汽车保有量(共33页)

1、私家车保有量的预测与控制摘要本文研究的是私家车保有量的增长及如何控制的问题. 寻找私家车保有量烦人增长规律，对于确预测私人汽车保有量，对制定经济政策和进行经济宏观调控、保证社会经济和谐发展有重要的作用. 因此本文就该问题进行分析与探讨. 对于问题一，我们首先通过作图先初步影响私家车保有量的因素进行分析，得到噪声对汽车保有量的影响不大，接着我们用数学中的分类思想首先建立了聚类模型，深入地分析了影响私人汽车保有量的各个因素，最终确定运营公交车辆数、公交车营运总里程、汽油(93号)年均价和公交营运总数这四个指标是影响汽车保有量的主要因素. 在对类聚模型改进的基础上建立了主成分分析模型，确定出了三个主

2、要成分，再利用多元线性回归预测出了2010年的某地区汽车保有量为136.7788万辆. 在此基础上，我们又建立了灰色预测模型并进行了绝对残差和相对残差验证、关联度检验和后验差检验，预测得出2010年汽车保有量为188.7183万辆. 为了验证预测值是否准确，我们又建立BP神经网络模型并其进行预测，得出2010汽车保有量为163.8847万辆. 最后我们通过相对误差值这个指标对所建立模型进行了比较，得出 模型的预测值相对更为准确. 对于问题二，我们根据问题一中所建立的模型预测出某地区某年私家车的数量，再根据汽车废气排放量不超过国III排放标准的原则，并结合影响废弃排放的各个因素间的关系建立了调控

3、模型，（）得到私家车总量与公家车的最大比例为15.92%. 在此基础上，（我们又用数学中线性规划知识建立了线性规划模型，并定性的由该地区的汽车尾气的排放情况得出应该增加公交车的数量限制私人汽车保有量的调控措施. ）最后，我们还对所建立的模型进行了客观的评价，所建立的模型通过适当的图表对问题进行分析，直观明了，但在分析影响汽车保有量问题中只分析了题中所给出的几个因素，结果与实际值存在一定的偏差. 在本文的最后，我们对模型进行了改进，我们结合了基因表达式编程思想，应用GEP技术对私家车保有量进行预测，其优点是简单、预测精度高，同时避免了在建立上述模型中确定参数的主观性. 改进后的模型结合GEP的时

4、间序列模型能够在数据挖掘领域得到了广泛应用，同时也能运用到组合优化，聚类，关联规则，时间序列预测等领域.关键词： 聚类 主成分分析 灰色预测 BP神经网络 调控模型 线性规划一、问题重述我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间. 据中国汽车工业协会估算，截止到2006年底，中国私人汽车保有量约为2650万辆，占全国汽车保有量的60%左右. 在2006年，我国汽车销量为710多万辆，私人购买比例超过77%，中国已经成为仅次于美国的全球第二大新车市场. 据世界银行的研究，汽车保有量 (尤其是私人汽车)与人均国民收入成正比. 2003年，我国国内人均GDP首次突破1000美元，这预示着中国汽

5、车开始进入家庭消费阶段. 而事实表明，随着中国人均GDP的稳健增长，近年来，我国的家用汽车销量以两位数的增速急剧扩大. 汽车特别是用于消费的私人汽车保有量的多少，与经济发展程度、居民收入以及道路建设等有着密切的联系. 随着私人汽车消费时代的到来，汽车保有量上升的一个重要因素就是国内汽车消费的快速增长. 消费者购买力的增强和个体私营经济的快速发展，也带动了私人汽车的大发展. 私人汽车保有量与一个国家或地区的社会经济发展的有关数据有着密切关系. 附表提供了我国某一经济发达地区的一些相关统计数据. 然而，当我们快速迈进以私人汽车为主体的汽车社会的时候，也面临着新的考验，除了能源紧缺、燃油价格上涨、土

