Logistic回归模型

1、Logistic JM归模塑1 Logistic D B模塑的基本知识1.1 Logistic模型简介主要应用在研究某些现象发生的概率几比如股票/if是扶，优司成【力或失败的慢率，率 ”与那些因素有关。显然作为榔率ii, 一定有o <P<,因此很难用线性模型描述榔率。与自变量的关系，另外如果"接近两个板端值，此时一般有法难 知较好地反映P的微小变化。为此在构建"与自变量关 系的模里时，变换一下思路，不 iS接研究，而是研究口的一个严格单函数G()“，弁要求G(")在"接近两竭值时对其fit小变化很叙感。于是Logit变换被提出来：Logit(

2、p) = h 一八一(1 )1 一”具中当"U0T1时，L0g (D) U 8T*O,连f变化围在模塑数稠处理上带来很大的方便，解决了土 tt?临的难题。另外从函数的变形可得如下等价的公直V-*严Logit(p) = n- = p X => p =1-P模型(2)的基本要，因变量(y)是个二元变量，仅取0或1两个彳直，而因变量取1的脚率P(y = llX)就 是模型要研究 的对象。而X=(l,xi,x2,-,xJr,同中心表示1Ay的第/个因素，它可£1是定性变量也 可£1是定量变量，P = g、 队、口”。为此模塑可以表述成：心+并出十% q5总“。+ 川

3、t+ - + 0内=如伽?'显然E(y) = p ,故上述模塑表明1?-.)是州，禺，母？的线性因数。此时我| 林满足上面条件l-E(y)的回归方程为Logistic线，|4HoLogistic SU0H的主要间JS是不能用普通的回归方衣来分桥模SI,一方面离散变量的波差形式fitUJEI畀利分布而非正态分布，即没有正态 11假设前提；二是二值变量方差不是常数，有异方差性。不同于多元 SttB'H的最 小二乘估计法剧(段差平方和最小)，Logistic变换的非找性特征采用 机大tt?fK廿的方法寻求 最佳的回旧系数。因 此样价模型的8(合度的标准变为1tt然值而非离差平方和。(

4、4)定义1称事件发生与不发生的视率比力优势比(比数比odds ratio简祢OR),形式上表示为OR=_L = /o+0N+Tg1- P定义2Logistic H模塑是通过棣大IU然ffiitS得到的，故模型Iff坏的评价准K有做然彳直来表征，怖-2 In丸3 )为Bit (6A的扔合也热度，该值越小越好，如果模塑完全扭合，则做然值公 (B )为1,而扭合似.可修编-然度这到最小，EftOo M InUP)表示A的对数01酬函数值。定义3 it Var (p )为的方差-协方差矩阵，Sp) = WarPA为直的标旌差矩阵，护叱=型,i = l,2,，&(5)力鸟的Wald续廿量，在大样

5、本时，叫近ttl服从力2 (i)分布，通过它实现对系数的显曹性检验。定义4假定方f?中只有常数项0°,即各变量的系数均力o, utmsz2=-2|lnL (A) -lnL (八(6)为方f?的显Ittfi然纽廿虽，在大样本时，力 2近IU服U/2伙)分布。1.2 Logistic模型的分类及主要IBJJS根据研究设廿的不同，Logistic 0 IH通常分为成组资料的非条件Logistic回归和配对资料的条件 LogisticHHW种大类。还兼具两分类和多分类之分，分组与未分组之分，有序与无If变量之分。具体如下：两分类非条件Logistic回归：分组数据的Logistic 0 1

6、) 1,未分组数摇ft Logistic H ;多分类非条件 Logistic回归：无序变量 Logistic 001,无序变量 Logistic 0 Ifl ;条件 Logistic 0 : 1:1 型、1 :M 塑和 M:N 塑 Logistic 同 旧。关干Logistic 0 01,壬耍研究的容 0K :1 .模塑参数的估计艮检验2 .变量模里化及自变量的选择3 .模塑评价利预测问题4 .模世应用2 Logistic模型的参数估廿及算法实现2.1 两分类分组数据非条件Logistic g归因变量(反应变量)分为两类，取彳固有两种，设事件发生记为户 1,不发生记为y=o,设自变量X=(旺

