《量子力学教程》课后答案

1、精品文档 0 量子力学课后习题详解 1 1. 1 1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 T=b T=b (常量) 并近似计算 b b 的数值，准确到二位有效数字。 解根据普朗克的黑体辐射公式 8 hv 3 hv dv , kT i (1 1) v v 3 c e 以及 v c, (2 2) vdv vd , (3 3) dv d d c v ( )d v () c 8 hc 1 5 hc J e kT 1 本题关注的是入取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对入的一阶导数为零， 由此可求得相应的入的值，记作 m。但要注意的是，还需要验证 对入的二阶导数在 m 处的取

2、值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m就是要求的，具体如下： 8 hc 1 5 hc 1 6 hc e kT 1 kT 1 hc e帀 第一章 量子理论基础 m与温度 T T 成反比, 这里的 的物理意义是黑体内波长介于入与入 +d+d 入之间的辐射能量密度。 精品文档 5(1 e x) x 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波 长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 E E=hv=hv, P h E动 eC1 2 ),那么 1 1 2 2 在 0K0K 附近，钠的价电子能量约为 解 根据德布罗意波粒二象性的关

3、系, 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ 如果我们考察的是相对性的光子，那么 2 E p 2 e E=pcE=pc 3eV3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积, 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 he kT he TT he 5(1 e kT) he kT he 如果令 XX，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解： 个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得: 样则有 x=0 x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一 x=4.97x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这 mT he xk 把 x x 以及三个物理常量代入到上式便知 mT 3 2.9 10 m

4、K 3eV3eV，求其德布罗意波长。 可知 精品文档 6 即0.51 10 eV，因此利用非相对论性的电子的能量一一动量关系式，这样，便有精品文档 2 eE hc 2 ec2E 1.24 10 6 6 m 2 0.51 106 3 9 m 0.71 nm hc 2 eC2E 作一点讨论，从上式可以看出， 当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒 子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大， 因而波动 性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观

5、世界才 能显现。 3 1 1. 3 3 氦原子的动能是E kT （ k k 为玻耳兹曼常数），求 T=1KT=1K 时，氦原子的德布罗意波 2 长。 解根据 3 1k K 10 eV , 知本题的氦原子的动能为 3 3 E kT k K 1.5 103eV, 2 2 显然远远小于 核c2这样，便有 he 2 .2 核 c E0.71 10 在这里，利用了 以及 最后，对 hc 1.24 10 6 eV m ec2 0.51 106eV 精品文档 1.24 10 .2 3.7 109 0.37 10 9m 0.37 nm - m 3 1.5 10 这里，利用了 2 核 c 4 931 106 e

6、V 9 3.7 10 eV 最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T T 的体 系，其中粒子的平均动能的数量级为 kTkT,这样，其相庆的德布罗意波长就为 he he 2 e2E 2 ke2T 据此可知，当体系的温度越低， 相应的德布罗意波长就越长， 这时这种粒子的波动性就越明 显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时， 粒子间的相干性就尤为明显， 因此这时 就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布， 而必须用量子的描述粒子的统计分布一一 玻色分布或费米公布。 1 1. 4 4 利用玻尔一一索末菲的量子化条件，求： (1)(1) 一维谐振子的能量； (2)

7、(2) 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场 H=10TH=10T，玻尔磁子 MB 9 10 24 J T 1，试计算运能的量子化间隔 E E, 并与 T=4KT=4K 及 T=100KT=100K 的热运动能量相比较。 解玻尔一一索末菲的量子化条件为 :pdq nh 其中 q q 是微观粒子的一个广义坐标， p p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积 一圈，n n 是正整数。 (1 1)设一维谐振子的劲度常数为 k k，谐振子质量为，于是有 丄kx 这样，便有 P ，.2（E 2kx2） 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动, 回，运动了一

8、圈。此外，根据 一正一负正好表示一个来 精品文档 E -kx2 2 可解出精品文档 这表示谐振子的正负方向的最大位移。 这样， 根据玻尔一一索末菲的量子化条件，有 x 1 2 x ( K 2 (E 2kx3)dx nh 匚厂 d E cos d , k A 2(E 2kx2)dx 精品文档 ：2 (E 2kx2)dx -h 2 2 为了积分上述方程的左边，作以下变量代换; x 2Esin V k 2E . sin k 2 2E cos d (1) 严严2d E cos2 d(2 ) .k 根据式（1 1）和（2 2）,便有2 (E 1 kx2)dx 2 2 (E 2kx2 2 )dx nh 这

