双曲线大题综合

1、双曲线大题综合2 21.已知双曲线c：g 石=1（">0”>0）的左、右焦点分别为仟，朽,离心率为3,直线 y = 2与C的两个交点间的距离为点.（I）求匕/?;（II）设过竹的直线/与C的左、右两支分别相交于A,B两点，且|4川= |Bf 证明:阴卜阿I成等比数列.2 2解：（I）由题设知£二即匚工二9,故b2=8a2 匕a2由题谡知，2所以C的方程为8x2-y2=8a2将严2代入上式，并求得沪土a?'逅，解得a'=l所以a=l.、b=2返（H）由（I ）知h（-3，0），F2（3, 0），（:的方程为8x2-y2=8 由题意，可谡1的方程为尸

2、k （工-3），k V2返代入并化简得（k2-S） x-6k2x-9k2+S=0 i殳A (：i ? yi ) 、B ( X2 冗)5贝 1召 <一1，X2>1 巧+戈2=弩、X*2= '于是 書_8萨_8AFi =、（工 1+3）2+）订 2 =、（一3）2+8羽 2_沪_ （ 3m十 1，BFi 彳（工2十3卩寸2 2 = （%2一3）2十8口2_8=弘2“， j AFi = BFi 得一（3巧1） =3x2+L，即X十乂2=一扌 故光 =|,無打=”从而xlx2=-= 由于 1AF2 二、伍i_32寸 1 2=、仗_3）2+冬2_萨3*1，sf2 =J(x2-3)22

3、 2 = J(x2-3)2+8jc2 2-S=3x2-故 AB = AF2I -| BF2 =2-3 (xi七2)=i, IAF2 BF2 =3 (xi+x.2)-9xiX2"l=16因而我氏 = AB|2,所以AF2 AB x 3F2成等比敎列2 如图，已知曲线c1：-r = 1,曲线q：iyi=ixi+if是平面上一点，若存在过点p的直线2与cpc2都有公共点，则称P为GC2型点"（1）在正确证明G的左焦点是“GC2型点时，要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；设直线y =也与C2有公共点，求证I k 1> 1，进而证明原点不是GC2

4、型点勺（2）证明；因为宜线y=k>:C2有公共点，所以方程组卩"有实教解，因itE kx = X T，m|Ar|= >1.Im十i区若原点是"Ci-C2型点外，则存在过原点的直线与C“C2祁有公共点考慮过原点与C2有公共点的直线沪0或尸庶（|k|>l）显然直线沪0与G无公共点如果直线为y=k>； （ k >1） 则由方程组（乂2，得以=<0,矛盾.-vz=l1_2芒2所以直ty=kx （ k： >1 ） Cj也无公共点.因此原点不是"Ci-C2型点卯因为1与&由公共点，所以方程组<y = kxb有实数解,（3

5、）证明：记圆S兀2十歹2 = £,取圆0内的一点Q，设有经过Q的直线1与C2都有公共点，显然1 不与工轴垂直、故可设1 : y=kx-b若；k <1.由于圆0夹在两组平行线y=x ± 1与尸-注1之间，因此圆0也夹在直线y=kx±ly=-kx±l 之间，从而过Q且以k为斜率的直线1与G无公共点，矛盾，所以k >1.得(1-21?) x2-4kbx-2b2-2=0 因为k1，所以1-21?知，因 1 比二(4kb) 2-4 ( l-2k2) (-2b2-2) =8 (b2-l-2k2) >0, 即b2>2k2-l .b因为區10的圆

6、心(0，0)到直线1的距离d= 所以二=护<£,从而仝丄泌曲卩1，得k2<!，与k >1矛盾. 1+P22因此，圆十尹2 = g内的点不是“Cl-c2型点"、B是双曲线x2-y=l上的两点，点N（l,2）是线段AB的中点（1）求宜线AB的方程：（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆为什么故直线注的方程为y=x-l .（7分】（3 ）假设A四点共區,且團心对PV ABjIDP的弦，所以圍心P在貞B垂直平分线CD上，又CD为區1P的弦且垂肓平分AB，區1心P为CD中点M -（ &分）下面只需证CD的中点X

7、満足MA i = MB MC l = |MI）艮卩可由 2 V2 ，得：A « -L，0，B < 3 > 4（9 分X_r二 12由< 1 >得直绒CD方程：y=-x-3 *（10分，得：C-3 + 2卜，6-2逅，D （-3-2辰 6+2匹）（L1 分）I 2CD的中点H （-3,6 CL2分- MA =（4十36 = 2帀，|近=（30_4 = 2帀, =羽0-20=2顾，1 = 2020= 210（13 分 MA = M5' = MC = MD，即A*D四点在以点H（-3, 6）为圆心，2帀药半径的區上.（14分）n 2(201】秋余姚市松纟及匪

8、中)己知斜率为啲直线1与双曲纟扛：咯咅=l(a>0, D>0)相交于沐：)两 /护為且BD的中点为M (1> 3)< 1)求C的离心率:(II)设C的右顶点为釘右焦点为F，DF BF =17,证明：过茲Bs D三点的圆芍注由相切.故尸启+识=2一C的离心率e=£=2a(II )由©知，C的万程为：3x2-y2=3a2. A (a，0，F (2a，0)，XI十兀2 = 2, X1X2 =歆不C-a 岂>2阿二1-2a)2+y 12 = kN 1, FD =J(x2-2)2+y22 = 2x2-BF FD = ( a-2ii) (2x2a) =-4

9、xi>：2+2a (xtX2)-a"=5ax+4a-8.9第得齐1,或dz=-4故 |BD| 二口 R1-X2I2IBF FD|=17,故5界十4"8=17(舍去)9=只|(攵1+无2)"-4xix2=6,连按YA，则由A <1，0) . M <1，3)MA|=3,从而MA=MB=MDj且HA丄m轴.因此以H为圆心，MR.为半径的圆经过A、B、D三点，且在点人处与:匚轴相切, 所以过A，3> D三点的團与艾轴相切.(2010-LU)如图，已狎衲圈匚-4=1(a>b>0)的會心率为号，以i亥 椭圜上的点和旃圜的左、右焦点F-巳为顶

10、点的三角形的周长为厶1), 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该狀曲线上异于顶点的 任一钛 直线PI和PF占桶园的交点分别为A、BfQC. D<I)求椭圆和双曲线的标准方程j(II)设宜线PF仆PF2的斜率弁别为k2,证明krk2=i5 <H)此小题仅理科骸是否存在常数入，使得A3 7cD：MA3 CD恒成立？若存在，求人的值；若不存在，请说明理由.【解答】解：(I)由题意知，椭圆离心率为£=拳，a 2得。=返宀 又2a-2c=4(j2-l),所以可解得。=2返，c=2,所以b2=a2-c2=4，所以椭圆的标准方程为丘疋=1；84所以椭圆的焦点坐标为(±2

11、, 0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为二=144(II )设点P (x0> yo)，贝牡仔上一，k2二丄一， X0+2X0-2 yo VO VO2上1 k2= r=，xo+2xo-2 xq2_4又点P(血，70 >在改曲线上，竺:竺=1，即列匸亠4，44x0'-4(III)假设存在常数入，使得得IAB + CD!=X：AB CD|恒成立，则由(II)知k宀2=1，设直线AB的方程为y=k (x+2)，则直线CD的方程为(x-2)， ky = k("2)由方程组 22_ 消y得:2_ 184(2k2-l ) x2+8k2x+8k2-8=0,设A ( Xi 9 和)9