大学物理第15章 机械波

1、普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教材国家级规划教材大学物理（第二版）大学物理（第二版） 第第 四四 篇篇 波动学波动学 第第 15 15 章章 机械波机械波 课件制作者：李洁课件制作者：李洁第第15章章本章主要内容本章主要内容波的干涉波的干涉 波的衍射波的衍射 多普勒效应多普勒效应 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 15.2 波的能量波的能量 15.3 15.4 15.5 15.6 非线性波非线性波 15.7 机械波的产生及特征机械波的产生及特征 15.115.1 机械波的产生及特征 15.1.1 机械波的产生机械波的产生 15.1.2波的分类波的分类 15.1.4波振面

2、和波线波振面和波线 15.1.3波的特征量波的特征量15.1.1 机械波的产生机械波的产生振动的传播过程称为波动。机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。产生机械波的必要条件：波源 作机械振动的物体；媒质 能够传播机械振动的弹性媒质。 波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。 波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。15.1.2 波的分类波的分类横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行软绳波的传播方向质点振动方向软弹簧波的传播方向质点振动方向 在机械波中，横波只能在

3、固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。15.1.3 波的特征量波的特征量周期周期T波速波速u波长波长单位时间内振动状态(或相位)传播的距离标准单位m/s沿波的传播方向上,两个相邻的同相位质点之间的距离,称为波长.单位m波动传播一个波长的距离所需要的时间,称为周期.单位s波的传播速度、波长、周期或频率是波的特征量.关系为 或 uTu波传播方向波速15.1.3 波的特征量波的特征量(续续1)关于波速问题关于波速问题: 波速取决于媒质的弹性波速取决于媒质的弹性(弹性模量弹性模量)和媒质的惯性和媒质的惯性(密度密度)固体:固体可

4、以产生切变和容变,其相应弹性模量如下计算sfG/VVsfB固体的切变弹性模量固体的容变弹性模量液体和气体:液体可以产生容变,其容变弹性模量如固体一致对于密度为 的固体,在其中传播横波和纵波的速度为液体和气体中传播纵波的波速为Gu Bu Bu 15.1.3 波的特征量波的特征量(续续2)关于波速问题关于波速问题: 波速取决于媒质的弹性波速取决于媒质的弹性(弹性模量弹性模量)和媒质的惯性和媒质的惯性(密度密度)细长棒:沿着棒的长度方向传播纵波的波速取决于杨氏弹性模量及其惯性llsfY波速为Yu 紧张的弦上传播的横波的波速取决于密度 和张力TTu 15.1.4 波阵面和波线波阵面和波线波 前波 面波

5、 线波面振动相位相同的点连成的面。波前最前面的波面。平面波 （波面为平面的波）球面波 （波面为球面的波）波线（波射线）波的传播方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。15.2 平面简谐波的波函数 15.2.1 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 15.2.2波函数的物理意义波函数的物理意义 15.2.3波动微分方程波动微分方程15.2.1 平面简谐波的波函数简谐波:由简谐振动的传播所形成的波动。简谐波又称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加 对于机械波，若波源及弹性媒质中各质点都持续地作简谐振动所形成的连续波，则为简谐机械波。简谐波又

6、称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加简谐波的一个重要简谐波的一个重要模型是平面简谐波。模型是平面简谐波。 平面简谐波的平面简谐波的波面是平面，有波面是平面，有确定的波长和传确定的波长和传播方向，波列足播方向，波列足够长，各质点振够长，各质点振动的振幅恒定。动的振幅恒定。15.2.1 平面简谐波的波函数(续1)一列平面简谐波（假定是横波）观测坐标原点任设（不必设在波源处）波沿 X 轴正向传播（正向行波）设 位于原点 处质点的振动方程为 已知振动状态以速度 沿 轴正向传播 。对应同一时刻 ， 振动状态与原点在时刻的振动状态相同。点的因此，在

7、设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻的振动规律为这就是沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程。它是时间和空间的双重周期函数。15.2.1 平面简谐波的波函数(续2)沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程得波动方程常用周期波长或频率的形式表达由消去波速和分别具有单位时间和单位长度的含义，分别与时间变量 和空间变量 组成对应关系 。 15.2.2 波函数的物理意义若给定 ，波动方程即为距原点 处的质点振动方程距原点 处质点振动的初相若给定 ，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的波形图。15.2.2 波函数的物理意义(续1)若 和 都是变量，即 是 和 的函数，