9、样, 便有 2 2 E cos 2 2E cos d k 这时, 令上式左边的积分为 此外再构造一个积分 B 2 2E 2 .ksi d 这样, 便有 这里 =2=2 这样，就有 A B Ek sin 2E 精品文档 这样，便有 其中 h h 2 最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的 能量是等间隔分布的。 （2 2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有 qBR 这时，玻尔一一索末菲的量子化条件就为 2 qBR4 nh 2 E ，所以，有 2 2 2 2 qBR 4 qBRd(R nh qBR2 2 nh 又因为动能耐 2 E (qBR) 2 精品文档 q

10、是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 2 E BM B 具体到本题，有 E 10 9 10 24 J 9 10 23 J 根据动能与温度的关系式 3kT 2 以及 E 1k K 10 3 eV 1.6 22 . 10 J 可知，当温度 T=4KT=4K 时， E 1.5 4 1.6 10 22 J 9.6 10 22 J 当温度 T=100KT=100K 时， E 1.5 100 1.6 10 22 J 2.4 10 20 J 显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。 1 1. 5 5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，

11、问要实现实 种转化，光子的波长最大是多少？ 解关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程， 如两个光子以怎样的概率转化为正 负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算， 修正当涉及到这个过 程的运动学方面，如能量守恒， 动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到 本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所 对应的波长也就最长，而且，有 E hv ec2 此外，还有 he E pe 于是，有 he 2 eC he 2 ee 1.24 10 6 0.51 10 12 2.4 10 m qBn 2 nBNB, nB2 其中，M 精品文档

12、 3 2.4 10 nm 尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的， 我们知道，电子 是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子， 那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变， 产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，精品文档 这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因： 期待发现新现 象，新粒子，新物理。 第二章波函数和薛定谔方程 2.12.1 证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 (r，t) (r)f(t) J.Et (

13、r)e J ( 2m 可见J与t无关。 2.22.2 由下列定态波函数计算几率流密度： 1 ikr 1 e (2 ) 2 r 从所得结果说明 1表示向外传播的球面波, 2表示向内( (即向原点) )传播的球面波。 解：Jj和J?只有r分量 1 1 r 一 e e - r r r sin (r)e (r) 丄Et (r) (r)e * (r) 丄Et (r)e 丄 Et (r)e ) (r) ikr 在球坐标中 (1) -(1 * * 1 1 1) 2m i 1 ikr e ikr、 (e ) 1 ik / 1 ikr 、 (e )r 2m r r r r r r 2 1( 1 1 2 ik )

14、 1( 12 1 ik)r。 2m r r r r r r k k 2 r0 mr 3r mr J1 精品文档 4与r同向。表示向外传播的球面波。 k k 2 G 3 r mr mr ikx 补充：设 （x） e ,粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化? dx dx 2 波函数不能按 （x） dx 1方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 2 1表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.32.3 一粒子在一维势场 ,x 0 U(x) 0, 0 x a ,x a 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：U（x）与t无关，是定态问题。其定态 S方程 2 d2 2 (x) 2m dx U(x

15、) (x) E (x) 在各区域的具体形式为 I： x 0 2 d2 -1(x) U(x) 1(x) E 1(x) 2m dx2 n： 0 x a 2 d2 2（X） E 2(x) 2m dx2 i (2 * * 2 2 ) 2m i r 1 ikr / 1 ikr 、 1 ikr e - (e ) e 2 r r r r i r1 1 1、 1 “ 1 (- ik-) -( 2 2r r r r r z1 ikr . -(e r r 1 ik-)r。 可见, J2与r反向。表示向内 （即向原点）传播的球面波。 J2 精品文档 0 川：x a 2 d2 2 2m dx 3(x) U(x) 3(

16、x) E 由于（1 1）、（3 3）方程中，由于U （x） ，要等式成立，必须 i(x) 0 2(x) 0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程（2 2）可变为 2 d 2(x) 2mE dx2 2（X） 令k2 警，得 d2 2(x) k2 k 2(x) 0 其解为 2(x) Asin kx B coskx 根据波函数的标准条件确定系数 A A , B B,由连续性条件，得 2(0) 1(0) 2(a) 3(a) sinka ka n (n 由归一化条件 A2 1,2,3, a sin2 Asin ka 0 2（X） 2 (X) dx xdx 1 a As in x a .m sin -

17、 b a .n x sin - a xdx a 2 mn 精品文档 2 . n -sin x a a 对应于En的归一化的定态波函数为 2 n I Ent sin xe a a 0, 2424 证明（2.62.6- -1414）式中的归一化常数是 A2a 2.52.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。(2.6(2.6- -1414) 由归一化, - a 2dx A2 a 2 sin a(X a)dx A2 A2 2 a 1 1 a2 a cos (x a)dx a A2a a A2 2 A2 2 A sinn a 0, (x a), x a a cos (x a sin a)dx a)