6、地资源有限等诸多不利因素对汽车发展带来巨大的压力外，目前，交通产生的尾气已经成为城市环境的最主要污染源，如果对小汽车这种快速增长不从战略的高度加以科学引导和调整，它将不再单纯体现经济建设成就，巨大的负面效应也将成为社会法杖的阻碍因素. 我国于上世纪1999年对生产的小汽车废气CO、HC、NOX和PM允许排放量制订了国家标准(相当于欧洲标准). 规定生产的汽车从2000年1月1日起实施国排放标准，从2005年1月1日起实施国排放标准，从2007年7月1日起实施国排放标准，从2010年1月1日起实施国和国排放标准(实现基本与欧洲标准同步).  据有关资料介绍，在城市交通中，小汽车与公共汽

7、车相比，单位小汽车排放的污染物比公共汽车高9倍. 请研究下述问题：1、 根据附表中的相关数据建立数学模型，分析影响该地区私人汽车保有量的因素，并预测到2010年该地区私人汽车保有量有多少？2、 假设私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的五分之一. 按照汽车废气国III排放标准（欧III）（要求CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX排放量每公里不超过0.56克，PM排放量每公里不超过0.05克）, 如何根据该地区的汽车废气的排放情况，来调控公交车和私人汽车保有量？二、问题假设l 汽车保有量和对影响其的有利因素都是对时间的函数. l 假定除居民人均可支配收入和居民储蓄款余额对私人汽车保

8、有量有影响外，其他变量为一定值. l 在问题一中汽车保有量只与给出的因素有关，我们选取了其中的一部份而与其它的部分没有关系. l 所给的数据完全可靠，是实际情况的真实反映；l 由于数据分析中发现城市干线噪声均值变化极小，所以在问题求解中忽略了噪声对私家车保有量的影响l 汽车排放的废气主要为碳氢化合物（HC），氮氧化合物（），一氧化碳（CO），微粒（PM），其他废气成份质量忽略不计. l 社会是稳定的，发展是平稳的，不考虑因突发事件而导致保有量的突变；l 各因素之间相互独立，不存在一个因素的变化而导致其他因素的剧烈变化l 私人汽车的年运行公理数是公交车年运行公里数的五分之一l 题中给出的单位小汽

9、车排放量的污染物比公交车高9倍，这一比例保持不变，即小汽车每一种排放的污染物都是公交车的10倍三、 符号说明3.1问题一符号说明调整利率前的私家车保有量影响私人汽车保有量的个因素回归系数矩阵第个指标的样本的均值第个指标的样本的方差相关矩阵系数第个特征值第个特征值的特征向量个指标变量的总累计贡献率第个主成分3.2问题二符号说明私家车总量公交车总量一辆私家车行驶1公里排放的污染物总量一辆私家车行驶1公里的CO排放量一辆私家车行驶1公里的一辆私家车行驶1公里的排放量一辆公共汽车行驶1公里排放的气体总量一辆公交车行驶1公里的CO排放量一辆公交车行驶1公里的一辆公交车行驶1公里的排放量一辆私家车年运行的

10、公里数一辆公交车年运行的公里数所有私家车行驶公里的CO排放量所有私家车行驶公里的排放量所有私家车行驶公里的排放量所有公交车行驶公里的CO排放量所有公交车行驶公里的排放量所有公交车行驶公里的排放量四、问题一分析、模型建立与求解4.1 问题一的分析保有量指得就是一个地区拥有车辆的数量，一般是指在当地登记的车. CPI消费者物价指数(Consumer Price Index)，英文缩写为CPI，是反映与居民生活有关的商品及劳务价格统计出来的变动指标，通常作为观察水平的重要指标. 我们都知道从紧的货币政策，如加息、提高人民币存款准备金等等. 对该地区私人汽车保有量有抑制作用. 因为首先假如购买汽车需要

11、贷款的话，由于利息提高，还贷额增加；其次，对居民来说，同样用于购买汽车的20w现金，由于加息，存在银行里获取的利息变高了，而汽车是贬值品，此消彼长这样老百姓的购车欲望就会下降. 通过对题意可知问题一要求我们根据附表中的相关数据建立数学模型，分析影响该地区私人汽车保有量的因素，并预测到2010年该地区私人汽车保有量. 首先我们根据题中所提供的影响汽车保有量的各项因素，通过1996年至2008年近13年间的各项指标的数据，分析各项指标与汽车保有量之间的关系，同时也对各个指标间的相关性作了分析，并得到了一下几个潜在信息：（1）该地区人均国内生产总值，由题中“汽车保有量与人均国民收入成正比”知，其促进

