第七章 平面弯曲杆件2

1、第七章第七章 平面弯曲杆件平面弯曲杆件7-1 截面的几何性质截面的几何性质7-2 平面弯曲杆件的内力平面弯曲杆件的内力 7-3 弯曲应力和强度弯曲应力和强度 7-4 拉压与弯曲组合变形杆件的应力和强度拉压与弯曲组合变形杆件的应力和强度一一、弯曲的概念和梁的计算简图、弯曲的概念和梁的计算简图 1、弯曲、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。为曲线的变形形式。 2、梁、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件主要承受垂直于轴线荷载的杆件 轴线是直线的称为轴线是直线的称为直梁直梁，轴线是曲线的称为，轴线是曲线的称为曲

2、梁曲梁。 有对称平面的梁称为有对称平面的梁称为对称梁对称梁，没有对称平面的梁称为，没有对称平面的梁称为非对称梁非对称梁 3、平面弯曲（对称弯曲）、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。 4、非对称弯曲、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。并不作用在纵向对称面内的弯曲。7-2 7-2 平面弯曲杆件的内力平面弯曲杆件的内力FqFAFB纵向对称面纵向对称面5.工

3、程实例F2F16. 梁的计算简图梁的计算简图 研究对象研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。面力系。梁的梁的计算简图计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上 单跨静定梁单跨静定梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁仅用静力平衡方程即可求得反力的梁(a)悬臂梁悬臂梁(b)简支梁简支梁(c)外伸梁外伸梁二、梁的弯曲内力二、梁的弯曲内力-剪力与弯矩剪力与弯矩一一、截面法过程：、截面法过程：切取、替代、平衡切取、替代、平衡FABaxASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMCF

4、SFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:0 剪力剪力平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的剪左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正力向上为正，右截面上的剪力向下为正)； MMMMFSFSFSFS 弯矩弯矩绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为下侧受拉，反之为上侧受拉。梁变形呈上凹下凸的弯矩为下侧受拉，反之为上侧受拉。剪力为正剪力为正剪力

5、为负剪力为负下侧受拉下侧受拉上侧受拉上侧受拉二、平面弯曲梁横截面上的内力：二、平面弯曲梁横截面上的内力：)0(kN29030kN1502335 .460y的正误或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFMmkN26)5 . 12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF例例7-5 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1 1与与2 2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力2、计算、计算1-1截面的内力截面的

6、内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力F=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M)()(SSxMMxFF1.剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程： 2.剪力、弯矩图剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。例例7-6 作图示悬臂梁作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。三三 、梁的剪力图与弯矩图、梁的剪力图与弯矩图 FxxMFxF)()(S剪力、弯矩方程：xFSFFlMS maxmax|FFMFlFlABFSM2qlFFBA由对称性知：222)(2)(22AA

7、SqxqLxqxxFxMqxqlqxFxF82,2maxmaxSqlMqlF例例7-7 图示简支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。qlABx解：解： 1、求支反力、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程2/ql2/ql8/2ql 例例7-8 在图示简支梁在图示简支梁AB的的C点处作用一集中力点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。作该梁的剪力图和弯矩图。 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从

8、左向右作图，突力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向变方向沿集中力作用的方向。FabClAB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axlFbxxFxMaxlFbFxFAC段0)(0)(:AASxFAFB SBB( ):( )FaF xFaxllCBM xFlxFalxaxll 段FSlFb/lFa/MlFab/ 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。 例例7-9 在图示简

9、支梁在图示简支梁AB的的C点处作用一集中力偶点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。，作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解：解： 1、求支反力、求支反力lMFlMFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axlMxxFxMaxlMFxFAC段0)(0)(:AASxFAFB lxaxllMxlFxMlxalMFxFCB段BBS)()(:FSlM /MlMa/lMb/1、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系 （1）假设：规定）假设：规定q(x)向上为正，向下为负；任取微段，认向上为正，向下为负；任取微段，认为其上为其上q(x)为常数，无集中力

