椭圆及其标准方程

1、.8.1 椭圆及其标准方程教学目标1掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；3通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；4通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力； 5通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识教学建议教材分析1  知识结构2重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式难点是椭圆标准方程的建立和推导关键是掌握建立坐标系与根

2、式化简的方法椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于 这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于 时轨迹是一条线段；当常数小于 时无轨迹”这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质但讲解椭

3、圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁设椭圆的焦距为 ，椭圆上任一点到两个焦点的距离为 ，令 ，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难

4、点要注意说明这类方程的化简方法：方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程 “而没有证明，”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求（3）两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在 轴上， 轴上的椭圆标准方程分别为： ， 它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有 ， 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大；椭圆的焦

5、点在 轴上 标准方程中 项的分母较大另外，形如 中，只要 ， ， 同号，就是椭圆方程，它可以化为 （4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法中间变量法例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆教法建议（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给

6、的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历为了让学生了解圆锥曲线

7、名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后

8、再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的定义的教学过程中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。（5）注意椭圆的

9、定义与椭圆的标准方程的联系在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难

10、点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项（为了避免二次平方运算）（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概

11、念对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析（9）要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神。教学设计示例椭圆及其标准方程（第一课时）（一）教学目标掌握椭圆、椭圆的焦点、椭圆

12、的焦距的定义，会推导椭圆的标准方程，能灵活应用椭圆标准形式确定椭圆的标准方程（二）教学过程【情境设置】前面，我们学习了曲线与方程等知识，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线的方程一般有哪几个步骤？对于上述问题的回答不正确的教师要给予纠正这样便于学生温故知新，在已有知识的基础上去探求新的知识。问题2：圆的几何特征是什么？你能否对类似的一些轨迹命题作深入的探索？一般学生都能回答：“平面内到一个定点的距离为常数的点的轨迹是圆”对于同学们提出的轨迹命题教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神【探索研究】1椭圆的定义若同学提到了“到两点距离之和等于常数的点的轨迹”。可因势利导进一步问满足这种

13、条件的动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图取一条一定长的钢绳，把它的两端固定在画板上的 和 两点（如图），当绳长大于 和 间的距离时，用铅笔尖把细绳拉紧，使笔尖在图板慢移动，就可以画出一个椭圆通过画图过程，揭示椭圆上的点所要满足的条件在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距学生开始只强调椭圆的几何特征到两个定点 、 的距离的和等于常数这时教师在演示中再从两方面加以强调：将穿有铅笔的细绳拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形使学生认识到必须限制：“在平面内”；这里的常数为什

14、么要大于 ？教师边演示边提示学生注意：若常数 ，则点 的轨迹是线段 ，若常数 ，则轨迹不存在所以要使轨迹是椭圆，必须加上限制条件：“此常数大于 ”2椭圆的标准方程1椭圆的标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质则一无所知为此需要用坐标法先建立椭圆的方程建系设点建立坐标系是求曲线方程重要而关键的一步，一般应遵循简单、优化的原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到以下的选取方法是恰当的以两定点 、 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系（如图）设 ， 为椭圆上的任意一点，则 、 又设 与 、 的距离的和等于

15、 点的集合由定义不难得到椭圆的集合为 代数方程化简方程化简方程可请一位反应比较快、书写较规范的同学板演，其余同学在下面完成教师巡视，适当给予提示：原方程要移项平方，使之抵消部分项，否则相当复杂；一次平方后还含有根式可整理后再平方，化为 ；为了使方程简单对称和谐，引入 ，使 ，从而得到方程 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材不要求，可从略因此，方程 即为所求椭圆的标准方程，它表示椭圆的焦点在 轴上，焦点是 、 这里 如果使点 、 在 轴上，点 、 的坐标分别为 、 ，那么所得方程变为 ，这个方程也是椭圆的标准方程2两种标准方程的比较（引导学生归纳）两种标准方程中都有 ， ，因此对于方程 ，只要

