log3+1215Log1+22 1/