10、、集中力偶；内力作正向假设。为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。 （2）微分关系推导：）微分关系推导：四、弯矩、剪力与荷载集度间的关系四、弯矩、剪力与荷载集度间的关系yxMF1q(x)ABq(x)dxOM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)(d)(d0)()(d)()(0SSSSxqxxFdxxqxFxFxFFy：)(d)(d0)(21)()()(d)(0S2SxFxxMxqdxxFxMxMxMMdxO：)(d)(d22xqxxMxdx（1）微分关系的几何意义：）微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；剪力图上某点处的切线斜率等于

11、该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。 （2）各种荷载下剪力图与弯矩图的形态）各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：2、讨论微分关系的几何意义、讨论微分关系的几何意义外力情况外力情况q0(向下向下)无荷载段无荷载段集中力集中力F作用作用处：处：集中力偶集中力偶M作作用处：用处：剪力图上的特剪力图上的特征征(向下斜直线向下斜直线)水平线水平线突变突变，突变值突变值为为F不变不变弯矩图上的特弯矩图上的特征征(下凸抛物线下凸抛物线)斜直线斜直线有有尖点尖点有有突变突变，突变突变值为值为M最大弯矩可最大弯矩可 能的截面位置能的截面位置剪

12、力为零的截剪力为零的截面面剪力突变的截剪力突变的截面面弯矩突变的某弯矩突变的某一侧一侧（1）先利用计算法则计算分段点）先利用计算法则计算分段点FS、M值；值；（2）利用微分关系判断并画出分段点之间的）利用微分关系判断并画出分段点之间的FS、M图。图。 3、利用微分关系作剪力弯矩图、利用微分关系作剪力弯矩图例例7-10 外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的FS-M图。图。解：解： 1、求支反力、求支反力kN8 . 3kN2 . 7BAFF2、判断各段、判断各段FS、M图形状：图形状：CA和和DB段：段：q=0，FS图为水平线，图为水平线， M图为斜直线。图为斜直线

13、。AD段：段：q5)，上述，上述公式的误差不大，但公式中的公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。为截面位置的函数。zzEIxMxIyxM)()(1)(s，maxmax zMWss2 2、梁的弯曲正应力强度条件梁的弯曲正应力强度条件(1)强度校核强度校核:maxss(2)截面设计截面设计:maxsMWz(3)确定梁的许可荷载确定梁的许可荷载:zWMmaxs 根据强度条根据强度条件可进行：件可进行：MPa84Pa10841040010210) 1669CCEs解：kN4 .47N104 .471014125. 025. 025. 0)(3

14、6FFWFWMFalFMzzCCBCsMPa126Pa1012610141108 .17mkN8 .1741)2663maxmaxmaxsszWMFLM 例例7-11 已知已知16号工字钢号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，s s=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片点沿轴向贴一应变片，测得，测得C点轴向线应变点轴向线应变 ,求求F并校核梁正应力强度。并校核梁正应力强度。6c10400 CNO.16FABa2/ llz强度满足要求二、二、梁的切应力和强度梁的切应力和强度1、矩形截面梁、矩形截面梁*SzzF SI b假设：（假设：（1）横

15、截面上各点处的切应力均平行于）横截面上各点处的切应力均平行于y轴；轴； （2）距中性轴等远处的切应力大小相等。）距中性轴等远处的切应力大小相等。 Oyzbh maxyO 代入切应力公式：代入切应力公式：将将 12231bhIdbdAhy，2232/322612yhbhFdbhbFshys切应力切应力 呈图示的呈图示的抛物线分布抛物线分布，在最边缘处为零在最边缘处为零在中性轴上最大，在中性轴上最大，其值为：其值为： 2323maxbhFs)/(bhFs平均切应力平均切应力 d 2、工字形截面梁上的切应力、工字形截面梁上的切应力腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：腹板上任一点处的可直接由矩形

16、梁的公式得出：dISFzzs*式中：式中：d为腹板厚度为腹板厚度3、薄壁环形截面梁上的切应力、薄壁环形截面梁上的切应力假设假设 ：1、切应力沿壁厚无变化；、切应力沿壁厚无变化；2、切应力方向与圆周相切、切应力方向与圆周相切AFrrFbISFsszzs2223020*max式中：式中：A为圆环截面面积为圆环截面面积02 rA 4、圆截面梁上的切应力、圆截面梁上的切应力AFdddFbISFsyszzs34)64/(12/43*max式中：式中：A为圆截面面积为圆截面面积对于对于等直杆等直杆，最大切应，最大切应力的统一表达式为：力的统一表达式为：bISFzzs*max,max5、梁的切应力强度条件、