12、私人汽车保有量的增加； （2）全社会固定资产投资总额的增长，由于汽车消费占有重要份额，所以其与私人汽车保有量的增加有密切关系；（3）道路总长的增多为居民的交通带来了方便，因而也推动了对汽车的购买；（4）居民人均可支配收入高低和居民储蓄款余额的水平对汽车的购买有直接影响；（5）汽油年均价从1996-2008年持续提升，在一定程度上加大了居民承担汽车消费的压力，是不利因素. 以上只是根据题中所提供的数据进行了简单的主观上的分析，并没有很好地对问题一进行细致分析，于是我们借助MATLAB画出了各个因素与汽车保有量之间的相关性散点图，具体如下所示：以上所绘制的图很直观地展现出了各个指标在汽车保有量之间

13、的关系，4.2类聚模型4.2.1类聚模型的思想聚类分析又称为群分析或者类分析，它是依据某种准则或算法对个体（样本或变量）进行分类的一种多元统计分析技术. 通俗地讲，聚类分析就是多元统计分析中研究所谓“物以类聚”现象的方法，其职能就是对一批样本或者变量，按照其在性质上的亲疏程度进行分类. 例如，对不同省市区故居GDP、人均收入、通货膨胀率等指标进行分类，对居民消费习惯按照习惯按照其消费支出结构进行分类等.4.2.2类聚模型的建立根据题目中所给数据，我们我们取以上10类指标：它们分别为：为人均国内生产总值；为全社会消费品零售总额；为全社会固定资产投资总额；为运营公交车辆数；为公交营运总数；为公交车

14、营运总里程；为道路总长；为居民人均可支配收入；为居民储蓄款余额；为汽油(93号)年均价. （一） 距离和相似系数Ø 距离设有n个样本，每个样本观测p个变量，数据结构为，其中，xij是第i个样本第j个指标的观测值. 因为每个样本点有p个变量，我们可以将每个样本点看作p维空间中的一个点，那么各样本点间的接近程度可以用距离来度量. 以dij为第i样本点与第j样本点间的距离长度，距离越短，表明两样本点间相似程度高. 最常见的距离指标有：绝对距离：欧氏距离：切比雪夫距离：马氏距离：，其中. Ø 相似系数对于p维总体，由于它是由p个变量构成的，而且变量之间一般都存在内在联系，因此往往可

15、用相似系数来度量各变量间的相似程度. 相似系数介于-1至1之间，绝对值越接近于1，表明变量间的相似程度越高. 常见的相似系数有：夹角余弦： 相关系数：，S是样本数据矩阵相应的样本协方差矩阵，即S的元素我们选择的十个指标很具有很强的相似性，所以我们采用相似系数中的相关系数来评判这十个指标的相似性. （二）聚类方法系统聚类分析是聚类分析中应用最广泛的一种方法，凡是具有数值特征的变量和样本都可以采用系统聚类法. 选择适当的距离和聚类方法，可以获得满意的聚类结果. Ø 分类的形成先将所有的样本各自算作一类，将最近的两个样本点首先聚类 ，再将这个类和其他类中最靠近的结合，这样继续合并，直到所有

16、的样本合并为一类为止. 若在聚类过程中，距离的最小值不唯一，则将相关的类同时进行合并. Ø 类与类间的距离系统聚类方法的不同取决于类与类间距离的选择，由于类与类间距离的定义有许多种，例如定义类与类间距离为最近距离、最远距离或两类的重心之间的距离等，所以不同的选择就会产生不同的聚类方法. 常见的有：最短距离法、最长距离法、重心距离法、类平均法、离差平方和法等. 设两个类，分别含有n1和n2个样本点，最短距离法：最长距离法：重心法：两类的重心分别为，则类平均法：离差平方和法：首先将所有的样本自成为一类，然后每次缩小一类，每缩小一类离差平方和就要增大，选择使整个类内离差平方和增加最小的两类