18、 2（Xk2 2mE 2 En 2 2 2 刊 2ma (n 1,2,3,)可见 E E 是量子化的。 n(x,t) x a, 归一化常数A 1 - 精品文档 数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态 S S- -方程为 2 d2 厂肓(x) U(x) (x) E (x) 将式中的X以（X）代换，得 利用U ( x) U (x)，得2x2 1（X1（X2 2x2 x e 2x2 d i(x) dx 2x3e 2x2 d i(x) 令dx 0，得 0, x 时, i(x) 0。显然不是最大几率的位置。 2 2x (2x 2x3)e 2x2 可见x - 24 3 1 e 2.62.6

19、在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称: U( x) U（x），证明粒子的定态波函 2 d2 片(x) U(x) (x) (x) 1 2 xe 2 解：（x） 2 2 dx2 6 2x2) 由i（x）的表达式可知，x 4x4)e 2x2 x 是所求几率最大的位置。 精品文档 比较、式可知， (X)和(X)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。 由于它们描写的是同一个状态，因此 (X)和 (x)之间只能相差一个常数 c。方程、 可相互进行空间反演 (x x)而得其对方，由经 x x反演，可得， (x) c (x) 由再经 x x反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 (x) c

20、 (x) 乘， 得 (x) (x) c2 (x) ( x) 可见，c2 1 c 1 当c 1时， (x) (x), (x)具有偶于称， 当c 1时， (x) (x), (x)具有奇宇称， 当势场满足 U( x) U (x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 # # 2.7 2.7 一粒子在一维势阱中 Uo 0, U(x) 0, 运动，求束缚态( (0 E Uo) )的能级所满足的方程。 解法一：粒子所满足的 S S- -方程为 2 . 2 门 (x) U(x) (x) E (x) 2 dx 按势能U (x)的形式分区域的具体形式为 2 d2 I： 飞 i(x) Uo i(x) E i(x)

21、2 dx厂dX2 (x) U(x) ( x) E ( x) 精品文档 a x a a x n： 2 2 d2 dx2 2（x） E 2（x） 川： 2 d2 3（X） Uo 3（x） E 3（x） 2 dx2 整理后， I： 得 2 （Uo E） 1 0 1 2 n：. . 2 E 0 2 2 2 2 （Uo E） 2 令k; 2 （Uo 2 E） k； 2 E 2 则 I： 1k2 1 o n：. 2 k； 2 o 川： 3 k2 1 o 各方程的解为 1 Ae k1x Bek1x 2 Csin k2x D cosk2x 3 Ee kx kx Fe 由波函数的有限性, 有 1（ ）有限 A

22、0 3（）有限 E 0 因此 1Be1 qx 3Fe kX 由波函数的连续性，有 精品文档 1( a) 2( a), Be k1a Csin k2a D cosk2a (10) 1( a) 2( a), k1Be kzCcoskza k2Ds in k2a (11) 2(a) 3(a), Csi nk2a Dcosk2a Fe ka (12) 2(a) 3 (a), k2Ccosk2 a k2Dsi nk2a k1Fe k1a (13) 整理（1010）、 （1111）、 （1212） （1313）式，并合并成方程组，得 e kiaB sink2aC cosk2aD 0 0 k a kie 1

23、 B k2 cosk2aC k2 sink2aD 0 0 0 sink2aC cosk2aD e kiaF 0 0 k2 cosk2aC k2 sink2aD k1e kiaF 0 解此方程即可得出 B B、C C、D D、F F,进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解, 必须 k1k2e k1a sin2 k2a k；e k1a sin k2acosk2a k 1a k1a k1 a 2 &e &e sin kzacoskza k?e cos k?a k1e k1a sin k2acosk2a k2e k1a sin2 k2a e 2k1a 2k1k2 cos2k2a k

24、；sin2k2a k12 sin2k2a e 2k1a(k2 kf)sin2k2a 2k1k2 cos2k2a kia e 1 k1e ka sin k2a k2 cosk2a sin k2a k2 cosk2a cosk2a k2 sin k2a cosk2a k2 sin k2a k1a k1Be k1a k2 cosk2a sin k2 sin k2a cosk2a k2 sin k2a k1e ka sin k2a kk1 a I 1e sin k2a k2 cosk2a cosk2a 0 cosk 2a e k1a k2sin k2a k1e k1a k1a i i k1a 2 i

