数列解答题练习答案

1、13-14学年度上学期高三理数综合练习高三理科数学寒假作业数列答案1. 在等差数列an中，a3 + a4 + a5= 84, ag= 73.求数列an的通项公式；对任意m N*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求 数列bm的前m项和Sm.解(1)因为an是一个等差数列，所以 a3 + a4 + a5= 3a4= 84,即 a4 = 28.设数列an的公差为d,则5d = a9-d = 73 28= 45,故d= 9.由 a4= a1 + 3d 得 28= a1 + 3 x 9 ,即卩 a1 = 1.*所以 an= a1 + (n 1)d= 1 + 9(n 1) = 9

2、n 8(n N ).(2)对 m N*，若 9mv anV 92m,则 9m+ 8V 9nv92m + 8,因此 9m_1 + 1< nW 92m 1,故得 bm= 92m1 9m 1.于是 Sm= b1+ b2 + & + bm32m 1m1、=(9 + 9+ 9) (1 + 9+ 9)=9x(1 81m)1 9m=1 81 1 9=92m+1 - 10X 9m+ 1= 80 .解 (1)由 a2 6, a3 18,得公比 q 3, 因此a1 2,故 an 2 3n1.因为 bn an+ ( 1) In an2 3n1 + ( 1)n|n(2 3n 1)2 3n1 + ( 1)

3、nln 2 + (n 1)ln 32 3n1 + ( 1)n(ln 2 In 3) + ( 1)n nln 3,所以 Sn 2(1 + 3+-+ 3n1)+ 1+ 1 1 + -+ ( 1)n (In 2 In 3)+ 1 + 2 3+-+ ( 1)nnln 3.所以当n为偶数时，n亠 1 3 n n nSn 2X +-ln 3 3* ln 3 1;1 3 2 2 ' 当n为奇数时，专-n ln 31 3nSn 2X (l n 2 ln 3) +1 3n13 2ln 3 ln 2 1.3n+ nln 3 1, n为偶数，综上所述，Sn n13n-ln 3 ln 2 1, n为奇数.an

4、 + an+14.已知数列an满足 a1 1, a2 2, an+2 "', n N .(1) 令bn an+1 an,证明：bn是等比数列；(2) 求an的通项公式.(1)证明 b1 a2 a1 1.an-1 + an当 n2 时，bn an+1 an2 an1是以1为首项，一2为公比的等比数列.班-12 ，解 由(1)知 bn an+1 an2(an一 an_1)= ?bnT，二 bn当 n2 时，an ai + (a? ai) + (a3 a2)+ (an an-1) 1 + 1 + ? + 2nT 221+1!1-1 n-1221-1= 1 = a1,11 +1-1

5、n-15 2=3-3 2.当n= 1时,5 21 nc Sin_3-35. 设数列an的前 n 项和为 Sn.已知 a1 = a(a 3), an+1 = Sn+ 3n, n N.(1) 设bn = Sn-3n,求数列bn的通项公式；(2) 若an+1>an, n N*，求a的取值范围.解(1)依题意，S+1 Sn= an + 1 = Sn+ 3“，即 Sn+1= 2Sn+ 3",由此得 Sn+ L 3“ + 1 二 2(Sn-3,又S1-31 = a- 3(aM3),故数列Sn-3n是首项为a-3,公比为2的等比数 列，*因此，所求通项公式为bn = Sn- 3n= (a -

6、 3)2n 1, n N .(2)由(1)知 Sn= 3n + (a- 3)，-1, n N*,于是，当 n2 时，an= Sn - Sn-1 = 3n + (a- 3)2n-1 - 3n-1- (a- 3)2n-2= 2X 3n 1n-21+ (a-3)2n 2,当n = 1时，a1 = a不适合上式，a, n= 1,2X3n-1+ a-3 2n-2, n2.an+1 an= 4 X 3“ 1 + (a 3)2n 22n-2 12 卽-2+ a- 3 ,i3'n- 2当 n2 时，an+1an? 12*2+ a 30? a一9.又 a2= a1 + 3>a1.综上，所求的a的取

7、值范围是-9,+x).(二)数列综合问题(数列与函数、不等式等知识的综合问题)31*16. 在数列an中，a1 = Q an= 2(n2, n N ),数列bn满足 bn=二;5an-1an I(n N *).(1)求证：数列bn是等差数列；求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.1 * 1证明Tan= 2(n>2, n N), bn=3anTan 11 1 nA 2 时，bn bn 1=；an1an 1 an 1 1=1.an 1 1 an 1 1an 1 112 一 一 1'、一 an-1 又 b1=aH=|.a1 125数列bn是以一5为首项，1为公差的等差数列.712解