17、合并，直到所有的样本归为一类为止. 其中我们采用最长距离法来对这十个指标进行分类. 4.2.3聚类模型的求解定性考察反映汽车保有量的十项评价指标，可以看出，某些指标之间可能存在较强的相关性. 比如人均国内生产总值、全社会消费品零售总额与居民储蓄款余额可能存在较强的相关性， 运营公交车辆数和公交车营运总里程之间可能存在较强的相关性. 为了验证这种想法，运用MATLAB软件计算十个指标之间的相关系数，相关系数矩阵如表所示： 1.000.990.920.980.960.980.990.980.990.980.991.000.870.980.970.980.980.970.980.970.920.87

18、1.000.870.810.880.930.930.920.870.980.980.871.000.971.000.960.930.980.980.960.970.810.971.000.970.920.910.960.980.980.980.881.000.971.000.960.930.990.990.990.980.930.960.920.961.000.980.990.950.980.970.930.930.910.930.981.000.970.940.990.980.920.980.960.990.990.971.000.980.980.970.870.980.980.990.95

19、0.940.981.00表格 1 十个指标之间的相关系数矩阵可以看出某些指标之间确实存在很强的相关性，因此可以考虑从这些指标中选取几个有代表性的指标进行聚类分析. 为此，把十个指标根据其相关性进行R类，再从每个类中选取代表性的指标. 通过MATLAB软件，我们得到聚类树型图（见图1），也直观的说明了上述聚类的全过程. 图 1 聚类树形图我们将全部样本分为三大类，根据图1标号，则相应各类中指标分布如表2所示：第一类第二类第三类运营公交车辆数公交车营运总里程汽油(93号)年均价公交营运总数人均国内生产总值居民储蓄款余额道路总长全社会消费品零售总额居民人均可支配收入全社会固定资产投资总额表格 2各个

20、指标的分类由上表作出如下分析：第一类：运营公交车辆数、公交车营运总里程、汽油年均价、公交营运总数呈密切的关系，汽油价格影响公交营运总里程和运营的公交车数量，而运营的公交车数量又对公交运营总数有影响. 第二类：人均国内生产总值、居民储蓄存款余额、道路总长、全社会消费品零售总额、人均可支配配收入有密切关系，除道路总长外都属于经济指标，而些经济指标又会对社会建设产生影响，因此归为一类. 第三类：全社会固定资产投资总额与上述的两类没有很大的联系，因此单独归为一类. 4.3主成分分析模型4.3.1主成分分析模型分析本文采用了主成分分析方法的原因是因为主成分分析方法在各个变量之间相关关系的研究基础上，用较

21、少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多变量所反映的信息，进而尽量用这几个较少的变量来刻画个体的一种方法，是一种降维处理方法，我们通过对所给数据的分析，得出本题目恰好符合主成分分析的条件，能够运用主成分分析法来解决题中的问题一. 对主成分分析模型的补充假设：题中所给的历史数据并没有明确地指出影响该地区的私人汽车保有量的因素，因此，基于主成分分析法是建立在各个变量相关的基础上，我们通过对题目中所提供的十一个变量进行相关性分析，得到以下结论：除城市交通干线噪音均值这一因素与其他相关性为负外，其余的变量之间存在着较强的相关性. 所以在这一模型中我们忽略了这一因素对私

22、家车保有量的影响，即假定影响私家车保有量的只有十个因素.4.3.2主成分分析模型的建立在聚类中我们从各个变量之间的相关系数中，我们只采用的是题中所给的数据，并没有再另外收集数据，由于数据收集过窄，造成某些变量之间似乎存在有相同或相反变化趋势的假象,因此我们考虑运用主成分分析，选出几个主要成分对汽车保有量进行预测，避免了多重共性而造成预测偏差的弊端. 根据本文所提供的影响汽车保有量的因素有人均国内生产值，全社会消费零售总额，居民人均可支配收入等十个因素. 针对题中所给的19962008年的数据，利用主成分分析法进行建模分析，具体步骤如下：1、 对各个影响因素的原始数据进行标准化处理设影响汽车保有

23、量的因素分别为，由于各个指标属于不同的数量级，没有统一的标准，所以在进行主成分分析之前，需要对指标数据进行标准化处理，消除量纲，以使得每一个变量的均值都为0，方差为1. 具体处理方法如下：其中即分别为第个指标的样本的均值和样本方差2、 利用标准化后的数据计算相关系数矩阵R 3、 计算相关系数矩R特征值和特征向量，确定主成分具体求解过程：令,可以求得10个特征值，它是主成分的方差，对其从小到大进行排列为其对应的特征向量为则第主成分的表达式为：各个主成分确定指标：所有线性组合中的方差最大原则（方差越大，数据离散程度越大，代表原始数据包含的信息量越大，因而分析越准确）由上述原则确定出为第一主成分，为