25、e 1 k1k2e 1 cos k2a k；e k1a sin k2acosk2a 0 精品文档 二（k； k；）sin 2k2a 2k1k2 cos2k2a 0 即（k； k：）tg2k2a 2仆？ 0为所求束缚态能级所满足的方程。 # # 解法二：接（1313）式 k2 k2 Ccosk2a Dsin k2a k1 k1Csin k2a D cosk2a 精品文档 2 Csin k2a Dcosk2a k2 Ccosk2a k1 2 D sin k2a k1 # # 解法三: k-2cosk2a sin k2a k1 k2 cosk2a sin k?a k1 (且 coskza k1 (c

26、oskza k1 (kcosk2a k1 k2 . sin k2a k1 /k (sin k?a k1 cosk2a coskza) sin k2a)(ks in k?a k1 sin k2a)(ks in k?a k1 k2 sin k2a)( sin k2a k1 k： . sin k2acosk2a k1 sin2 k2a k1 coskza) coskza) cosk2a) k2 cos2 k2a sin k2acosk2a 0 k1 (k； kL i 2. 2)s in 2k2a k2 2 k1 )sin 2k2a 2 cos2k2a k1 2kik2 cos2k2a (11)(11

27、)- -(13)(13) 2k2Dsin k2a &e k1a(B (10)+(12)(10)+(12) 2Dcosk2a e k1a(B F) )(13) (10) (12) k2tgk2a k1 (a) (11)+(13)(11)+(13) 2k2C cosk2a k1(F B)e ika (12)(12)- -(10)(10) 2Csi nk2a (F B)e ika (11) (13) 令12) (k0a, k2ctgk2a k1 k2a,则 tg ctg (c) (d) 2 2 (k1 2 Ua2 2 (f) 合并（a）、b）: 精品文档 tg2k2a 2k1 k2 2 2

28、k2 k1 利用tg2k2a 2tgk2a 1 tg 2k2a 解法四：（最简方法- -平移坐标轴法） (xW 0 0) n： (0 (0 x 2 2a ) 2 1 (U。 2 E) 1 0 2 E 0 2 2 2 2 3 (U 0 2 E) 3 0 k2 1 1 1 0 (1) k12 k2 2 2 2 0 (2) k； k2 3 k1 3 0 1 Ae kx Be kx 2 C sin k2 x D cos k x 3 Ee kx Fe kx 3 U 0 3 E 3 2 (Uo E). 2 2 E 2 束缚态0 E Uo 因此 1( ）有限 B 0 3 ( ）有限 E 0 1 Aek1x

29、3 Fe k1x 由波函数的连续性，有 1(0) 2(0), k1A k2C (5) 2 (2a) 3 (2a), k2Ccos2k2a k2Dsin2k2a k1Fe 2k1a 2 (2a) 3 (2a), Csin2k2a Dcos2k2a Fe 2k1a (7) i(0) 2(0), A D 精品文档 代入 k 2 k 2 . C sin 2k2a Dcos2k2a -Ccos2k2a - D sin 2k2a k1 k1 利用、(5)(5)，得 k2 )sin 2k2a 2cos2k2a ki 两边乘上（kik2）即得 2 2 (k2 ki)sin2k2a 2kik2 cos2k2a

30、0 2.82.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 7 x 0 ， U。 0 x a， U(x) Ui, a x b, 0, b x 求束缚态的能级所满足的方程。 解 ： 势 能 曲 线 如 图 示 ， 分 成 四 个 区 域 求 解 。 定 态S S - - 方 程 为 对各区域的具体形式为 U(x) i E i (x 0) I： 2 i 2 n： 2 2 2 U 0 2 E 2 (0 x a) 川： 2 2 3 Ui 3 E 3 (a x b) iv： 2 2 4 0 E 4 (b x) 2 dx2 (x) U(x) (x) E (x) ki k2 A sin 2k 2a A

31、 cos2k2a A cos2k2a k 2 ki Dsi n2k2a ki k2 $)sin2k2a 2cos2k2a 0 ki ki k2 精品文档 对于区域I, U (x) ，粒子不可能到达此区域，故 1(x) 0 2 (U。E) 2 2 E 2 对于束缚态来说, 2 (U0 E) 2 2 E/ 2 各方程的解分别为 k1x Ae Be 由波函数的有限性，得 4()有限， E 0 由波函数及其一阶导数的连续, 2 (Ui 2 E) k32 2 (Ui E) 2 4 k42 C sin k2x k3X Ee Fe D cosk2x k3X 4 Fe k3X 1(0) 2(0) A(ek3x