17、梁的切应力强度条件*maxmax,maxbISFzzs 与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：1、强度校核强度校核，2、截面设计，截面设计，3、确定梁的许可荷载确定梁的许可荷载但通常用于但通常用于校核校核。特殊的特殊的：1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。需进行切应力强度计算。需进行切应力强度计算。 例例7-12 T形梁尺寸及所受荷载如

18、图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知已知s sy=100MPa，s sl=50MPa， =40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求求(1)C左侧截面左侧截面E点的正应力、切应力；点的正应力、切应力；(2)校核梁的正应力、校核梁的正应力、切应力强度条件。切应力强度条件。1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_kN75. 1kN25. 0) 1CAFF，求支座反力：解：mkN25. 0mkN5 . 0kN1kN75. 0)2,BCCSCSSMMFFMF，图如右：、作梁的右左CADm1kN1kN/m1m1m140401010yczEBMPa1 .

19、21010102 .18)105 .12400(1075. 0)(MPa6 .2010102 .18105 . 7105 . 0)315493*,12433bISFIyMzzCSEzECE左拉s(0.05)44.6MPa 24.0MPa 48.0MPa (0.05)89.2MPa BcBllzBcByyzCcCllzCcCyyzMyIM yIM yIMyIssssssss*,max,maxmax3294151010 (50) /2 1018.2 1010 102.9MPa SzzcFSI by该梁满足强度要求该梁满足强度要求40401010yczE,0.75kN0.5kN m0.25kN mS

20、 CCBFMM 左，4）正应力强度校核要求）正应力强度校核要求5）切应力强度校核要求）切应力强度校核要求maxmaxWMz 1、合理配置梁的荷载和支座、合理配置梁的荷载和支座三、提高梁强度的措施三、提高梁强度的措施+Fl/4M图+Fl/8M图Fl/8/2lABC/2lFl/4l/4l/4l/4ABFCDql2/8M图+M图+-ql2/40ql2/50ql2/50qlAB3l/5l/5l/5qAB2.合理选择截面形状：合理选择截面形状：3231DWz (/2)aD2321( /2)66 1.18zzbhDWWzDzaaa12a1z12aD32131466 1.67zzabhWW21.05aD14

21、57. 4zzWW 0.8a2a21.6a22a2z另外：另外：max1t1max2c2zzyMyIyMyIt tm ma ax xc cm ma ax xs ss sz采用等强度梁采用等强度梁 可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种料的许用应力，则这种变截面梁称为等强度梁变截面梁称为等强度梁。FABFABzb)(xh)()61()2()()(2maxxbhxFxWxM 3)(bFxxh 22323minS

22、max bhFAF43min bFh 一、拉压与弯曲组合变形的概念一、拉压与弯曲组合变形的概念7-4 7-4 拉压与弯曲组合变形杆件的应力和强度拉压与弯曲组合变形杆件的应力和强度xqFFy偏心拉伸或压缩偏心拉伸或压缩-构件外力构件外力与轴线平行但不与轴线重合与轴线平行但不与轴线重合1F2F1F2FNFM力力F作用点离截面形心的距离作用点离截面形心的距离e称为称为偏心距偏心距。将力。将力F向截向截面形心简化，可得杆的任意横截面上的内力面形心简化，可得杆的任意横截面上的内力2.按叠加原理求正应力的代数和，即可按叠加原理求正应力的代数和，即可1.分别计算轴向力引起的正应力和横向力（或偏心）引起分别计算轴向力引起的正应力和横向力（或偏心）引起的正应力的正应力 例例7-13 图示起重机的最大吊重图示起重机的最大吊重F=12kN，许用应力许用应力s s=100MPa，试为，试为AB杆选择适当杆选择适当的工字钢型号。的工字钢型号。 （2）作作AB杆的弯矩图和轴力图杆的弯矩图和轴力图C点左截面为危险截面。点左截面为危险截面。 34118kN24kN23yxyTFTT， (3) 暂不考虑轴力，按弯曲正应力强度暂不