24、第二主成分，为第三主成分，以此类推4、 选择个主成分，计算综合评价值 计算题特征值的信息贡献率和累积信息贡献率主成分的信息贡献率: 则当值接近于1（0.85,0.90.0.95）时，则选择前p个指标变量作为主成分，来代替原来的指标变量. 累计贡献率的值越大，表明综合信息能力越强，因此我们把称为的主成分. 取主成分的排序时按特征根取值的大小顺序排列. 在本文中的应用中，取个主成分，且使得累计贡献率尽量高. 计算综合得分在主成分分析的基础上，我们得出了几个主要成分，将原来的12个指标转化成了少量几个指标来预测2010年的汽车保有量. 我们将得出的几个主要成分作为因变量，与最终的汽车保有量间建立多元

25、回归方程，并通过其来预测2010年汽车保有量. ，最小二乘法估计，. 使残差平方和 最小. 由此可以得到求解，. 的标准方程为：借助SPSS计算出，. 最终得到2010年汽车保有量预测值分析得到我们只有1996年至2008年间的影响汽车保有量因素的各项指标值，但要预测2010年的汽车保有量，我们必须得到2009和2010年影响汽车保有量因素的各个指标值，因此我们建立差值拟合模型，通过其拟合出光滑曲线求得2009年和2010年的各项指标值. 根据上述所得的2009年和2010年的影响汽车保有量因素的各个指标值，我们就能够预测出题意要求的2010年汽车保有量. 4.3.3主成分分析模型的求解我们首

26、先借助MATLAB对十个影响因素进行了标准化，将题中所给的原始数据标准化为如下表数据：年份变量1变量2变量3变量4变量5变量6变量7变量8变量9变量101996-1.31-1.16-1.44-0.96-0.97-0.97-1.26-1.69-1.17-1.19991997-1.11-1.12-1.26-0.91-0.84-0.91-1.2-1.21-1.07-0.919631998-0.96-0.96-1.01-0.89-1.09-0.88-1.07-0.94-0.95-0.88461999-0.94-0.89-0.73-0.85-0.67-0.83-0.92-0.87-0.89-0.8320

27、52000-0.54-0.78-0.59-0.83-0.58-0.8-0.7-0.58-0.77-0.52552001-0.41-0.31-0.39-0.56-0.45-0.57-0.5-0.17-0.55-0.385372002-0.26-0.14-0.09-0.56-0.31-0.56-0.070.121-0.24-0.4466820030.1650.1030.4440.09-0.29-0.030.4060.330.106-0.2189620040.460.3490.8080.32-0.20.2950.6680.4690.4410.20144320050.7470.6451.0530.65

28、70.8030.7120.8960.8680.9170.56929620061.0811.0151.341.2271.161.3571.0351.1071.3231.44513720071.5531.3851.551.5651.5231.5721.2611.1991.3611.55023820081.531.8640.3211.7081.9121.6071.4641.3761.4861.64658表格 3 1996年-2008年各指标变量标准化后的值将原始数据进行了标准化处理之后，各指标之间有个统一的标准，既可以通过标准化后的数据分析其主成分. 根据上表标准化后的数据计算相关系数矩阵如下表所示

29、：变量变量1变量2变量3变量4变量5变量6变量7变量8变量9变量10变量110.9880.9190.9810.9550.9790.9870.9760.990.98变量20.98810.8680.9820.9670.9760.9790.9660.9840.975变量30.9190.86810.8680.8070.8780.9320.9320.9220.869变量40.9810.9820.86810.9710.9980.960.9290.9850.985变量50.9550.9670.8070.97110.9730.9220.9080.9570.978变量60.9790.9760.8780.9980

30、.97310.9570.9280.9870.99变量70.9870.9790.9320.960.9220.95710.9820.9870.945变量80.9760.9660.9320.9290.9080.9280.98210.9690.938变量90.990.9840.9220.9850.9570.9870.9870.96910.978变量100.980.9750.8690.9850.9780.990.9450.9380.9781表格 4 标准化后的数据相关系数矩阵根据以上求得的相关系数矩阵计算其特征值和特征向量，并将其从大到小进行排列，确定其主成分. 结果如表所示：主成分特征值方差贡献率%累