8、 由(1)知，bn= n 2，贝U an= 1 +1 + 2n 7，2设函数f(x)= 1+-，2x 7易知f(x)在区间i x，2和2，+*内均为减函数.结合函数f(x)的图象可得，当n = 3时，an取得最小值一1;当n= 4时，an 取得最大值3.7将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表:a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9已知表中的第一列数 a1，a2，a5，构成一个等差数列，记为bn，且b2 4，b5= 10.表中每一行正中间一个数 a1，a3，a7，构成数列6，其前 n项和为Sn.(1) 求数列bn的通项公式；(2) 若上表中，从第二行起，每一行中

9、的数按从左到右的顺序均构成等比数 列，公比为同一个正数，且a13= 1. 求Sn； 记M = n|(n+ 1)cnA A，n N*，若集合M的元素个数为3,求实数入的 取值范围.解得jb1 = 2,4 = 2，解(1)设等差数列bn的公差为d，b1+ d= 4， 则b + 4d= 10，所以bn= 2n.设每一行组成的等比数列的公比为q.由于前 n 行共有 1 + 3+ 5+ (2n 1) = n2个数，且 32<13<42, a10= b4 = 8,n2n_ 2，所以 ai3= aioq3 = 8q3,又 ai3= 1,所以解得 q = 由已知可得 Cn= bnqn 1 ,因此

10、Cn= 2n £) 1 22.所以 Sn= Cl + C2 + C3+ Cn =1 1 2n1 n20+刁+ 三7+21,11111 n ,1 n , n+2因此 2$ = 21 + 2°+ 刁 + + 221 = 4 2 21 = 4,解得 Sn= 8 22.由知Cn 2*-2，不等式(n + 1)6入可化为n 2,入设 f(n) n 2+21 ,15 计算得 f(1) 4, f(2) f(3) 6, f5, f(5)4.因为 f(n+ 1)f(n) n + ；n厂 n ,所以当n3时，f(n+ 1)<f(n).因为集合M的元素个数为3,所以入的取值范围是(4,5.

11、8.已知正数数列an的前n项和为Sn,满足a2 Sn+ Sn-1(n2), a1 1.(1)求数列an的通项公式；*设bn (1 an) a(1 an)，若bn+ 1>bn对任意n N恒成立，求实数a的 取值范围.解(1)因为 a2 Sn+ Sn-1(n2),所以 an-1 Sn-1+ Sn-2(n3),两式相减得 a? ain-1 Sn Sn-2 an+ an-1,所以 an an-1 1(n3).又 a2 S2+ Si,且 a1 1,得 a2 a2 2 0,由 a2>0，得 a2 2,所以 an an-1 1(n2).所以 an n.法 一bn (1 n)2 a(1 n)+ (

12、a 2) n+ 1 a,令 g(t) t2+ (a 2)t+ 1 a,2 a 3当厂<2时，即a> 1时，g(t)在2,+x)上为增函数，且g(1)<g(2)，所 以 b1<b2<b3<；当2-a>2时，即 aw 1 时，g(1)g(2),从而b2= bi不合题意.所以a> 1.法- 令 bn+1 bn 2n+ 1 + a 2>0,所以a>1 -2n,对任意n N*恒成立，所以a> 1.故实数a的取值范围是(一1,+).*9.已知数列an满足 a1 1, an+1 2& + 1(n N ). (1)求数列an的通项公式；

13、(2)证明:n 1<a1+ a2+ +23<a2+a3+anan + 1n *<2(n N ).解：(1)°.an+1 2an+ 1(n N ),-an+1 + 1 2(an + 1),an+ 1是以a1+ 1 2为首项，2为公比的等比数列'an+ 1 2 .即 an 2n 1(nN*)2k 12k 111<2 k1,2,，n,2证明：旦ak+2 2ka1 a2an n"+kak2 一1111111 1 =_一 =_一 一_ < ak+12k+1 122(2k+1 1 ) 2 32k+2k2 2 3 2k1,2,，n,a1 a2an n

14、 1 1 11 n 1 .坛+尹+二12一 3Q+尹+段尸23vn1 a1a2ann*： < + +S( nN).23 a2a3an+123 21_110.已知函数f(x) ax ?x的最大值不大于1，又当x -(1)求a的值；1 * 1设 0<a1<, an+1 f(an), n N，证明：an<.2八n+12+ a!十6.11 n31一"11-4 213,1f(x)1.(1)解 由题意，知 f(x) ax = 2 x 3 '，所以唸羊三6.1又 f(X)maxW 6 所以a2w 1.1 1 _时，f(x)>又当x188'所以f18,解