16、 、 、 同号就是椭圆方程；它们的不同点是椭圆的位置不同，焦点坐标也不相同由于 ，所以可以根据分母的大小来判定椭圆的焦点在哪一个坐标轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上（3）例题分析例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点的坐标分别是 、 ，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10两个焦点的坐标分别是 、 ，并且经过点 解：因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 ，      ，      所以所求椭圆的标准方程为 因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知： ，又   

17、60; 所以所求椭圆的标准方程为 另法：设所求的标准方程为 依题意得 解得 所以所求椭圆的标准方程 点评：由已知条件，所求椭圆的标准方程的解题模式是：先确定焦点的位置，设出标准方程（若不能确定焦点的位置，则应分类讨论），再用待定系数法确定 、 的值例2  已知 、 是两个定点， ，且 的周长等于16，求顶点 的轨迹方程分析：由 的周长等于16， 可知，点 到 、 两点的距离的和是常数因此，点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，可适当建立坐标系求出方程解：如图，建立坐标系，使 轴经过点 、 ，原点 与 的中点重合由已知 ，有 即点 的轨迹是椭圆，且 ， ， ， 但当点 在直线 上，即 时，

18、 、 、 三点不能构成三角形，所以点 的轨迹方程是 点评：求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件变题1°已知 ， ， ， ， 成等差数列，求点 的轨迹方程2°，在 中， ， ， ，求顶点 的轨迹方程第1°题 、 、 三点不必构成三角形，就不应限制 ，2°， （ ， ， 为 的三边）应注意能构成三角形（三）随堂练习1平面内两个定点的距离等于8，一个动点 到这两个定点的距离的和等于10，建立适当的坐标系，写出动点 的轨迹方程2如果椭圆 上一点 到焦点 的距离等于6，则点 到另一个焦点 的

19、距离是_3写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ， ，焦点在 轴上； ， ，焦点在 轴上； ， 答案：1    2143            或 （四）总结提炼1椭圆的定义：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数 的点的轨迹是椭圆当 时，动点的轨迹为线段 ，当 时，动点不存在2椭圆的标准方程焦点在 轴上椭圆的标准方程为 焦点在 轴上椭圆的标准方程为 焦点所在坐标轴由分母大小对应分子的变量来确定3 、 、 之间的关系是 ， ， ， 、 大小不确定（五）布置作业1椭圆 上一点 到一个焦点

20、的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（     ）A5          B7          C8            D102椭圆 的焦距是2，则 的值等于（       ）A5或3 

21、60;    B5         C8          D163焦点坐标为（0，4）、（0，4）， 的椭圆的标准方程为_4已知椭圆 ， 、 是它的焦点， 是过 的直线与椭圆交于 、 两点，则 的周长为_5化简下列方程，使结果不含根式：（1） （2） 6动点 到两个定点 、 的距离的和是 ，求动点 的轨迹方程答案：1B   2A  3   4 5（1） &

22、#160;（2）      6 （六）板书设计8.1  椭圆及其标准方程（一）1椭圆的定义2椭圆的标准方程（1）标准方程的推导（2）标准方程的比较例1例2学生练习教学设计示例椭圆及其标准方程（第二课时）（一）教学目标能根据条件熟练地求出椭圆的标准方程，借助椭圆方程巩固求曲线方程的一般方法，并能根据条件对一些点进行取舍，学会利用中间变量（相关点）求轨迹方程或轨迹（二）教学过程（请两位学生回答，教师板书）问题1椭圆的定义是什么？平面内到两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹问题2椭圆的标准方程是怎样的？当焦点在 轴上时为 ；当焦点在

