圆的阶段复习教案(2)教师版 (2)

1、深 圳 市 高 仁 江 工 作 室 圆的阶段复习教案（2） 姓名 分数 女人常发牢骚，说男人没本事，迎娶她时家里啥都没有。她指着衣柜、彩电、床、被子说：“这些东西都是我从娘家带来的，你有啥?”男人一笑，指着她怀里的孩子说：“你敢说孩子也是你从娘家带来的?”­ 感悟： 经典导航1圆有关的公式：1. 有关的计算：（1）圆的周长C=2R； （2）弧长L=； （3）圆的面积S=R2. （4）扇形面积S扇形 =； 2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2）圆柱的体积： （3）圆锥的体积：经典导航2圆有关的与圆有关的角的概念和定理： 1.圆心角：顶点在圆心的角 2.圆周角 ：顶点在圆周上，并且

2、两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理: 圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等。 3.顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理及其推论:（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么

3、这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图） 4.顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半. 证明：同样得“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”圆内角的证明完全类似：过C作CE/AB，交圆于E，则有APC=C，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）而C的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC所以APC的度数等于“弧BD+弧AC”的一半即“顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数和的一半”另外也可以连接BC进行证明 5.顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度

4、数和的一半.证明： 命题2的证明如图，过C作CE/AB，交圆于E，则有P=DCE，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）而DCE的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD弧BE=弧BD弧AC所以DCE的度数等于“弧BD弧AC”的一半即“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半” 另外也可以连接BC，则P=BCDBBCD的度数等于弧BD的度数的一半B的度数等于弧AC的度数的一半同样得“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”圆内角的证明完全类似：过C作CE/AB，交圆于E，则有APC=C，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）而C的度数等于弧DE的一

5、半，弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC所以APC的度数等于“弧BD+弧AC”的一半即“顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数和的一半”另外也可以连接BC进行证明经典导航3圆轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性。垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等依据垂径定理及其推论

6、可概括为5.2.3定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：垂直弦过圆心平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧经典导航3知识点三圆的轴对称性：圆是 对称图形，其对称轴是任意一条过 的直线；是 对称图形，对称中心是圆 ；其特有旋转不变性。垂径定理垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过 ，并且平分弦所对的 平分弦所对的一条弧的直径， 弦，并且 弦所对的另一条弧在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的 相等 二推三如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：

7、经典导航4圆有关的圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论（4.1.3定理）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对的弦的 相等 一推三在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 经典导航5圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角圆的切线的判定： 定义依据d=r

8、定理：经过直径的一端（或半径的外端）并且垂直于这条直径（或半径）的直线是圆的切线圆的切线证明的两种情况：连半径，证垂直；作垂直，证半径。切线的性质定理及推论定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 依据性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论（3.2.1定理）： 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个 (1)垂直于切线； (2)过切点； (3)过圆心切线的性质定理及推论定理： 圆的切线 于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 点 . 推论2 经过切点且

9、垂直于切线的直线必经过圆 二推一 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个 (1) ； (2) ； (3) 扬帆起航1 圆的对称性 同步练习一、填空题:1.圆既是轴对称图形,又是_对称图形,它的对称轴是_, 对称中心是_.毛2.已知O的半径为R,弦AB的长也是R,则AOB的度数是_.3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_cm.4.已知O中,OC弦AB于C,AB=8,OC=3,则O的半径长等于_.5.如图1,O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是_. （1） （2） （3）6.已知:如图2,有一圆弧

10、形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_m.7.如图3,D、E分别是O的半径OA、OB上的点,CDOA,CEOB,CD= CE, 则 与弧长的大小关系是_.8.如图4,在O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,ODAB,OEAC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则O的半径为_cm. （4） （5） （6） （7）二、选择题:9.如图5,在半径为2cm的O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( ) A.60° B.90° C.120° D.150°10.如图6,O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上

11、一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个11.如图7,A是半径为5的O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条三、解答题:12.如图,AB是O的弦(非直径),C、D是AB上两点,并且AC=BD.试判断OC与OD 的数量关系并说明理由.13.如图,O表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA=1:4, 求工件半径的长.14.已知:如图,在O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为的中点,AB、OC 相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.15.如图,AB是O的直径,P是AB上

12、一点,C、D分别是圆上的点,且CPB=DPB,试比较线段PC、PD的大小关系.16.半径为5cm的O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?17.在半径为5cm的O中,弦AB的长等于6cm,若弦AB的两个端点A、B在O上滑动(滑动过程中AB的长度不变),请说明弦AB的中点C在滑运过程中所经过的路线是什么图形.18.如图,点A是半圆上的三等分点,B是的中点,P是直径MN上一动点.O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.答案:1.中心 过圆心的任一条直线 圆心 2.60° 3.2cm 4.5 5.3OP5 6.10

13、 7.相等 8. 9.C 10.B 11.A12.过O作OMAB于M,则AM=BM.又AC=BD,故AM-AC=BM-BD,即CM=DM,又OMCD, 故OCD是等腰三角形.即OC=OD.(还可连接OA、OB.证明AOCBOD).13.过O作OCAB于C,则BC=cm.由BM:AM=1:4,得BM=×5=3 ,故CM=-3=4.5 .在RtOCM中, OC2=.连接OA,则OA=,即工件的半径长为10cm.14.是菱形,理由如下:由,得BOC=AOC.故OMAB,从而AM=BM.在Rt AOM中,sinAOM=,故AOM=60°,所以BOM=60°.由于OA=OB

14、=OC,故BOC 与AOC都是等边三角形,故OA=AC=BC=BO=OC,所以四边形OACB是菱形.15.PC=PD.连接OC、OD,则,BOC=BOD,又OP=OP,OPCOPD,PC=PD.16.可求出长为6cm的弦的弦心距为4cm,长为8cm的弦的弦心距为3cm.若点O 在两平行弦之间,则它们的距离为4+3=7cm,若点O在两平行弦的外部,则它们的距离为4- 3=1cm,即这两条弦之间的距离为7cm或1cm.17.可求得OC=4cm,故点C在以O为圆心,4cm长为半径的圆上,即点C 经过的路线是O为圆心,4cm长为半径的圆.18.作点B关于直线MN的对称点B,则B必在O上,且.由已知得A

15、ON=60°,故BON=BON= AON=30°,AOB=90°连接AB交MN于点P,则P即为所求的点.此时AP+BP=AP+PB=,即AP+BP的最小值为.毛扬帆起航1圆周角和圆心角的关系 同步练习一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在O上,D是上任一点(不与A、C重合),则ADC的度数是_.毛 (1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在O上,且ADBC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_对全等三角形;_对相似比不等于1的相似三角形.3.已知,如图3,BAC的对角BAD=100°,则BOC=_度.4.如图4,A

16、、B、C为O上三点，若OAB=46°,则ACB=_度. (4) (5) (6)5.如图5,AB是O的直径, ,A=25°,则BOD的度数为_.6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=_.二、选择题:7.如图7,已知圆心角BOC=100°,则圆周角BAC的度数是( ) A.50° B.100° C.130° D.200° (7) (8) (9) (10)8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的

17、角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对9.如图9,D是的中点,则图中与ABD相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个10.如图10,AOB=100°,则A+B等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°11.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A、B、C三点都在O上,点D是AB延长线上一点,AOC=140°, CBD

18、 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°三、解答题:13.如图,O的直径AB=8cm,CBD=30°,求弦DC的长.14.如图,A、B、C、D四点都在O上,AD是O的直径,且AD=6cm,若ABC= CAD,求弦AC的长.15.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tanBPD的值 16.如图,在O中,AB是直径,CD是弦,ABCD. (1)P是上一点(不与C、D重合),试判断CPD与COB的大小关系, 并说明理由. (2)点P在劣弧CD上(不与C、D重合时),CPD与COB有什么数

19、量关系?请证明你的结论.17.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)18.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?答案：1.120° 2.3 1 3.160° 4.44° 5.50° 6. 7.A 8.C 9.B 10.C 11.B 12.C13.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,COD=60°,故COD是等边三角形,从而CD= 4cm.14.连

20、接DC,则ADC=ABC=CAD,故AC=CD.AD是直径,ACD=90°, AC2+CD2=AD2,即2AC2=36,AC2=18,AC=3.15.连接BD,则AB是直径,ADB=90°.C=A,D=B,PCD PAB,.在RtPBD中,cosBPD=,设PD=3x,PB=4x,则BD=,tanBPD=.16.(1)相等.理由如下:连接OD,ABCD,AB是直径,COB= DOB.COD=2P,COB=P,即COB=CPD.(2)CPD+COB=180°. 理由如下:连接PP,则PCD=PPD,PPC=PDC.PCD+PDC=PPD+PPC=CPD.CPD=18

21、0°-(PCD+PDC)=180°-CPD=180°-COB, 从而CPD+COB=180°.17.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则A<MCN=B,即B>A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.18.a.毛 作业（12.3） 姓名 分数 一、请准确填空(每小题3分，共24分)1.如图1，M是O内一点，已知过点M的O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=

22、_ cm.2.如图2，O的直径AC=2，BAD=75°，ACD=45°，则四边形ABCD的周长为_(结果取准确值).3.如图3，O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是_. 图1 图2 图34.如图4，在O中，两弦ADBC，AC、BD相交于点E，连接AB、CD，图中的全等三角形共有_对.相似比不等于1的相似三角形共有_对.5.如图5，在O中，直径AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_.6.如图6，AB是O的直径，C、D、E都是O上的点，则1+2=_.7.如图7，ABC内接于O，D是劣弧上的一点，E是BC

23、延长线上一点，AE交O于F，为使ADBACE，应补充的一个条件是_或_.图4 图5 图6 8.如图8，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？答： ，简述理由： _ _ . 图7 图8 图9二、相信你的选择(每小题3分，共24分)9.如图9，点P是半径为5的O内一点，且OP=4，在过P点的所有O的弦中，你认为弦长为整数的弦的条数为( )A.6条 B.5条 C.4条 D.2条10.如图10，在平面直角坐标系中，O与两坐标分别交于A、B、C、D四点，已知：A(6，0)，B(0，3)

24、，C(2，0)，则点D的坐标为( )A.(0，2) B.(0，3) C.(0，4) D.(0，5) 图10 图11 图1311.如图11，已知AB和CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若AEC=，则SCDESABE等于( )A.sin2 B.cos2 C.tan2 D.与无关12.如图12，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是( )13.如图13，已知：AB=，BC=2，CD=1，ABC=45°，则四边形ABCD的面积为( )A.B.C.D.图12 图1414.在半径为1的O中，弦AB、AC分别是、，则BAC的度数为( )A.15°

25、 B.15°或75° C.75°D.15°或65°15.如图14所示，一种花边是由如图组成的，所在圆的半径为5，弦AB=8，则弧形的高CD为( )A.2 B.C.3 D.16.下列语句中不正确的有( )相等的圆心角所对的弧相等 平分弦的直径垂直于弦 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 长度相等的两条弧是等弧( )A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对三、考查你的基本功(共16分)17.(8分)如图，AB是O的直径.(1)若ODAC，与的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由.18.(8分

26、)如图，O上三点A、B、C，AB=AC，ABC的平分线交O于点E，ACB的平分线交O于点F，BE和CF相交于点D，四边形AFDE是菱形吗？验证你的结论.四、生活中的数学(共18分)19.(9分)如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB的长，再量中点到AB的距离CD的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.20.(9分)如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)五、探究拓展与应用(共18分)21.(9分)如图，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD.(1)P是上一点(不与C、D重合)，求证：CPD=COB.(2)点P在劣弧CD上(不与C、D重合)时，CPD与COB有什么数量关系？请证明你的结论.22.(9分)已知，如图，AB是O的直径,C是O上一点,连接AC,过点C作直线CDAB于D(AD<DB),点E是DB上任意一点(点D、B除外)，直线CE交O于点F,连接AF与直线CD交于点G.(1)求证：AC2=AG·AF;(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否仍然