15、得a > 1.又因为a2w 1,所以a = 1.(2)证明用数学归纳法证明：1当n= 1时，0<ai<3，显然结论成立.因为当x 0, 2时,of) < 6,1 1所以 0<a2= f(a“w6<3故n = 2时，原不等式也成立.1假设当n= k(k>2, k N)时，不等式0<ak<成立.k+ 13因为f(x)= ax 2x2的对称轴为直线1 10<ak<-,得 O<f(a0<fk+13所以由x = f,所以当x 0 宀k+ 1 .o, 3时，f(x)为增函数.十冃.131111k+ 41于疋，0<ak+1

16、= f(ak)< 2 +=2<k+ 1 2 (k+ 1) k + 2 k+ 2 k+ 2 2(k+ 1 f(k+ 2 ) k+ 2所以当n= k+ 1时，原不等式也成立.* 1根据，知对任何nN ,不等式an<成立.n+ 111.设数列an的前n项和Sn满足Sn+1 = a2Sn+自，其中a2工0.(1)求证：an是首项为1的等比数列；若32 > 1,求证：Sn< 2(a1 + an)，并给出等号成立的充要条件.证明 由 S2 = a2S1 + a1,得 a1+ a2 = a2a1+ a1,即 a2= a2a1.a2因 a2 工 0,故 a1 = 1,得=a2,a

17、1又由题设条件知 Sn+ 2= a2Sn + 1 + a1, Sn+1 = a2Sn+ a1,两式相减得 Sn+ 2 Si+1 = a2(Si +1 Sn),即 an+ 2= a2an+1,由 a2工0,知 an+1 0,因此= a2.an+1综上，号丁= a2对所有nN *成立.从而an是首项为1,公比为a2的等比an数列.当n= 1或2时，显然Sn = 2件an),等号成立. 设 n3, a2> 1 且 a2工0,由(1)知，ai= 1, an = a5T1, 所以要证的不等式化为：1 + a2 + £+ a21< 殳(1 + a21)( n3),n + 1即证：1

18、+ a2 + 矗+ a2w(1 + a2)( n2),当a2= 1时，上面不等式的等号成立.当一1 va2< 1 时，a2 1 与 a2一 1, (r= 1,2,n 1)同为负; 当 a2> 1 时，a2 1 与 a2 r 1, (r= 1,2,n1)同为正； 因此当 a2> 1 且 a2工 1 时，总有(a2 1)(a2r 1)>0, 即 a2 + a2rv 1 + £, (r = 1,2,，n 1).上面不等式对r从1到n 1求和得2(a2 + a2+-+ a2一1) v (n 1)(1 + a2).由此得 1 + a2 + a2+ a2v 门；1(1 +

19、 a2).综上，当a2> 1且a2工0时，有 SiW + an), a2 1时等号成立.12.如下图，已知点Q1的横坐标为a1(0：a1 :a)。从曲线C： y = 作直线平行于C于点Q n 1 ,(1 )当且仅当n= 1,2或x2上的点Qn(N ) x轴，交直线I: y =ax于点Pn彳，再从点Pn彳作直线平行于y轴，交曲线 点Qn = (n = 1,2,3，)的横坐标构成数列 ©n仁求数列Sn 1的通项公式；(2)(3)1 当a -1 , &1时，证明2nn 1(ak - ak 1)ak 2 ：:： 32 ； k 132解：(1)因为点Qn(n. N“)在曲线C：

20、y =x2上，所以 Qn(an，a2)因为直线QnPn .1平行于X轴，且交直线I : y =ax于点Pn .1 , 所以 Pn id a2，a：)a因为直线Pn 1Qn ,平行于y轴，且交曲线C: y =x2于点Qn 1 , 所以Qn1聶丄a4)a a1因此点Qn 1的横坐标为an 1 =-公a1anan-1ab)2a a11 2 二 aa品)12(2/a az 1 1 2 22 23 -()a*a22 n _211 .2 .22 - 2n =()a1 2n2n 1=()a2a1a1即 an =a(32a(2)证明：由(1)知 an =a (也)"a而a=1，所以an1因为0 : a22n1二 a 1所以易判断数列 £ n 是递减正数列,所以当k _1时,23 丄41 4刖1询珥?)161所以 ' ©kF 1 1= (a1an1)ad232"氓kF1)(3 )由(2)知数列是递减正数列所以 an 2 =an 1 =T (an 1 ' 3n 1 ' 3n 1 )31 2 2运(丸斗 +an 半an +a