7、，心，无)7是分组数据，取有限的几tffl;研究事件发生的物率 Py = X)与自变量X的关 系，MLogistic回归方f?为:D/ _ 1 I V / () *0|勺+?"+%*In = 0。+ 0| 州 + + 0 (兀 或 P (y = 11 X)=-S 2.1.1分组Sffi111在一次任借最舍甫会上，与居地严商签 iJ初步购房意向书的有0=325人，在破后的3彳、月时 间，只有一部分顾客购买了 居屋。购买居屋的顾容记为1,否剧记为0。以顾容的年家庭收人 (JT元)作为自变 量X,对数摇统计后如表2.1.1 JS示，理立Logistic同旧模型。序号年家庭收入X （JJ 元

8、）sue 向人数实际购 买人数11.525822.5321333.5582644.5522255.5432066.5392277.5281688.5211299.51510表 2.1.1组数据ft 2.1.2药物疗效为考察杲药掏疗效，闻也抽皿220例病人弁分配到治疗组相对照组，治疗组采用治疗药物，对照组采用安慰列。治疗一段时向后规察病人的疗效，得到表 2.1.2数稠。设y为疗效常标（y=1有效，00无效）， “为治疗组指标（1为冷疗组，0为对胞组），£为年龄组 旧S （1为45岁，0力其也）。表2.1.2药物疗效数据JT?号治疗分组刘年龄分组“2有疗效无效合计111321850210

9、402060301213152400184058上述两f例子数据那是经过锐廿加工后的分组数据，对此类数据ifi li Logistic Ifl ,百先要明确应变量对应事件的发生橄率如阿确定和进行Logit变换，其次才能建立 Logistic 0 01 0为便于理，我V将此类数据的格作个约定，排列给衣为（组序号，自变量 X,垓组II件发生数，该组总？）0表2.1.3分组数据的标SSS表2/M改懂表表2.1.2改殖表序年家庭收入实麻剧买签iJ意向号x （B 元）人数加i总人数属11.582522.5133233.5265844.5225255.5204366.5223977.5162888.512

10、2199.51015序号治疗分组X|年口令分H及有效例 敛”规察例S n.1113250210406030121524001858经过改造后，可得我 m关心的事件的发生的4®率为 A =该组发生事件数该组总例数弘i = 1.2. JI。其中 n力分组数，然后作Logit变换，即龙二公蚣(门)=ln兰一。变换后的数据，形氏上已经可以采用一股1 - Pi的处理方式来IS it i W参数了。此时方程变为：认=0。述0氏、i = l,2,"*1当然这样处理并没有解决异方差性，当心较大时，为的近做方差为D(0J “耳0 =E(")所以选择权亚=叫门(1 一必)=12川，晟

11、后加加权最小二秦法估汁参数。注意，分组数据的Logistic 19 10只适用于大样本分组数据，对小样本的为分组数据不适用，弁且以组数”力同旧抵合的样本量，明显降低了折合精厦，在实除应用中於须谨慎。求解算法及步骤:1 .依据分组数据的标准格式，廿算频率门、Logit变换龙和权申?2 .构建UD权最小二乘估计：nkn k简I? -0o -工0内I)'二向工(阿升一亦 0()-临工0内|) ,(8 )=1/=!/=1J=1令 y: =H» * x；=(屈同忌，屈 xjj =?、P 、P $则方杈Q变成一般的线性同旧模型：minf (y; 0X; ) 2(9)/-3 .枸造熠广矩眸

12、x? 7?r X, 7厂:展啦+2利用涓去沫得/=血尸(直)fssiait/?2F其中/ K22为殁差平方和SE,同旧方差&2=H-K -1八各系数检验采用fj =-A= f一 £ 1)"i b”工(川总平方和ST =X g y; ,同IH平方和SR = ST-SEj2>) 2(-1总平方和求解1当于拥合y; =0;莎方捍的殁差平方和，枚得上its厂所及方f?的检验为尸=SR/kF(k、n-k -1)SE/y 1)? 2.1.1的永解it程如下（由LLLStat S廿联件廿算）：表2.1.5回归模型基本信息总样本求解方袪仅常数 U betaO 方 iFNfg

13、F分布自 由喷方程检 骏"直总平 方和国归平 方和残差平方和加权最小二乘-0.09502951.9821601,70.0001768.7982947.7541121.044181表2.1.7x'xr表2.1.4数据Logit变换及权重家庭年收入X实斥购买mi签比例Pi逆弭变换Logit权重 ni*pi(1-pi)1.5000008250.320000-0.7537725.4400002.50000013320.406250-0.3794907.7187503.50000026580.448276-0.20763914.3448284.50000022520.423077-0.