32、 k3X) 2(a) 3(a) A(ek3x k3X) C sin k2a D cosk2a 3(a) 3(a) Ak1 (ek3a k3a ) Ck2 cos k2a Dk2 sin k2a 3(b) 4(b) C sin k2b Dcosk2b Fe k3b k3b 精品文档 3(b) 4(b) Ck2 sin k2b Dk2 cosk2b Fk3e精品文档 代入即得 附：从方程之后也可以直接用行列式求解。见附页。由、，得 ki kia e kia e k2 ekia kia e Ccosk2a Dcosk2a Csin k2a D cosk2a (1 (1 1 )1 ) 由 、得(k2

33、cosk2b)C (k2sin k2b)D ( k3sin k2b)C (k3 cosk2b)D k2 k2 (cosk2b sin k2b)C ( -cosk2b sink2b)D 0 (12)(12) k3 k3 k 1a 2 e 1 e 1 k1 令 牖-，则式变为 e 1 e 1 k2 (sin k2a cosk2a)C ( cosk2a sink2a)D 0 联立(12)(12)、(13)(13)得，要此方程组有非零解，必须 k2 k2 ( cosk2b sin k2b) ( sin k2b k3 k3 ( sink?a coskza) ( coskza cosk2b) sin k2

34、a) 即(cosk2a sin k2a)( 2cosk2b k3 sin k2b) ( sin k2a cosk2a) k2 ( sin k2b cosk2b) 0 k3 k2cosk2bcosk2a k3 sin k2bs in k2a cosk2bs in k2a sin k2(b a)( tgk2(b a) (1 $si nk2bsi nk2a k3 k2 sink2bsin k2a k3 coskzbcoskza k 2 k3 2 k3 cosk2(b a)( sin k2bcosk2a sin kzbcoskza) ka tgk2(b a) k a ka k2 (k3 k a k1

35、e k 2 e k a ka 即为所要求的束缚态能 级所满足的方 精品文档 (ekia ekia (ekia (ekia e kia) kia)k2 (ekia kia) kia ki(e ki a kia / (e e )( e (ekia sin k2a k2 cosk2a sin k2b k2 cosk2 b k2 cosk2a sin k2b k2 coskzb cosk2a k2 sin k2a cosk2b k2 sin k2b k2 sin k2a coskzb k2 sin k2b sin k2a sin k2b k2 cosk2b k3a k2k3e cosk2b k2k3e

36、 k3a ki (ekib (ki kia(ki kse 0 kqa e 3 ksa 0 k3a kse k3a cosk2a cosk2b k2 sin k2b 2 0 k3a e k3 a k3e 3 k3a sin k2a sink2asink2b kf e k3a cosk2asin k2b) e kib)(k2k3e “bsin k2acosk2b k2e k3b cosk2a sin k?asin kzb) cosk2acosk2b k2 k3a coskzb kse k%osk2asin k?b k?e k3b kia) k2k3 cosk2(b a) k；sink2(b a)e

37、 k a e i )kik3sin k2(b a) kik2cosk2(b 2 k3)k2 cosk2(b a) (k2 kik3)sink2(b 2 k3 )k2 cosk2(b a) (k2 k3b a)e 3 k3b a)e k1k3)sin k2(b a)e k3b (ki k3)k2 (k； kik3)tgk2(b a)e k3b 0 (k； k 2kqa k)e i (k； ki k)tgk(b a) (ki k3)k2e2kia (ki k3)k2 0 此即为所求方程。 # # 2 (ki k3)k2 (k2 kik3)tgk2(b a)e 补充练习题一 i i、设 丄2x2 (

38、x) Ae 2 (为常数)，求A = = ? 解：由归一化条件，有 1 A2 e ”d(x) A2- A2 丄 e y dy A2 x 2x2 e d( x) 利用 e dy yT A 精品文档 2 2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。 解：基态能量为E0 - 2 设基态的经典界限的位置为 E0 a。 在界限外发现振子的几率为 把（x）代入上式，有t1 2 /2 t dt 当x . 2时的值 C.2）。查表得 (.一 2) 0.92 一 h 、 0.92 2(1 0.92) 0.16 在经典极限外发现振子的几率为 0.160.16。 3 3、试证明 （x） 1 2x2 e 2 (

39、2 3x3 3 x）是线性谐振子的波函数, 并求此波函数对 应的能量。 证：线性谐振子的 S S- -方程为 2 d2 2 dx 1 (x) 2 2 (x) E (x) 2 T 2 T 2 T a0 e e a0 e a0 x dx 2x dx x)2d( dy 2 y dy x) 2 y dy 冷dt (令 y e 2 e 2x2 dx （ a（偶函数性质 精品文档 (x) ? e dx dx 3 1 2 2 -x 2 (2 3 x) 2x(2 3x3 3 x) (6 3x2 3 )e 2x2 9 3x 2 1 2 (4x 1 2x2 e 2 2x2 (2 (x) 1 2 2x2 7 2)

