微积分倒数及求导法则

1、第三讲第三讲 导数及求导法则导数及求导法则 1 1 导数概念导数概念定义定义1 1：处的导数处的导数在在0)(xxfy 00000000)()(lim )()(limlim)(0 xxxfxfxxxxxfxxfxyxfxxxx ).()(,:)(,)(, 000000 xydxxdfdxdyyxxfxxfxxxxxx 或或处导数也记作处导数也记作在在处可导处可导在在则称则称若上式右端极限存在若上式右端极限存在定义定义2 2：:.,)(,)()(lim)(,)(0其中其中简称为导数简称为导数的导函数的导函数称它为称它为上定义了一个函数上定义了一个函数则上式在则上式在与之对应与之对应有有即即上每一

2、点都可导上每一点都可导在区间在区间若若xfIxxfxxfxfIxIxfx .)(,)(dxxdfydxdyxf或或也记作也记作 定义定义3 3：.)()(lim)( ;)()(lim)( )(000000000 xxxfxfxfxxxfxfxfxxfxxxx 右导数右导数处的左导数处的左导数在点在点定理定理1 1：.)(),()(,)(0000存在且相等存在且相等存在存在即即处可导处可导在在xfxfxfxxf 例例1 1、.0)(处的导数处的导数在在求求 xxf.)()2( ; 0 00 1sin)()1(2xxfxxxxxf 例例2 2、)0 , 0( )2( )1 , 0( )1(. 过下

3、列点的切线和法线过下列点的切线和法线求求xey )(:000 xxxfyy 切线方程切线方程)()(1:000 xxxfyy 法线方程法线方程定理定理2 2：.)()(00反之不真反之不真连续连续在在则则可导可导在在若若xxf，xxf连续不一定可导的例子：连续不一定可导的例子：.0)()2(;0)()1(3连续但不可导连续但不可导在在连续但不可导连续但不可导在在 xxxfxxxf如图：如图：xxoyxy oy3xy 练练 习习 题题).()0()(,)(,)0()3( ; 0)()2( ; 1)0()1( :)().()()( ,)0)(. 2).0(, 211)(lim,0)(. 10 xf

4、fxfxffxffxfyfxfyxfyxxffxxfxxfx 且且也存在也存在则则存在存在若若具有以下性质具有以下性质试证试证满足关系式满足关系式对于任意实数对于任意实数设函数设函数求求且且的邻域连续的邻域连续在在设设2 2 四则运算求导法则四则运算求导法则定理定理1 1：).0)( )()()()()()()()4();( )()3();()()()( )()()2();()( )()()1(:,)(),(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxuCxCuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxxvxu则则可导可导在点在点若若推论：推论：.)(2();()( )()()1(wuvwvuvwu

5、uvwxvxuxvxu 例例3 3、求导数。、求导数。xxeyxxyxxxyxxyx 1cos)4( sin1cos)3(lncos)2( )1()1(33 3 复合函数求导法则复合函数求导法则定理定理2 2：).()(,)(,)()(,)(xufuyydxdududydxdyxxfyxuuufyxxuxux 或或且且可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在对应点在对应点可导可导在点在点若若例例4 4、求导数。、求导数。xxyeyxaryxyyxyxx 11arctan)6( )5(sinh)4( 2tanln)3(2)2( sin)1(1sincos222例例5 5、求幂指函数的导数。

6、、求幂指函数的导数。xxxyxy1sin)(cos)2( )1( 例例6 6、求抽象函数的导数。、求抽象函数的导数。. )()(,)2(;)(,)1(22)(xgxfygfeefyfxfx 可导可导可导可导4 4 高阶导数高阶导数.)(),(,)()()( 2222dxxfddxydxfyxfxfyxfy或或记作记作的二阶导数的二阶导数的导数为的导数为的导数的导数称称 .)(),(,)()1()( )()(nnnnnndxxfddxydxfynxfnxfy或或记作记作阶导数阶导数的的阶导数的导数为阶导数的导数为的的称称 例例7 7、求二阶导数。、求二阶导数。xxygtharctan)1()2(

7、 21)1(22 例例8 8、导出下列函数的、导出下列函数的n阶导数。阶导数。)()1()6( cos)5(sin)4( )1ln()3()2( )1(Nxyxyxyxyxeyeyxx 定理定理3 3：( (Leibniz公式公式) ) nkkknknnvuCuvnxvxu0)()()(.)(,)(),(则则阶可导阶可导设设例例9 9、.sin)2( )1( :22)(xeyexyyxxn 求求例例1010、.3211)2( cossin)1( :244)(xxyxxyyn 求求练练 习习 题题)(cos)(sin)4( )(ln)(ln)3()29(9(2005()2( )()2()1(.,

8、)(. 122xfxfyxfxfyxfffyxffyyxfx 求求可导可导设设).(0 00 )1ln()(. 222xfxxxxfx 的导数的导数求函数求函数5 5 隐函数的导数隐函数的导数 显函数：显函数：;)1ln(,122等等如如xxyxy 隐函数：隐函数：., 0sin22等等如如ayxyxy ., 0)(,(,)(:.)(0),(即可即可解出解出求导求导两边对两边对则则代入方程代入方程将将现求其导数现求其导数称为隐函数称为隐函数所确定的函数所确定的函数由二元函数由二元函数yxxyxFxyyxyyyxF 例例1111、.y 求求).0(,1)2();10( 0sin)1(yxeyyxyxy 并求并求 例例1212、.y 求求).0(,1)2(;arctanln)1(22yxeyxyyxy 并求并求例例1313、用对数求导法求下列函数的导数。、用对数求导法求下列函数的导数。343225sin)4()3()2)(1()4( 11)3()1()2( )1( xxxxyxxxyxxyyxxxy6 6 参数式的导数参数式的导数.,),()()(22dxyddxdyxyytyytxx求求确定确定设设 .)2(;)1(