14、31015512.6923085.50000020430.465116-0.13976210.6976746.50000022390.5641030.2578299.5897447.50000016280.5714290.2876826.8571438.50000012210.5714290.2876825.1428579.50000010150.6666670.6931473.333333表2.1.6分组Logistic B fl系数检验序号0 I0系数系数版准锲自由度df检抑值常敛原2.837815-0.8488820.113578-7.47399470.000056家庭年收入X14.90

15、11400.1493230.0207117.20986570.000056-0.0145170.0864790.002876-0.014517-0.848882+0.149323 X+ w - 0? 848882+049323 X本M Logistic ?型的回IH方程： pi =对干多分类无序自变的 Logistic 0 0, W某个自变量为刃个水平的名义变量（如治疗方法ABC）,只需 要引人777-1 （2个）个哑变量，然后采用上述方法进行分析。fl 2.1.3研究三种泊疗方法对不同性别病人的治疗效果巴数摇如 2.1,4表2.1.4性别和治疗法对某病的册喑tt别治疗方法有效叫无效忠洌数男A

16、7828106B10111112C6846114女A40545B54559c34640由于治疗方进有三种，没有等级关系，WlliT无序的名丈变量，枚引人两个哑变量七 *3分别代表A和B疗进,具中£= 1,心=0表示方法A, X2=0,X3 = 1表示方法B,心=0,心=0表示方进C,将上述数稠转化成标？tS3,得表2,1.5表2.1.5性别和治疗违对某病治虑萌汕的影喑性别X,勺有效1107810610110111210068114010404500154590003440对干分类数据，也可从采用椀T大似然法进行参数估廿，具体见 2,2节最后部分容2.2两分类未分组（连续）非条件 Lo

17、gistic回！ Q应变量y取IIJ10和1,设事件发生记为yT,否呱为0,设自变量x =（州，厂,，兀）7 组规池数据记为（兀，不 2,、X衣 9 ）:）,= 12 - M O 记=（1,、X2 ,1 X ik ） , A'-g = 1，则 y f 与 A".j 9 旺 2 '?心的Logistic同旧模塑是:（10）=分 / （A + 0 H + + 0 心）=|+/ ） +伽 + ”叭易知，儿是均值为码的0? 1型分布，其分布律为/（y,尸兀八（1 一巧，" =0,1=12? J如兀，儿，儿的1然函数和对数似然函数分别为：L=M,v/（1 一眄）J-1

18、In L = Y y,- In ? + (1 - >)ln(l- 花)=Yyf In - + ln(l -码)f-1r-11 一兀 i/o+硼严圾代人花=1+/（"沪+%&甫In L =f 儿（仇 + 0心 + + 0 皿） ln（l + / 皿中”？叭） I言丁丫=工厂0U又厂诚1+厂）J-1(11)记 LUP） = In L（J3）,选取 0 = （0。、，、0$ 的估 it B = （Po , G,，直）丁 使得 LUPM到板大,2就是Logistic 0 111模型的根大然fj it,该过样的求解需要采用牛顿迭代法。构造得分函数行（0）=号也，g = 0，2,J

19、共的个非线性方程组，令其=0求解0,J（中?x严耳（0）=工-空亍-心0,1,2, ?;I1+/ Xi(12 )息矩阵/劝（0）=一耳吕严，g" = 0 _L2,卫，PJZJX0）二阶导矩眸的负矩眸，同中,Xi" vx eA口(0) £ %B=泌,"0,1,2;i (1 + / Y(13 )很明显心（0）=比（0），故/（0）是一个对称矩fh来解算法及步Sh1.根据公氏（12） its得分函数耳（“），（13）计算信息矩阵心9）给定初彳直 0O=0 = (O,O,-,O),QI可取 0.0000012. 采用牛师迭代氏0* uQ-'+AQ, A0

20、 = /(0i)"F(0i),通过以下方直求解。构造广矩眸/F(0i) =( 10') F(0i),通过对萨矩阵作血 1次ij消去变换求解若 IIA0I 气右 A0; < £或者 II A0 ll= g A0 J v 或者 maxIA/7 x l)<A, | 转 3否剧眉的，耀续执行第2步3. 此时0人就是回旧系数0的数flfSitP , ?就是迭代次数，消去变换后的/F矩阵的前£ +lxk + l子眸就是0 方差-拂方差矩阵的估汁阵决P) = (?+庶+严久下而给出检骏有关廿算：汁算waid统计量用§ =，近wmz2(i)分布，检验