40、7 2) 5x4 (2 3x2 2x2 (8 5x3 18 3x) x) dx2 (x)代入式左边，得 左边 7 2 7 2 右边 E 2 d2 (x) dx 2 (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) (x) 2 2 4 2 x (x) 2 2 x (x) 2 2 1 2x2 (x) 1 (x) 时，左边= =右边。 (x) 1 2x2 e 2 (2 3x3 3 x),是线性谐振子的波函数， 其对应的能量 第三章 量子力学中的力学量 精品文档 3 、2 2 2 2 2 2 4 4 3.13.1 一维谐振子处在基态 (X) 2 2 x 2 t ，求: 势能的平均值U (2)(2

41、)动能的平均值 T (3)(3)动量的几率分布函数。 1 解：(1) (1) U 2 2x2 x2e 2 2 x dx 1 22 2 ox*； 1a P2 1 2 2 (x)?2 (x)dx 1 2x2 2 2_di dx2 )e 2x2 dx (1 )e 2 2 x dx 2 x2 dx 2 2 x dx 2 精品文档 0 (1)r(1)r 的平均值; 2 e (2)(2)势能 的平均值; r (3)(3) 最可几半径； (4)(4) 动能的平均值； (5)(5) 动量的几率分布函数。 c(p) p(x) (x)dx 1 2 (x 2x2 2x2 丄Px e dx i Px dx ip )2

42、 ) p2 dx 2 ip 2 2(x 2)2 dx 动量几率分布函数为 1 (p) c(p) 1 e 2 p 22 P2 3.2.3.2.氢原子处在基态 (r, r/a。 ，求: 精品文档 0 xne axdx 韦 _an1解：(1) (1) r r a； 0 re 2r/ar2 sin 0 drd d 4 3 a。 r 3a 2r/a0dr 精品文档 2 2 2 2 a。 d2 (r) dr r a是最可几半径。 4 3! 4 a。 2 3 ao 2 ao U 2 2 e 3 ao 2 e 3 ao 1 2r/a 2 . e r sin 0 r drd 2r/a0 . e 0r sin 0

43、 drd d 4e2 3 a。 2r /a 0r dr 4e 3 a。 a。 4(2 8 r ：r2)e 2r/a0 a a a0 (r)dr 0 0 (r- 2 2 ,)r sin drd d (r) 4 3e a 2r/a0 2 0r d (r) 43(2 2 2 r / a r)re 0 dr a a 令 d (r) 0, dr r1 0, r 2 , a a 当 r1 0, r2 时， (r) 0为几率最小位置 (3)(3)电子出现在 r+drr+dr 球壳内出现的几率为 $e2r/a0r2dr a0 d2 (r) T? r rr r 1 1 sinsin (sin (sin ) )

44、1 1 2 sinsin Je r/a0 3 “ a 2(e r/a0)r2sin drd d dr2 a0 8 2 ?e a 精品文档 2) 4 - re e-dr (2 )3/2 . a3 ip o n ax n! x e dx n 1 n i 0 a * 4 4 4 _ a。 丄 3 3 / 2 2 2 2 珅2a a (ao P ) (2a。)3/2 (ao2p2 2)2 动量几率分布函数 1 e ao r /ao 1 dj-r2-(e r/ao)r2sin dr dr r / ao drd d 2 a； ao (2r 2 -)er/ao dr ao c(p) c(p) 2 aO碍 2

45、 刖) 2 a： p(r) (r, , )d 1 2 r/aor2dr i pr cos sin 3/2 3 (2 ) 一 ao r/ao , dr 丄 pr cos d( cos ) (2 、3/2 3 ).ao r/ao dr e ipr i -prcos (p) c(p)2 4ip ao 2 p2)2 ao -p)2 精品文档 2) 4 8a： 5 2 (ao p2 精品文档 3.33.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 J er J e 0 Je 证：电子的电流密度为 在球极坐标中为 er r nm中的r和部分是实数。 可见，Jer Je 0 e m 2 .