23、轴上时为 由椭圆的定义和标准方程可知，确定椭圆的标准方程需要三个条件，除需要指明焦点位置外，还要求出 、 的值【探索研究】例1  求焦点在坐标轴上，且经过 和 两点的椭圆的标准方程分析：由题设条件焦点在哪一个坐标轴上不明确，椭圆的标准方程有两种情形为了计算简便，可设其方程 ，而不必考虑焦点位置，直接可求出方程：由一位学生板演完成，解答为：设所求的椭圆方程为 ，由 和 两点在椭圆上可得        即 解得 故所求的椭圆方程为 点评：不明确焦点在哪一个坐标轴上时，通常应进行分类讨论，但计算较繁，一般可设所求的椭圆方程为 ，不

24、必考虑焦点位置，用待定函数法求出 、 的值即可例2  的两个顶点坐标分别是 和 ，另两边 、 的斜率的乘积是 ，求顶点 的轨迹方程解：设顶点 的坐标为 依题意得 顶点 的轨迹方程为 点评（1）不少学生会误认为椭圆的焦点就是 、 与推导出的方程表示焦点在 轴，椭圆矛盾，因而对正确性产生怀疑说明这里顶点 的轨迹显然是椭圆但不直接满足椭圆的定义（2）此题可以推广为： 的两顶点坐标分别是 和 ，另两边 、 的斜率的乘积是 ，求顶点 的轨迹方程，请读者自己完成例3  如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段 ，求线段 中点 的轨迹解：设点 的坐标为

25、 ，点 的坐标为 ，则 ， 因为 在圆 上，所以          将 ， 代入方程得 即 所以点 的轨迹是一个椭圆点评：（1）在求点 的轨迹方程时，也可寻找 、 与中间变量 、 之间的关系利用已知关于 、 之间关系的方程，得到关于 、 的方程，这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法也是常用的方法（2）由本题的结论可以看出，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆例4  一动圆与已知圆 外切，圆 内切，试求这动圆圆心的轨迹方程分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条

26、件由一位学生板演，教师巡视，同时启发学生分析解答如下：显然两定圆的圆心和半径分别为 ， ； ， 设动圆圆心为 ，半径为 ，则由题设有 由椭圆定义可知 在以 ， 为焦点的椭圆上 ， ，    故动圆圆心的轨迹方程为 （三）随堂练习1以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 和 ，则此椭圆方程是（      ）A                   B C 或

27、      D以上都不对2已知椭圆的方程是 ，它的两个焦点分别为 、 ，则 ，弦 过 ，则 的周长为（       ）A10          B20         C           D 3已知一定圆 及其内一异于圆心 的

28、定点 ，过点 且与圆 相切的动圆圆心 的轨迹是（       ）A直线         B线段           C圆            D椭圆答案：1A  2D  3D（四）总结提炼1在求椭圆的标准方程时，必须先确定焦点的

29、位置，选择相应的标准方程，然后再根据条件求出 、 的值；若动点的轨迹满足椭圆定义时，可直接用定义写出方程，而不必要去重复繁琐的化简2在求一些椭圆的方程时，要注意一些特殊点的取舍，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆（五）布置作业1如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是（      ）A           B（0，2）        C  

30、0;         D（0，1）2过点（3，2）且与 有相同焦点的椭圆方程是（      ）A                     B C            &

31、#160;        D 3若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ， 应满足的条件为_4点 是椭圆 上一点，以点 以及焦点 、 为顶点的三角形的面积等于1，则 点的坐标为_5从圆 上任意一点 向 轴作垂线段 ，且线段 上一点 满足关系式 ，求点 的轨迹6如图，线段 的两端 、 分别在 轴、 轴上滑动， ，点 是 上一点，且 ，点 随线段 的运动而变化，求点 的轨迹方程答案：1D  2A  3 4 或 或 或 5 6设 ， ， 依题意得 由 得     即 即 这就是 点的轨

32、迹方程（六）板书设计8.1  椭圆及其标准方程（二）（一）复习提问问题1问题2（二）椭圆标准方程的求法（三）例题分析例1例2例3例4练习1练习2（四）小结典型例题（一）（例1例5）例1 已知椭圆 的一个焦点为（0，2）求 的值分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 ，根据关系 可求出 的值解：方程变形为 因为焦点在 轴上，所以 ，解得 又 ，所以 ， 适合故 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点 ， ，求椭圆的标准方程分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数 和 （或 和 ）的值，即可求得椭圆的标准方程解：当焦点在 轴上时，设其方程为 由椭圆