21、 Pis P. =P( Z2( D>W3Vgg标淮误 S.E.(0J =用,OR(0Q，g=O,l，,k? 2.2.1公共交通调查数摇在一次关于公共交通的社会阖查中，查项目为“是秦坐公共汽车上Tffl, il是唐奇自行车上下册”。因变量片1表示乘坐公共汽车，户 0表示崎自行车。自变量坷是年龄，作为连绞变量；心是月收人(元)；心是性别，勺日表示男?. A-3=0表示女性。调查对象力工箭族带 II,数据如表2.2.1所示。表2.2.1公共交通社会U查序号年龄“月收入也性别勺交通1188500y02211200003238500142395001528120001631850007361500

22、01842100001946950011048120000115518000112562100011358180001141885010152010001016251200101727130010182815001019309501120321000102133180022331000233812001024411500102545180011264810001027521500112856180011HTit算结果采用LLLStattO软件得到:表2.2.2主要廿算结果1号均值回归系数系数标准锲卜敛项0.535714-3.6550162.0912231273.2142860.0821680.

23、052119卜收人0.4642860.0015170.001865性别36.107143-2.5018441.157818waldAitl自由度df?pfiOR=Exp3.05476610.080501 0.0258612.48551610.1148991.0856390.66146610.4160431.0015184.66917510.0307090.081934表 2.2.3总样本求解方进迭代次数(仅betaO)-2LogLikelihood(Beta) 仅常数 JI betaO -2LogLikelihood(betaO) 方 WWaldJg(fflM)方程 自由度方程检削值Logis

24、tic模塑基本信息28极大似然进& Newtonil代7(4)25.970652-0.14310138.67326312.70261140.012824对于 2/1? 3分组数据的根大似於估廿法，主要过程如下川”(7严r-1InS 力口 C :,/=!+ mi In n + (nlJM)ln(l-龙 J=» ln C： + mi In f=i| §In A =»Hln C: : + 叫 ' X, - q ln(l + JRT v)ill fi 耳(0)=等0)叽-?%,g= 0,1,2,RQTx7 一册、gji 0 ± 2,K中心分别表示

25、分组/中事件发生次数相总规祭IL如表2.1.4和2.1.5所示。然后可采用Newton-Raphson选代法进行求解。由 LLLStat it算得到如下结果。表2.2.4性翱和疗法对某？?的渤（未分组 Logistic ft IS ft法）序号0 HI系敬系数标准演waldtSit S自由度df检言了值常预坝1.0000001.4183990.29869022.55051310.000002也别0.500000-0.9616180.29979710.28847210.001339治疗A0.3333330.5847450.2641084.90196610.026826治疗B0.3333331.5

26、607630.31596124.40099310.0000012.3 条件 Logistic BB IM1条件Logistic 0 Ifl是配对设计（病例对照）中常用的一神轨廿分析方法，通过配对方法收集资料：每-配对组可包牯一彳、病例和一个或多个对照，有 1: 1 S. 1 : m型配对。假设收集了如下数据：表2.3.1 n个1:m配对组，k个协变量的比配对组号病例纽X。第1对IS组x'第m个对照组X"10 0 . 0XAX2A'AXkA) r 2，"略，坨，瑞2X2yX21A- ,XlkX2AX22A'AX2k坊，熄，璟.?. ? ? ?110 0

27、 0Xn' Xn2Xnk,Xnl,- nnk昭，篇,必配对资科用配对的方法来技制影晌因素的干扰，弁目每个压对组那可知建立一 f Logistic 0 fl方捍:Logit (p) +" + + pkXk ,i = 1,2,，允为此需i 15it的参数有个常数11观，0;和斤个回旧系数肉，伐，配对数越多估廿的参数就越多，但是一般的数据量难以支II这样的估计，枚一般的LogisticlTH不适合庄对就科。不过在参SffiifW,常数项会被消去，所以方程组减少了个常数项0:,，用的估计，复杂度大大降低。对于回IH参数的估it采用条件做然函数替代一般的做然SSffllTo对干第/个配

28、对组而言，共有加1个观察对象，记力人$，禺，5”，K中仅有一削发病，目正好是菊例组力发病，而对照组均没有发病的条件惧率几（类 M Bayes率）可以表示应：=P （碍H瓦）im（P （A&l/瓦）+工B。瓦J表225回归系数方差拒陈V （beta）（信息矩陈l （Beta）的逆矩韩）0.089215-0.072957-0.029931-0.030097-0.0729570.089878-0.0000780.000128-0.029931-0.0000780.0697530.029993-0.0300970.0001280.0299930.099831>='其中 P(AB!