8、 这正是波动方程所表示的波线上所有的质点的振动位置分布随时间而变化的情况。可看成是一种动态的波形图。正向波同一时刻，沿 X 轴正向，波线上各质点的振动相位依次落后。波沿 X 轴正向传播波沿 X 轴反向传播15.2.3 波动的微分方程把平面简谐波的波函数分别对t和x求二阶导数得)(cos222uxtAty)(cos2222uxtuAxy222221tyuxy将左边两式相比较有如下关系:任一平面简谐波可以由许多不同频率的简谐波合成,所以对任一平面波的波函数分别求t和x的二阶偏导,都可以得到右式,它反映了一切平面波的共同特征,称为平面波的波动方程)(cosuxtAy15.3 波的能量现象：若将一软绳

9、（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）上下抖动振速 最小振速 最大形变最小形变最大时刻波形在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变，具有 弹性势能各体积元以变化的振动速率 上下振动， 具有振动动能总能量15.3 波的能量(续1)动能动能计算)(sinuxtAtyv)(sin21212222uxtAVmvWk势能计算)(sinuxtuAxyykxyYfs22221)(21)(21xyxYxyYykWssp波函数)cos(uxtAyYuxsVs且波速为棒的截面积上式中,)(sin21222uxtAVWp)(sin222uxtAVWWWpk波在传播过程中波在传播过程中,任一时任一时刻体元的动能和势

10、能不刻体元的动能和势能不仅大小相等仅大小相等,而且相位也而且相位也相同相同15.3 波的能量(续2)能量能量按周期平均能量按周期平均能量按波长平均能量按波长平均能量介质中单位体积的能量介质中单位体积的能量单位时间内通过垂直于单位时间内通过垂直于波速波速u的单位横截面积上的单位横截面积上的平均能量的平均能量W/m2)(sin222uxtAVW22222021)(sin1AdtuxtATT22222021)(sin1AdxuxtAuAussuI222115.4 波的干涉干涉干涉 15.4.1 波的叠加原理 几列波在同一介质中传播时,在相遇处每列波仍然保持各自原有的特性(波长、频率、振动方向等）。相

11、遇处质点的振动，是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成，这种波动传播的独立性称为波的独立性原理，或波的叠加原理叠加原理15.4.2 波的干涉波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象。若有两个波源振动 频率相同振动 方向相同振动 相位差恒定 它们发出的波列在媒质中相遇叠加时，叠加区域中各质点所参与的两个振动具有各自的恒定相位差，某些质点的振动始终加强，某些质点的振动始终减弱或完全相消。这种现象称为波的干涉。能产生干涉现象的波称为相干波其波源称为相干波源15.4.2 波的干涉（续1）相干振动合成相干振动合成相干振动合成相干振动合成分别引起 P 点的振动2p pr1 y1 A1 cos t + (

12、 1 1)y2 A2 cos t + ( 2 22p pr2 )合振动 y y1 + y2 A cos ( t + ) )AA12A22A1 A2 cos2 2 2 1 12p p() )r2 r1 1 12p pr1 )(A1 sin 2 22p pr2 )(A2 sin 1 12p pr1 )(A1 cos 2 22p pr2 )(A2 cosA2A1Ay10 A10 cos ( t + 1 1) )y20 A20 cos ( t + 2 2) )两相干波源的振动方程15.4.2 波的干涉（续2）相干振动合成相干振动合成分别引起 P 点的振动y1 A1 cos t + ( 1 1)y2 A

13、2 cos t + ( 2 22p pr1 2p pr2 )合振动 y y1 + y2 A cos ( t + ) )A2A1Ay10 A10 cos ( t + 1 1) )y20 A20 cos ( t + 2 2) )两相干波源的振动方程1AA2A22A1 A2 cos2 2 2 1 12p p() )r2 r1 故空间每一点的合成振幅 A 保持恒定。 P点给定，则 恒定。 y1 y2 两振动的相位差相长与相消干涉相长与相消干涉AA12A22A1 A2 cos2( 2 2 1 12p p) )r2 r1 合成振动的振幅最大r2 r1 2p p 2 2 1 1（ 0,1,2, )当时r2

14、r1 2p p 2 2 1 1当（ 0,1,2, )时合成振动的振幅最小15.4.2 波的干涉（续3）15.4.2 波的干涉（续4）波程差表达式波程差表达式AA2A22A1 A2 cos2( 2 2 1 12p p) )r2 r1 若 2 2 1 1即两分振动具有相同的初相位则 取决于两波源到P点的路程差 ， 称为波程差r2 r1 2p p （ 0,1,2, )当时即则合成振动的振幅最大 波程差为零或为波长的整数倍时，各质点的振幅最大，干涉相长。r2 r1 2p p （ 0,1,2, )当时则合成振动的振幅最小即 波程差为半波长的奇数倍时，各质点的振幅最小，干涉相消。15.4.3 驻 波波干涉

15、是特定条件下的波叠加， 驻波是特定条件下的波干涉。条 件：两列相干波振幅相等相向传播发生干涉现 象：干涉区域中形成的驻波各质点的振幅分布规律恒定形成一种非定向传播的波动现象正向行波反向行波maxmin0波腹波节15.4.3 驻 波（续1）驻波形成图解驻波形成图解t = = 0t = = T / 8t = = T / 4t = = 3T / 8t = = T / 2t = = 5T / 8t = = 3T / 4t = = 7T / 8t = = T 在同一坐标系XOY 中正向波反向波驻波点击鼠标，观察在一个周期T 中不同时刻各波的波形图。每点击一次，时间步进合成驻波15.4.3 驻 波（续2）

16、为简明起见， 设改写原式得并用由正向波反向波驻 波 方 程注意到三角函数关系得驻 波 方 程驻 波 方 程波节波腹波腹处振幅最大波节处振幅最小它的绝对值表示位于坐标 x 处的振动质点的振幅。即描述振幅沿 X 轴的分布规律。振幅分布因子谐振动因子驻波中各质点均以同一频率 作简谐振动。 15.4.3 驻 波（续2）驻波的相位特点驻波的能量特点同一时刻,相邻两波节之间的各质点的振动相位相同,波节两侧的各质点的振动相反；驻波不是振动相位的传播过程，驻波的波形不发生定向传播最大 其它各质点同时通过平衡位置时波节体积元不动，动能其它各质点同时到达最大位移时 波腹其它质点的动能波节处变最大 势能最大波腹附近

17、各点速度最大波节及其它点无形变驻波的能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移。声 源水空气声 源水玻璃由波密媒质到波疏媒质界面反射由波疏媒质到波密媒质界面反射当形成驻波时反射界面上总是出现波腹反射界面上总是出现波节振源固定端反射软绳自由端反射总是出现波腹总是出现波节当形成驻波时由入射波与反射波产生驻波“半波损失”与15.5 波的衍射波的衍射 15.5.1 惠更斯菲涅耳原理 惠更斯原理：介质中波动传播到的各点，都可以看成是发射子波的波源，其后的任一时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。 惠更斯菲涅耳原理：介质中波动传播到的各点，都可以看成是发射子波的波源

18、，其后的任一时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面，波阵面上的每一点不仅可以看成是发射子波的波源，而且这些子波波源是相干波源，它们发出的子波是相干波，相干波的干涉决定波的强度。15.5 波的衍射波的衍射 15.5.2 波的衍射 当波长与障碍物可比拟的时候，波就可以绕过障碍物而传播，并且子波的包迹组成新的波振面15.5 波的衍射波的衍射 15.5.3 波的反射和折射反射：因为在同一介质中波速相同，所以有1uBCt BCtuAD1ABCADCDCABACiBAC iDCA ii 1uBCt tuAD2ACDiBAC,sinsin21ACtuADiACtuBC211221sinsinnnnuui折射：在两种介质中相等时间内有15.6 多普勒效应多普勒效应 当观察者与波源之间有相对运动时，观察者所测得的频率不同于波源频率的现象，称为多普勒效应。 设观察者和波源在同一直线上运动波在媒质中的传播速率（取决于媒质的性质，与波源运动无关）波源相对于媒质的运动速率先明确几个频率概念波源在单位时间内振动的次数s（1）波源的频率（3）波的频率单位时间内通过介质中某点的整波的个数观察者相对于媒质的运动速率单位时间内接收到的次数（2）观察者接收的频率分别讨论下述四种情况观察者所测得的（1）（2）相对于介质波源静止、观察者运动.相对于介质凤察者静止、波源运动（3）相骊于介质波源和