31、计贡献率%19.58239256395.8239256395.8239256320.2704961632.70496162698.5288872630.0772878870.77287886899.3017661340.0371153530.37115353199.6729196650.01730581808459778460.0083746080.0837460899.9297239270.0039534620.03953462499.9692585580.0023562640.02356264499.99282119190.0007095410.007095419

32、9.9999166108.34E-068.34E-05100表格 5 相关系数矩阵的特征值和特征向量由上表可以知道,第一，第二，第三主成分的累计贡献率已高达99.3%，说明前三个主成分提供了原始数据的足够信息，通过检验，提取前三个主成分. 故只需要求出第一、第二、第三主成分即可. 计算三个特征值的特征向量，再求出各个变量在主成分上的载荷. 因为这三个主要成分的特征值之和所占的比例（累计贡献率）达到了0.993，所以我们可以忽略其他成分，直接将这三个主要成分来评估所有影响汽车保有量的因素. 要预测2010年的汽车保有量，必须知道2009年影响汽车保有量各个指标的数据，我们用差值拟合法拟合出了一条

33、比较光滑的曲线，并且运用MATLAB预测出了2009年的各个指标值，具体如下所示：年份人均国内生产总值(元)全社会消费品零售总额(亿元)全社会固定资产投资总额(亿元)运营公交车辆数（辆）公交营运总数(亿人次)城市交通干线噪音均值(分贝)200983276.892570.9391380.5678319.38322.5654469.7201087906.792967.5041460.9058837.2424.7226770年份公交车营运总里程(万公里)道路总长(公里)居民人均可支配收入（元）居民储蓄款余额(亿元)汽油(93号)年均价 (元/升)私人汽车保有量(万辆)200973077.83111.

34、07432021.824293.8015.309565201078274.043236.44633028.914612.1335.472174表格 6 2009年和2010年各项指标值从上表中我们可以得到2009年和2010年的各个指标值，但是这些指标值没有统一的标准很难作出准确的预测，因此，我们对其同样采用数据标准化，得到如下标准化后的数据：年份变量1变量2变量3变量4变量5变量6变量7变量8变量9变量102009年1.4131.4541.5071.3461.4411.3081.1781.1911.2890.9652010年1.6311.8491.7091.5571.7111.5161.28

35、41.2821.4960.965表格 7 2009年和2010年各项标准化后的指标值由上表我们得到了2009年和2010年的影响汽车保有量的各个指标值，根据的主成分估计：可以算出主成分估计值，我们借助MATLAB计算得到了回归方程的各个系数分别为：由此得到如下成分回归方程：根据表2中2009年和2010年影响汽车保有量的各个指标值，我们就将这些数据直接代入到上述式子中，就直接求得即我们得出2009年的汽车保有量为121.2928万辆，2010年汽车保有量为136.7788万辆4.4灰色预测模型4.4.1灰色预测模型的理论思想：GM(1,1)模型是基于灰色系统的理论思想，将离散变量连续化，用微分

36、方程代替差分方程，按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近，用生成数序列代替原始时间序列，弱化原始时间序列的随机性，这样可以对变化过程作较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型. 其建模的实质是建立微分方程的系数，将时间序列转化为微分方程，通过灰色微分方程可以建立抽象系统的发展模型.4.4.2灰色预测模型的建立一、数据的检验与处理首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理. 设参考数据为，计算数列的级比如果所有的级比都落在可容覆盖内，则数列可以作为模型的数据进行灰色预测. 否则，需要对数列做必要的交换处理，使其落在可容范围内. 即取适当的

37、常，作平移交换则使数列的级比二、建立过程：GM(1,1)模型是指一阶，一个变量的微分方案预测模型，是一阶单序列的线性动态模型，用于时间序列预测的离散形式的微分方程模型.设时间序列有个观察值，为了使其成为有规律的时间序列数据，对其作一次累加生成运算，即令从而得到新的生成数列，新的生成数列一般近似地服从指数规律. 则生成的离散形式的微分方程具体的形式为即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的. 求解上述微分方程，解为当=1时，即，则可根据上述公式得到离散形式微分方程的具体形式为其中，项中的为的背景值，也称初始值；，是待识别的灰色参数，为发展系数，反映的发展趋势；为灰色作用量，反映数据间的变化关系.