46、n m r sin # # 3.43.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看 作是由许多圆周电流组成的。 (1)(1) 求一圆周电流的磁矩。 (2)(2) 证明氢原子磁矩为Je ie 2 r sin (im I2 n m im nm 2)e 2e . n m r si n rsin Je eJ 1 e- 2 n m n m n m nm) rsin 式中 er、 e 、 e 为单位矢量 Je eJ e n m(er 2 r * n m (er r 1 -e r 1 * )n m -e r sin 1 1 e e )n m r r sin ie 2 er( e(rsin n m) e ( n 1

47、* n m m r * 1 * n m n m r sin n m n m n m r 精品文档 2 me 2 M M z me 2 c (SI) (CGS) 原子磁矩与角动量之比为 e (SI) Mz 2 Lz e (CGS2 c 这个比值称为回转磁比率。 解：（1 1） 一圆周电流的磁矩为 dM iA Je dS A （i为圆周电流，A为圆周所围面积） e m rsin 2 dS (rsin )2 e m rsin 2 dS 栄 r2sin 2 drd (dS rdrd ) （2 2）氢原子的磁矩为 dM 2 2 n m r sin drd 2r2sin 2r2 sin drd drd d

48、 (SI) 在CGS单位制中 M 原子磁矩与角动量之比为 Mz M Lz Lz (SI) M z e Lz 2 c (CGS) 精品文档 3.53.5 一刚性转子转动惯量为 I I，它的能量的经典表示式是 对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数: (1)(1) 转子绕一固定轴转动： (2)(2) 转子绕一固定点转动： 解：(1)(1)设该固定轴沿 Z Z 轴方向，则有 2I d d2 d d2 () d 2 i2m e m= m= 0,0, im m Ae A A 为归一化常数，由归一化条件F F，L L为角动量，求与此 哈米顿算符 其本征方程为 L2 L2Z 2 2 d2 2 ( (H

49、?与 t无关，属定态问题 2 d2 2 2IE 2 取其解为 im )Ae ( (m 可正可负可为由波函数的单值性, 应有 im ( e 2 ) im e 转子的定态能量为 Em 2I (m= (m= 0 0，土 1 1, 2 2，) ) 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 精品文档 A 2 转子的归一化波函数为 综上所述，除 m=0m=0 夕卜，能级是二重简并的。 (2)(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 H?丄？2 2I H?与t无关，属定态问题，其本征方程为 存Y( , ) EY(,) ( (式中Y(,)设为H的本征函数，E为其本征值) ) l?Y( ,

50、) 2IEY(,) 令2IE 2，则有 L?Y( , ) 2Y(,) 此即为角动量L?2的本征方程，其本征值为 2 2 2 L ( 1) ( 0,1,2,) 其波函数为球谐函数 Ym( , ) NmPm(cos )eim 转子的定态能量为 1) 2I 可见，能量是分立的，且是 (2 1)重简并的。 # # 3.6 3.6 设 t=0t=0 时，粒子的状态为 2 1 2 * 1 0 m md 2 2 A2 d 0 A2 2 m im e 精品文档 (x) Asin kx 2 coskx 精品文档 0 2 2 2 8 求此时粒子的平均动量和平均动能。 解: (x) Asin 2 kx 舟 cosk

51、x A: (1 cos2kx) 4 coskx 可见, A 1 cos2kx 2 A 1 i2kx -1 1(e r i0 x e coskx i 2kx e i2kx e 动量Pn的可能值为0 2k 上述的 1 ikx 2(e i2kx e 2k ikx ) ikx 4e ikx 2 动能巴的可能值为 2 对应的几率 n应为 A2 2k2 A2 16 2 2 2k2 2 k2 2 2 k2 2 2 A2 16 A2 16 A2 花）2 1 1 8 8 A A 为归一化常数, 1 8 可由归一化条件，得 A2 A2 A2 材2 A2 2 动量 1/ p的平均值为 Pn 2k A2 16 2k

52、A2 16 A2 16 A 2 0 16 2 Pn 2 2 2 2k2 2 2 2 5k2 2 精品文档 3 3.73.7 一维运动粒子的状态是 (x) A0e x，丁 0, 当x 其中 0，求： (1)(1) 粒子动量的几率分布函数; (2)(2) 粒子的平均动量。 解：(1)(1)先求归一化常数，由 (x) 2 dx e 2 xdx A 2 3/2 (x) 2 3/2xe (x 0) (x) (x 0) c( p) ikx (x)dx xe ( ik)x (x)dx x e ik ik)x ik (ik)xdx (f 3 -) 1 /2 动量几率分布函数为 (p) c(p) (x)p (x

53、)dx x(1 x)e 2 xdx (x x2)e 2 xdx xe x _d dx (e x)dx 精品文档 0 # # 3.8.3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 a，如果粒子的状态由波函数 描写，A A 为归一化常数, 解：由波函数 数和本征值为 2 sin (x) . a 0, (x) Ax (a x) 求粒子的几率分布和能量的平均值。 (x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。 n x, a 粒子能量的本征函 0, En 2 2 2 n 2 a2 (n 1,2,3, 动量的几率分布函数为 (E) Cn Cn (x) (x)dx a sin 0 (x)dx 先把 (x