33、过点 ，知 又 ，代入得 ， ，故椭圆的方程为 当焦点在 轴上时，设其方程为 由椭圆过点 ，知 又 ，联立解得 ， ，故椭圆的方程为 例3 的底边 ， 和 两边上中线长之和为30，求此三角形重心 的轨迹和顶点 的轨迹分析：（1）由已知可得 ，再利用椭圆定义求解（2）由 的轨迹方程 、 坐标的关系，利用代入法求 的轨迹方程解： （1）以 所在的直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系设 点坐标为 ，由 ，知 点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，且除去轴上两点因 ， ，有 ，故其方程为 （2）设 ， ，则       由题意有 代入，得 的轨迹方程为 ，

34、其轨迹是椭圆（除去 轴上两点）例4 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，过 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出 和 （或 和 ）的值从而求得椭圆方程解：设两焦点为 、 ，且 ， 从椭圆定义知 即 从 知 垂直焦点所在的对称轴，所以在 中， ，可求出 ， ，从而 所求椭圆方程为 或 例5 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭圆上一点， ， 求： 的面积（用 、 、 表示）分析 求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面积解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称

35、性，不妨设 在第一象限由余弦定理知： · 由椭圆定义知：            则 得 故 典型例题（例6例9）例6 已知椭圆 ，（1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，求线段 中点 的轨迹方程分析 此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则  

36、       得 由题意知 ，则上式两端同除以 ，有 ，将代入得                           （1）将 ， 代入，得 ，故所求直线方程为           

37、;                       将代入椭圆方程 得 ， 符合题意，故 即为所求（2）将 代入得所求轨迹方程为：           （椭圆内部分）（3）将 代入得所求轨迹方程为 （椭圆内部分）（4）由得      

38、     ，         将平方并整理得 ，            ，             将代入得 ，         再将 代入式得 ，即 

39、0;             此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例7 已知动圆 过定点 ，并且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方程分析 关键是根据题意，列出点P满足的关系式解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 动点 到两定点，即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，即 点 的轨迹是以 ， 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为 的椭圆的方程： 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是

40、求轨迹方程的一种重要思想方法例8 已知椭圆 及直线 （1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程分析  直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式已知弦长，由弦长公式就可求出 解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，即 ，解得 （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得， 根据弦长公式得 解得 因此，所求直线的方程为 说明  处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式

41、；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程例9 以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点 应在何处？并求出此时的椭圆方程分析  椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称的知识就可解决解：如图所示，椭圆 的焦点为 ， 点 关于直线 的对称点 的坐标为（9，6），直线 的方程为 解方程组 得交点 的坐标为（5，4）此时 最小所求椭圆的长轴 ， ，又 ， 因此，所求

42、椭圆的方程为 说明  解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线同侧两已知点的距离之和最小扩展资料导出椭圆标准方程的新途径在化简方程： 导出椭圆的标准方程时，用的是两次平方，将无理式化为有理式，过程比较长，运算繁杂下面介绍两种简便快捷的方法方法一：用均值换元法设 得 ，即 将 代入式得      将式两边平方得 即 因为 ，设 ，整理得 方法二：用三角换元法设 得 即 即 代入式得 以下同方法一略扩展资料我们周围的圆锥曲线圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现.在笛卡尔直角坐标系中,这些曲线的方程是二次方程,所以圆

43、锥曲线又叫做二次曲线.对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高.在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线.例如,我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆.太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆.这个事实是由开普勒第一定律确定的.之所以沿着椭圆轨道运动,是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度.事实证明,假如这个速度过大了,运动就会沿着抛物线或双曲线轨道进行.相对于一个静止的物体,并按照万有引力定律受他吸引的物体运动,不可能有任何其他的轨道.因此,二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的.又如,如果让抛物线绕其轴旋转,就得到一个叫做旋转抛物面的曲面.在抛物面的轴上,有一个具有美妙性质的焦点,任何一条通过

44、该点的直线由抛物面上反射出来之后,在指向上都平行于抛物面的轴.而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状,并且把灯泡放在焦点上,那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束.这显然是一个很大的优点,因为正是这样一束光线在空间中,甚至于在离光源距离相当大的情况下,很少扩散.当然,实际上我们得不到理想的平行光束,因为灯泡不是一个点,但对于实用的目的来说,只要接近于这样的光束就够了.天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的.它的作用刚好和探照灯的作用相反:探照灯的反射镜把光线反射到空间,天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上.只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了,这样,我们就会得

45、到聚焦到其光线的那个星球的信息,这比肉眼观察所能提供的信息要多的多.那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴.如果使双曲线绕这条轴旋转,那么,形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处.单叶双曲面是直纹曲面.上面有两组母直线族,各组内母线彼此不相交,而与另一组母线永远相交.正是这种性质在技术中得到了应用.例如,用直立木杆造水塔,如果把这些杆垂直地放置,那就只能得到一个很不牢固的建筑物,他会因为非常小的负荷而损坏.如果立杆时,使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族),并使他们的交点处连接在一起,就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物.许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理.

46、在尝试解决古代名题的过程中,所发现的各种美妙曲线远不限于螺线,蚌线和圆锥曲线.可是,不管找到了多少美妙的曲线,他们还是解决不了古代名题.要知道,正像我们还记得的那样,要求不只是解出这些名题,而是除了直尺和圆规外,不准利用其他任何工具.而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话,对这个问题给予肯定的回答,原则上显得比给予否定的回答更容易,只不过需要尝试才能找到这个答案.经过或多或少,接连不断的寻找,这种题解通常可以找到.在题解不存在的情况下,事情则难办的多.这时,只有停留在普通的几何直观上,几乎不可能得到所需要的答案.在这种情况下,可以对问题进行精

47、确的代数分析,以便用归结为完成某些代数方程问题的不可能性证明解答这个问题的不可能性.这样,就要求助于代数!扩展资料圆锥曲线的产生与发展希腊著名学者梅内克缪斯（公元前4世纪）企图解决当时的著名难题“倍立方问题”（即用直尺和圆规把立方体体积扩大一倍）。他把直角三角形ABC的直角A的平分线AO作为轴。旋转三角形ABC一周，得到曲面ABECE，如图 1。用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲线EDE，梅内克缪斯称之为“直角圆锥曲线”。他想以此在理论上解决“倍立方问题。”未获成功。而后，便撤开“倍立方问题”，把圆锥曲线做为专有概念进行研究：若以直角三角形ABC中的长直角边AC为轴旋转三角形ABC一周，得

48、到曲面CBEBE，如图2。用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口为一曲线，称之为“锐 角圆锥曲线”；若以直角三角形ABC中的短直角边AB为轴旋转三角形ABC一周，可得到曲面BCECE。如图3。用垂直于BV的平面去截此曲面，其切口曲线EDE称为“钝角圆锥曲线”。当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得到，因此，被称为圆锥曲线的“雏形”。   经过了约二百年的时间，圆锥曲线的研究取得重大突破的是希腊的两位著名数学家奥波罗尼奥斯（公元前三世纪后半叶）和欧几里得（公元前300前275）奥波罗尼奥斯在他的著作 圆锥曲线论中，系统地阐述了圆锥曲面的定义，利用圆锥曲面生成

49、圆锥曲线的方法与构成，而且还对圆锥曲线的性质进行了深入的研究，他发现:（1）椭圆，双曲线任一点M处的切线与 、 （ 、 为两定点，后人称之为焦点）的夹角相等；（2）对于椭圆， （ 为常数，且大于 ）。（3）对于双曲线，  （ 为常数，且小于 ）。 但是，阿波罗尼奥斯对抛物线没有发现这类性质。欧几里得在他的巨著几何原本里描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，即：平面内一点F和一定直线AB，从平面内的动点M向AB引垂线，垂足为C，若|MF|：|MC| 的值一定，则动点M的轨迹为圆锥曲线。只可惜对这一定理欧几里得没有给出证明。 又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他

50、的著作汇篇中，才完善了欧几里得的关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了证明。他指出，平面内一定点F和一定直线AB，从平面内的动点M向AB引垂线，垂足为C，若|MF|：|MC| 的值一定，则当|MF|：|MC| 的比值小于1时，动点M的轨迹是椭圆，等于1时是抛物线，大于1时是双曲线。至此，圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了。 扩展资料折纸游戏椭圆准备一张纸片（如图1）（其中 点表示圆心， 点表示圆内除 点以外的任意一点。）将圆纸片翻折，使翻折上去的圆弧通过 点（图2），将折痕用笔画上颜色。继续上述过程，绕圆心一周。观察看到了什么？想一想为什么？直线围成了椭圆（如图3）如图4，设折痕为

51、 ，那么 点关于直线 的对称点 一定在圆弧上连接 ，交 与 点，连结 ，则 =半径长（定值），所以 点的轨迹是椭圆   根据对称性，找到了折痕上一点满足到两定点的距离和等于定长，从而满足椭圆定义，得出结论   在这个问题中，怎么知道椭圆上的点恰好是图4中的点 呢？   是直线 上的点到两点 、 距离之和最小的点（易证），由包络图可以知道，椭圆上的点应该是过该点椭圆的切线上到两点 、 距离之和最小的点（图5）这就从反面证明了，如果椭圆上的点不是折痕上的 点的话，那么 点就在椭圆内部了，这与图形不符通过上述的折纸过程及分析、证明过程的讨论

52、，使同学们对椭圆的定义有更深的理解，并且对椭圆的几何性质也有了一个初步的认识）在这个问题中，涉及到很多的数学知识如这些折痕实际上是椭圆的切线，在图511（4）中，由对称性可知， ，这一点反映在椭圆的光学性质上如果有一束光从 点出发，经椭圆反射后，反射光一定通过 点，北京天坛公园里的回音壁就是根据这个原理建造的探究活动标准圆柱的直径工厂检验员通常用一个直径为 的标准圆柱和一个直径为 的标准圆柱检测一个直径为 的圆洞为了保证质量，有时再插入两个合适的同号标准圆柱，分别与三圆柱相切（如图），问这两个标准圆柱的直径应该是多大？解：如图所示，以过三圆心 、 、 的直线为 轴，大圆（直径为 ）的圆心 为坐

53、标原点，建立直角坐标系设所求圆 的半径为 ， 交大圆于 因为           ，           ，           ，所以           ，即点 在以 、 为焦点的椭圆上 

54、;          ， ，           ， 那么这个以 、 为焦点， 中点为中心，长轴为 的椭圆方程为 又因为 ， ，所以 ，同理，点 在以 、 为焦点，中心为 中点 ，长轴为2的椭圆上，它的方程是 联立上述两椭圆方程，解方程组得交点为 或 ，从而可得圆 的半径 所以，两个标准圆柱的直径应该是 探究活动放映机的反光镜面有一种电影放映机的放映灯泡是在灯泡的玻璃内壁上镀铝，并留有透明窗（通光孔）的专用灯泡它的反

55、射镜面是旋转椭球面的一部分，它的中心截口 是椭圆的一部分，灯丝位于它的一个焦点 上，片门位于另一个焦点 上，从而能获得最强烈的光线（如图）已知两焦点间的距离 ，椭圆的半通径（即半正焦弦）的长 为了开模子加工制造这种灯泡，求此椭圆的方程 解：如图建立直角坐标系，那么所求椭圆的方程可设为 因为 是直角三角形，有 又由椭圆的性质知， ，所以 ， 所求的椭圆方程为 说明：利用旋转椭球面的性质，将片门放在另一焦点上，从而获得最强光线习题精选一、选择题1已知椭圆的焦点 ， ， 是椭圆上一点，且 是 ， 的等差中项，则椭圆的方程是（     ）A  

56、0;              B C                 D 2椭圆 的焦点坐标是（      ）A              

57、;  B C                D 3已知 ， 是椭圆 上的动点， 是线段 上的点，且满足 ，则动点 的轨迹方程是（       ）A          B C          D 二、填空题4与椭圆 有相同焦点且过

58、点 的椭圆方程是_5点 是椭圆 上一点， 是其焦点，若 ，则 的面积为_6已知 ， 是椭圆 内的点， 是椭圆上的动点，则 的最大值为_，最小值为_三、解答题7椭圆的焦距为6且经过点 ，求焦点在 轴上的椭圆的标准方程8椭圆的一个焦点是 ，且截直线 ，所得弦 的中点横坐标为 ，求椭圆的标准方程9已知方程 ， ，对不同范围内的 值分别指出方程所代表的曲线的类型，并画出显示其特征的草图10已知直线 交椭圆 于 ， 两点，点 坐标为（0，4），当椭圆右焦点 恰为 的重心时，求直线 的方程四、研究题椭圆 与直线 相交于 ， 两点， 是 的中点，若 ， 为原点， 的斜率为 ，求椭圆的方程参考答案：一、1C&

59、#160; 2C  3B二、4   5    6 ， 三、7 8设所求椭圆方程为 ，由 ，得 ，将 与 联立消去 得设 ， ，则 ，解出 、 ，所求椭圆方程为 9当 时，方程的图形为直线 ；当 时方程的图形为中心在原点、焦点在 轴上的椭圆；当 时方程的图形为以原点为圆心、2为半径的圆；当 时方程的图形为中心在原点、焦点在 轴上的椭圆画图略10设 ， ，由 及 为 的重心有 ， 得 ， ， 所以 中点为（3，2）又 、 在椭圆上，故 ， 两式相减得到 ，可得 即为 的斜率，由点斜式可得 的方程为 四、由直线方程与椭圆方程联立消去 得设 ， ， ，则 ， ，

60、 ，所以 ；又由 可得 由，解得 ， ，所求椭圆为 8.2 椭圆的简单几何性质教学目标1掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的 以及 的几何意义， 、 之间的相互关系；2通过根据椭圆的标准方程研究椭圆几何性质的讨论，使学生初步尝试利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质的基本方法，加深曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题和解决问题的能力；3掌握椭圆的第二定义，能应用椭圆的第二定义解决有关问题；4掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题5使学生初步能利用椭圆的有关知识来解决有关的实际问题；6通过学生用代数方法研究曲线的几何性质的初步尝试，使学生领会解析几何的基本思想教学建议教材分析1知识结

61、构2重点难点分析重点是利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质；难点是椭圆第二定义的应用；关键是注意数形结合、方程的思想及等价转化思想的运用根据曲线的方程来讨论曲线的几何性质，是解析几何的主要内容，也是我们学习解析几何的主要目的之一它体现了数形结合的思想方法尽管从椭圆的定义可以分析出椭圆的一些几何性质，但这不是解析几何所要研究的基本问题我们一定要从椭圆的标准方程出发，仔细研究椭圆的几何性质，如由 ，得 ，；在椭圆方程 中，以 代换 方程不变，说明椭圆关于 轴对称，；又同 ，当且仅当 时， 取得最大值 ，所以椭圆的长轴为 ， ， 为椭圆的两个顶点，等等我们这样研究椭圆的几何性质，就是想让学生做“用代数的方法研究几何问题”的初步尝试椭圆的几何性质可分为两类一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标、准线方程对于第二类性质，只要将 的有关性质中横坐标