29、r 瓦尸 P(£ = 11 X; )P(y ; = 01 X ；) P(y; n =OIX； n),而.严P(y/=llX/) = Al + ?1 ,P(y/=OIX/)=；=1,2, -,7/(15 )故个配对组的条件似然函数表示为:"0)二 口/=1/Xml + j=ll4若1 +昇刈J + /*严 m1盯X?n-H + e + /7 评 k1 TV(16 )m Z?r<X>-Y > iT Th+a*R r=l 1+?/=! P3则对数做然函数LUP) = LnUft)为:ZZ(0)= LnLiP)=- 地(l +土昇凶-X )/=! >=1(1

30、7)令D/=(X/-X(。),它是一个与第i个样本点有关的斤维向量，表示向量中的第0个元索，剧有如下得分函数fflfSB矩辞:j=idgch5严5严=£“ 山 ± E g,/7 = l,2,- : k日1 + D f(1 +±昇好J=i>=?注意此时的口=1队、P J、厂，没有常数项0(2至止匕(17)式中的参数0可采用Newton-Raphson迭代法求昭了， 0初值依然取为0向量。不过该方捍的求解已经相对杂多To方程必然度检验和同19系数的wald检验同非条件Logistic 0 Ifl 0? 2.3.1研究肥胖、口服遐孕药酣激索与子宫膜癌的关系，随机抽

31、取20名患者，对干每名患者，在IS机I*取年龄相近的正常人作为对照。检测患者与正常人的肥胖程度和姐激素服表2.3.1 JB胖利U激素与子gRffi关系病ft) 对照研究数据配对组肥胖对照1肥 胖MR1 H激素对照2 肥胖对照2珈激 素1110000211110131101114010001500100161100107110111811101191011111001010011010110120101011311001114110010151100011601010117010010181110011910010120110100? 2.3.1来解的壬要结果，由LLLStat ft件it算得至

32、h表 2.3.2 条件 Logistic 0 fi ft 检脸序号均值（病属）0 HI系预系数标准误wald八"M肥胖0.6500001.8239140.54719211.110390品帚激素0.8500001.5896210.45054412.448367自由度df110.0008590.000419表 2.3.3* ft Logistic 19样本量求解方法选代次数-2LogLikelihood(Beta)-2LogLikelihood (0)方捍Wald值(相城)方程自由度模型基本信息20极大似怎+牛顿选代4533.30676343.94449210.63772820.0048

33、982.4多分类有序反应变量 Logistic B 0在实际应用中，经常遇到反应变量为多分类有序变量的情乱，例如评价指标分为差、中、良、ft等，各等级之何是有序的。这种资科的 Logistic同IH分林通常祢力比例比数模里（累枳 *1率模里），tSSffl n加1佃为水平或等级个数）个 Logistic H模型有序累枳榔率Logistic模里：Inj = 1.2,= 1,2.(18)+0X,J ' = 1,2,加 _1(19)1-» P(X*IXJ有序累枳贾率模里参数的机大1然估it就是寻找参数便得联合裤率实观晟大化，由干现测之何柑互！立，联合树率被分解应边土冢曲率之枳。而观

34、测到"=）的视率就是累枳脚率之差 ：P? = J I Xr) = P? < jXJ- P? <j-llX第/个观消值对应做然值的贡献取决于观测到哪一个/IB,因就对于次序响应的每个/值，取所有n in&二）的规测之的乘枳，有做然函数:L=nnPA=>ix/) "jJ(中若 >=A i<不否 K7=O 匚 i ; =iin弁目对TH-个规池乙而言，只有一个等级it。具对j-i事件发生，即工P （y”=J事"）=i,故有（I9）数做然因数如下（对于分纽数摒，做然因数变为：L = YYlP （yi=jXi） liij , 分组中各分

35、类m a） 0 1=1 ;=1In A =工工 dP(xFIXJ i=i J=I(20)=111/ + d 111(1 -f-) + VJ. ln(T7-)|(21 )E+，+C ml J 尸2rH 中：P(y = /1 X)= <然后就可以通过机大做然法，就上Newton-Raphson方法加以求解参 裁、卫心、0 了，注恿的是q v 2V < 勺” _2下面给出具体推导终，卫”“潮解的详细iif?o对（20）氏进行化简，可得(22 )InL = Vy<.A rX； + ln(R -严)-ln(l + j"% )_in(1 + 严心)-i >2+ 心 +07

36、 尢-ln(l + / l+/X/)-d, m ln(l + Z-* +/x-)51nL_A.药S 1+i尹心厂5八一酢+ + /+ , %?(23)6 In L n(t=ZlA-. U 7 -> -血-t +0%1)十0 Xj%-i +0%i * 严 L” AI8 In A-r=工叫(-）一血+1（弄+0化)1 , g = 2, - M - 2八+/严勺八十|_小1 +/严(25)a In Iea+ATxi , j 1)1g =12(26)(32)d2 inL=-V /_?-两的台（1 +八衲X）2竹+0%一 + (中呛9+巧:62 n A期-+%-2/严Xi(严 _/)2+(1 +

37、/(27)1 -+ / ”0 兀)2eam-AAXi 1 (1 + /)+ "渝今(1 1 1心)2 I(28)皈口甘"（异_"）2（1 +弄”化）2） 八）2 （1 +户”任）2g = 2,，飞一 2八十"Xi)1(29)(30)d2n L? =- ?讯口目+欣 if P h /-iRe) ,g = 1, ?，加一 l; = l,2,? ,k (31 )(1 +/严 J?、g = 1,2, ?2? , ？ 一 2 e ")由此构建信息矩阵/ （。，0）和F （”,0）,弁可选代求解了。注：若为分组数据，上述每顶乘11 ofl 2.4.1研究性

38、别和两种诒疗方法对杲种疾病疗效的殿响Y揩疗效分成效果显、有效和无效三个等级，根掘试呀说查，得到如下资料。表2.4.1性别和疗方法对某种扶病疗效的影晌11别治疗方法显普有效无效合廿女新药165627传统671932男新药52714传统101011表2.4.2多分类有序反应变量数摇格式仁勺治疗方法频数疗效等11116级1211523116341061510726101937015180122901731000111100021200103计算结果,由LLLStat Sit?件给出:表243 0 19系数方差犯RV(beta)(fi J8 ttRl(Beta)的逆拒阵)0.3747330.32488

39、0-0.257757-0.1928230.3248800.323782-0.244457-0.169612-0.257757-0.2444570.2894880.069404-0.192823-0.1696120.0694040.236257序号表2.4.4有序分类因变量Logistic。0系数检验0 IB系数系数反准误wald筑if! 自由度df检验Pl直常哄1常帧2性别治疗方进-2.693576-1.8120401.0523522.1872720.6121550.5690180.5380410.48606319.36137710.1410593.82552820.2498000.00001

40、10.0014500.0504770.000007表2.4.5有序分类因变fi Logistic 0 19模型基本信息样本分组做12求解方法棣大似熬+牛顿迭代选代次预17注意：该结果与SASRPS不一致Poisson回归模型1简介一般情况下，单位容枳水中朋细丙数，卑位时间杲些事件发生的次数，卑位面枳上肾落的灰尘的颗粒数等，9!可以用Poisson分布来描述。一般Poisson分布描述应HL机变量丫 P （刃，视率分布律为：p （y = y ） = dl , y = 0J2 ?y!*2,一,忑（自变量，林变量）易知EY = A,通常兄可能受到众多因索的黔唱，不斯假设迪些因素为山令X = （l,x

41、1,x2,-,xj,对于分组数摇，Poisson ft布的期里发生数假设为:E(yr I Xr ) = 2f-=D/ 人K中0 = （0x0L:几）7为ITH参数，心为第/'组的总观测数。回田模型的攸然函数为 Poisson分布条件下各个格子概率函数的乘枳，因此 Poisson分布的根大似然函数和对数似然因数具体形式分别为：S L = 一工人+工”山人一工h心！）11】么=匚心匚1 乂匚一 J x门一匚丫山j乙LJj EV个fiTy 9i y ir=i=» xln( 3) + x0 Xi_%e 仃-工工In)I = I >=i一 a a In UP) 9r YG(#)=-7= Z±X* xXifle f=0.1,小1可采用Newton-Raphson迭代法求解参数0 =（九片一小$的根大似然估廿了。对于仅有常数的Poisson模型,其估廿值为，用于廿算对数 （fl然比/-I2.案例分析fl 11 Doll fl Hill （1966 ） if究英国男性医生患冠