54、)归一化，由归一化条件, A2 2 (x) dx 2 0 x2(a x)dx A2 ：x2(a2 2 2ax x )dx 0出2 2ax x4)dx 5 2 a A(ar a5 a5 T) 5 A2a- 30 A 30 Cn 30 . 5 sin a x(a x)dx 215r 厂a a a . n x sin 0 xdx a sinn xd x a 2 15 3 a 2 a n x cos x n a 3 a 2 2 n sinn 2a2 2 2 n .n xsin x a 2a3 n pcosx n a 2 n x x cos x an a a 精品文档 3.9.3.9.设氢原子处于状态

55、扣21（）丫10（,） 十21（）丫11（,） 2 2 求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学 量的平均值。 解：在此能量中， 角动量平方有确定值为 2 L ( 1) 角动量 Z Z 分量的可能值为 Lz1 0 LZ2 其相应的几率分别为 其平均值为4 . 15 3【1 (E) Cn 2406【1 960 6 6 n 0, (x)H? a 30 “ 5 x(x 0a5 30 2 5 a a x(x 0 (1)n2 1, 3, 5, 2, 4, 6, (x)dx a) a)dx p2 (x& (x)dx 2 4x(x 2 dx a)dx 2

56、 3 30 (a (可 a 2 E2 2 es 2 2 n 2 es 8 2 (n 2) 氢原子能量有确定值 (1) 精品文档 LZ 3.10 3.10 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 子的波函数只与r有关，而与 、 无关。设为 (r)，则粒子的能量的本征方程为 1(r2) 2 r dr dr 2 2 E 令 U(r) rE , k2 2 ，得 d 2u 2 2 k u 0 dr 其通解为 u(r) A cos kr B sin kr (r) A cos kr 旦 sinkr r r 波函数的有限性条件知， (0)有限，则 B (r) sin kr r 由波函数的连续性条件，有 B U(r

57、) ,r a; 0, r a 求粒子的能级和定态函数。 解：据题意，在r a的区域，U(r) 这区域粒子的波函数 ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在 0 ( (r a) ) 由于在r a的区域内，U (r) 0。只求角动量为零的情况，即 0，这时在各个方向 发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度 无关，是各向同性的，因此，粒 精品文档 (a) 0 sin ka 0 a精品文档 2 (X) 其中 3.11.3.11. 3.123.12 式中 / B 0 ka (n 1,2,) En 22 (r) B B 为归一化, 2 n 2 a2 B . n sin r r a 由归一化条件得 0d

58、 0d 4 aB2si n2 0 /a 归一化的波函数 (r)2 r2 S in dr rdr a aB2 (r) 求第 3.63.6 题中粒子位置和动量的测不准关系 (X)2 ( p)2 解: (X)2 粒子处于状态 A2XSin2 kx 2 2 2 A X sin kx 2 2 2 (p)2 (X2 X ) ()1/2exp丄 2 1 2 coskx dx 0 -coskx2 dx 2 (p PoX 2 p ) 为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系 （X）2 （ p）2 解：先把 （x）归一化，由归一化条件，得 精品文档 x2 1 尹 2 e 2 dx 占d( x ) d(2 2)

59、 是归一化的 1 (2 1 )1/2 ) （X） exp丄 PoX 动量平均值为 x2 dx dx i Pox -x2 i 2 ( Po i ft)x x)e -x2 2 dx i Po x)e x2 dx Po Po 2 x dx 2 xe % dx x)2 x2e 2( (P)2 dx xe 2 x dx （奇被积函数） x2 dx xe x2 x2 dx * dx 2 匹) 匹） dx i2 Po xe i Pox dx x2 d2 e dx i Pox 2 dx 2)2 2、 Po) 精品文档 (X)2 2 X 2 X i 2 (P)2 P2 2 P (2 2 2、 2 2 Po) P

60、o 2 2 2 (x) ( p) 3.133.13 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。 解：设氢原子基态的最概然半径为 R R,则原子半径的不确定范围可近似取为 r R 由测不准关系 _ _ 2 2 2 (r) ( p) 4 (P)2 4R2 对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符 P为奇宇称，所以 又有 所以 可近似取 能量平均值为 P 0 2 _2 2 (P)2 P P2 (P)2 4R2 R2 P2 2 es 作为数量级估算可近似取 则有 2 es 2 es r R 2 2 E 2 R2 R 精品文档 基态能量应取E的极小值，由精品文档 100 100 代入E ,得到基态能量为 1 1 试以基态氢原子为例证明: