数的整除知识点总结教学教材

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除一. 数的分类第一种分法 :树状图韦恩图整数整数自然数负整数正整数零负整数零正整数正奇数正偶数第二种分法整数整数奇数偶数奇数偶数第三种分法：正整数整数素数1合数素数合数1一些关于数的结论:1.0 是最小的自然数,-1 是最大的负整数,1 是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二整除1.整除定义（概念） ：整数 a 除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被 b 整除；或者说b 能整除 a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a 相当于被除数，b 相当于除数

2、2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即 a 能被b 整除 ,则 a 一定能被 b 除尽，反之则不一定（即 a 能被 b 除尽，则 a 不一定能被 b 整除）。如 4÷ 2=2, 4 既能被 2 除尽，也能被 2 整除； 4÷ 5=0.8, 4 能被 5 除尽，却只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除不能说 4能被 5整除三因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a 能被整数b 整除， a 就叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的因数（约数）。注

3、意点： 1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。如：6÷ 3=2，不能说6 是倍数， 3 是因数；要说6 是 3 的倍数， 3 是 6 的因数。2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷ 0.2=20 ，一般是不说4 是 0.2的倍数， 0.2 是 4 的因数。2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就

4、是这个数的因数。如16=1× 16=2× 8=4× 4，那么16 的因数就有 1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了 1 和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、 2、 3、 4、 5 （即正整数）得到的积就是这个数的倍数。若用n 表示所有的正整数，则2 的倍数可表示为2n, 5 的倍数可表示为5n四能被2、 5、 3 整除的数的特点1.能被 2 整除的数（即2 的倍数）个位上的数字是0、 2、4、 6、 8，反之，个位上的数字是0、 2、 4、 6、 8 的数也能被2 整除2.能被 5 整除的数（即5

5、 的倍数）个位上的数字是0、5，反之，个位上的数字是0、5 的数都能被 5 整除3.能被 3 整除的数（即3 的倍数）各个位数上的数字之和是3 的倍数，反之，各个位数上的数字之和是3 的倍数的数都能被3 整除4.能被 2、 5 同时整除的数的个位数字都是0，个位数字为0 的数也能被10 整除，能被10整除的数一定能被2 或 5 其中的一个或两个同时整除。五奇数、偶数1.奇数与偶数的定义：能被2 整除的整数叫做偶数，不能被2 整除的整数叫做奇数。 （按照能否被 2 整除来划分奇数与偶数）2.奇数个位数上的数的特点：1、 3、 5、 7、 9偶数个位数上的数的特点：0、 2、 4、6、 83.在连

6、续的正整数中（除1 外），与奇数相邻的两个数是偶数，与偶数相邻的两个数是奇数4.相邻的奇数或偶数数字相差2，奇数可用2n-1 或 2n+1 表示，偶数可用2n 表示。5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数 +奇数 =偶数偶数 +偶数 =偶数奇数 +偶数 =奇数奇数×奇数 =奇数偶数×偶数 =偶数奇数×偶数 =偶数利用此结论可检验一些运算是否正确，同时也要注意结论的逆向运用，如偶数（奇数） 可拆成哪些奇数或偶数的和、积六.素数、合数1.素数与合数定义：一个正整数如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做素数（质数） ，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，这样的

7、数叫做合数。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除注意点： 1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的，素数只有2 个因数（ 1 和本身），合数至少有三个因数；任何一个数（除1 外）都有 1 和它本身两个因数。2. 1 既不是素数也不是合数。3最小的素数是2，最小的合数是42.素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数。（1 既不是素数也不是合数，9、 15 等是奇数但是合数）所有素数都是奇数。×（ 2 是素数，但2 是偶数）3.合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数。（9、 15 等都是合数，但它们是奇数）偶数都是合数。×（ 2 是偶数但2 是

8、素数）注意 :判断题对的要说明原因，错的要举出反例。七素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。注意： 1.求一个数的素因数时，先把这个数分解素因数，有几个素因数就写几个。如 24=2× 2× 2× 3，则素因数是2、 2、 2、3，而不是 2、 32.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数，素因数一定是素数。一个数的素因数一定是这个数的因数，因数的个数一定比素因数的个数多。2.分解素因数的方法树枝分解法：过程中

9、注意不要漏写乘号，分解要彻底，直到没有合数出现，也不能出现1.要分解的合数写在等号左边，把它的素因数用相乘的形式写在等号右边，再把这几个素因数按从小到大的顺序排列。短除法： 1.先用一个能整除这个合数的素数去除（通常从最小的开始，偶数肯定先用2 除，奇数一般从3 开始一个个带入验算）2.得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。3.由一个数分解素因数求这个数的因数12=2× 2× 3，素因数是2、 2、3，除 1 外由单个的素因数组成因数有2、 3，由两个素因数组成的因数有2×

10、; 2=4,2 ×3=6 ，由三个素因数组成的因数有2× 2×3=12 ，所以 12 的因数有1、 2、 3、 4、 6、 12.4. 由一个数分解素因数求这个数因数的个数(1) 所有素因数都相同时，因数的个数是它素因数的个数 +1，如 8=2×2×2，素因数是 2、 2、2，则 8 的因数的个数是它素因数的个数 +1，即 4 个(2) 素因数不完全相同时， 因数的个数是每个素因数个数 +1 后相乘的积，如 12=2 × 2× 3，素因数 2 的个数是 2，素因数 3 的个数是 1，则 12 的因数的个数是（2+1）

11、5;（ 1+1）=6八 . 公因数与最大公因数1. 公因数与最大公因数定义 : 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 .2. 互素定义：如果两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互素。如 8 和 9注意：互素是两个数之间，素数是指一个数，互素的两个数的最大公因数就是1.只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除两个互素的数未必都是素数。（8和 9互素，但8和 9都是合数）两个不同的素数一定互素.（若缺少 “不同的”，则错，因为 3 和 3 都是素数但不互素）3. 求两个数最大公因数的方法：(1) 一般方法：写出两个数所有的因数，再找出它

12、们共同的最大的因数(2) 分解素因数的方法：把这两个数分解素因数，再找出相同的素因数，把它们所有的公有的素因数相乘，所得的积就是它们的最大公因数。(3) 短除法：先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始），得出的商如果是合数， 再按照上面的方法继续除下去， 直到两个数互素为止， 这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积 .( 类比用短除法分解素因数的方法 )4. 两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1.九.公倍数和最小公倍数1.公倍数与最小公倍数定义:几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数 ,其中最小的一

13、个叫做它们的最小公倍数 .2.求两个数最小公倍数的方法:(1) 一般方法 :从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数(2) 分解素因数的方法 : 把这两个数分解素因数， 再找出相同的素因数， 再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积 ,就是这两个数的最小公倍数 .(3) 短除法 : 先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始） ，得出的商如果是合数， 再按照上面的方法继续除下去， 直到两个数互素为止， 这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积 .注意点 :1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同 ,只是最后写结论时注意需要乘哪些数.2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数(倍数 )关系或互素关系 ,存在因数 (倍数 )关系时 ,最大公因数就是较小的那个数 ,最小公倍数就是较大的那个数 ;两数互素时 ,最大公因数就是 1,最小公倍数就是它们的乘积 .3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数(拓展 )(1) 求三个整数的最大公因数 : 同样也是三种方法 ,只需找出三个数共同的因数 ,最大的因数就是最大公因数