38、 按白化导数定义有显然，当时间密化值定义为1时，当时，则上式可记为这表明是一次累减生成的，因此该式可以改写为当足够小时，变量从到是不会出现突变的，所以取与的平均值作为当足够小时的背景值，即将其值带入式子，整理得由其离散形式可得到如下矩阵：令 称为数据向量，为数据矩阵，为参数向量. 则上式可简化为线性模型：由最小二乘估计方法得上式即为GM(1,1)参数的矩阵辨识算式，式中事实上是数据矩阵的广义逆矩阵. 将求得的，值代入微分方程的解式，则其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得对序列再作累减生成可进行预测. 即上式便是GM(1,1)模型的预测的具体计算式. 或对求导还原得4.

39、4.3灰色预测模型的求解年份1996199719981999200020012002200320042005200620072008私人汽车保有量3.13.64.24.86.79.11318.92951.178.2104128表格 8 1996年2008年的汽车保有量根据题中年份和汽车保有量之间的关系，建立起来的灰色预测模型求解过程如下：第一步数据检验和转换要建立灰色预测模型，我们首先要对所有的级比进行检验，因为灰色预测建立的基础是所有的级比都落在可容覆盖内，通过对数据的分析，通过级比公式并计算出了所有的级比，得出并不是所有的级比都落容覆盖内，因此，我们首先要对所有的原始数进行适当的转换. 原

40、始数据通过分析问你将原始数据每一个都加上150，即可满足数据所有的级比都落容覆盖内，新的数据记为,得到了新的数据：因此利用转换后的新数据就可以利用所建立的灰色预测模型进行对问题的求解. 二、具体求解过程：第1步 构造累加生成序列第2步 构造数据矩阵和数据向量，第3步 计算=第4步 得出预测模型（；）第5步 残差检验(1)根据预测公式，计算，得 (2)累减生成序列，=1,2, ,6原始序列：(3)计算绝对残差和相对残差序列绝对残差序列：相对残差序列：相对残差不超过15%，模型可用且精确度较高. 第6步 进行关联度检验(1) 计算序列与的绝对残差序列(k) (2) 计算关联系数由于只有两个序列（即

41、一个参考序列，一个被比较序列）故不再寻求第二级最小差和最大差. (3) 计算关联度0.77是满足时的检验准则r>0.6的. 第7步 后验差检验计算小残差概率：=0.2746通过公式计算所得的所有都小于，故小残差概率=1，而同时C=0.0414<0.35，故模型合格. 第8步 预测：图 2汽车保有量发的实际值与运用灰色预测模型得到的预测值因为在进行灰色模型求解过程中，我们首先对数据进行了数据转换，所以所得到的结果我们必须对其进行还原，得出2009年的汽车保有量为121.5921万辆，2010年的汽车保有量为138.7746辆4.5BP神经网络模型4.5.1BP神经网络模型的原理BP神

42、经网络模型的构建，首先，我们进行样本的分配：把选取的样本分成两个部分，其中将收入指数和收入指数作为训练样本部分，将每年的销售量作为用来检验模型是否达到了要求实现的模型的基本功能. 其次，我们需要确定BP神经网络模型. 题的分析，可以知道网络有收入，价格两个输入变量，有一个输出为销售量是显然的；以此来确定输入层和输出层的节点个数为2个和1个.而中间的隐层节点数的选取当前大致有两种方法： 一类是静态构造方法：即在网络的权值和阈值更新学习规程中，结构不在改变. 此外开始并不知道网络模型合适的隐层节点数，也不知道在优化网络结构下的合适权值，所以只能凭以往的经验确定网络结构，构造的网络空间很大，训练时间

43、较长；另一类为动态构造法：即输入输出节点数不变，而隐层节点数可以改变，初始时放入足够多的隐层节点，然后逐渐删掉那些不起作用的节点，直道节点不可伸缩为止. 本文采取了第二种方法. 4.5.2BP神经网络模型的建立图 3 神经网络的示意图BP神经网络的数学模型的建立，首先是基于下面的数学知识. 沿信息传播的方向，给出网络的状态方程，用和表示第层第个神经元的输入和输出，网络的各层输入输出关系可以描述为：第一层（输入层）：将输入引入神经网络第二层（隐层）：其中是激发函数，可以取不同形式，如：函数：高斯基函数：以及径向基函数、样条函数、小波函数等，本文采用的是XX函数. 第三层（输出层）：基于文本模型的

44、条件：以上工作便完成了神经网络的基本网络构建. 下一步则需确定网络的学习算法. 学习的基本思想为：通过一定的算法调整网络的权值，使网络的实际输出尽可能的接近期望的输出. 在本网络中，采用误差反传算法来调整权值. 其基本原理为：当网络的输入（即相应影响因素）为，,网络的实际输出为，网络的期望输出（即实际销售额）为. 定义学习的目标函数为：（均方差法）同时BP算法通过下列共识来调整权值，是目标函数最小：（最速下降法）其中为学习率. 其中具体分析每一层神经网络，可以得到：其中基于以下公式，偏差逐步反传：根据MATLAB工具箱进行具体的神经网络模型的建立：下面只对一部分函数进行说明. newff函数功

45、能：生成一个前馈BP神经网络. 其调用格式如下：.其中参量具体解释如下：a) PR是一个由每个输入向量的最大最小值构成的的矩阵；为输入神经元数目；b) 是第i层网络神经的神经元个数（从第一个隐层开始），网络共有层；c) 是第i层网络神经元的变换函数，如前面所取的；d) 是BP训练算法函数，在此选用trainlm；选用trainlm是为了让其有最快的收敛速度. e) 是学习函数，本文用了learndm；f) 是性能函数，本文为mse以上完成了BP神经网络的建立，接着需要确定训练函数. 在MATLAB中通常使用TRAIN函数进行网络的训练. 下面具体完成BP神经网络收费模型的建立与训练：1） 网络

46、建立：通过函数newff实现. 根据样本数据自动确定输入层、输入层的神经元数目，同时自动调整隐藏层神经元数目；根据输入设定确定神经网络隐层层数、隐层及输出层变换函数、训练算法函数. 2） 初始化：通过函数init实现. 在MATLAB中，newff在创建网络对象的同时，自动调用初始化函数INIT. 根据预设的参数对网络进行连接权值和阈值的初始化. 3） 网络训练：通过函数train实现. 根据样本的输入矢量P、目标矢量T，和预先已设置好的训练函数对网络进行训练. 4） 网络仿真：通过函数sim实现. 网络训练完成以后，使用该函数根据已训练好的网络，对测试函数进行，仿真计算. 4.5.3BP神经

47、网络模型的求解基于神经网络的曲线拟合，其根本功能跟普通的函数的曲线拟合方法相同，在其中应用神经网络算法主要是用来解决输入、输出关系复杂，数据随机性较大，常规算法无法达到目的的问题. 神经网络算法与一般的曲线拟合的最大不同是：它是通过权值矩阵的形式来代替原来函数的一维系数，但是系数的根本理论依据与实际意义没有改变，仍然是表征同阶变量在相同变化时对输出结果（因变量）的影响的大小. 所以，可以应用同样的分析方法：利用同阶变量在相同定义域下的系数（权值矩阵的形式），表征其对输出结果影响的大小或制约的程度，来进行复杂问题的分析. 但是为了规范分析过程，应用相关分析、比较理论，还是需要对权值进行处理，将其

48、转化为一维系数的形式. 下面进行具体的分析，作图如下：图 4 汽车保有量的实际值与BP神经网络模型得到的预测值我们通过作图及神经网络函数拟合，我们对BP神经网络模型进行预测得到如下结果：年份实际值（单位：万辆）预测值（单位：万辆）相对误差的绝对值19963.15.805190.8726 19973.64.2664250.1851 19984.21.5501460.6309 19994.80.617630.8713 20006.76.8015870.0152 20019.115.077960.6569 20021310.119980.2215 200318.918.390670.2690 200

49、42929.622010.0214 200551.153.902880.0549 200678.278.484390.0036 2007103.5101.95950.0149 2008128127.5010.0039 2009136.3252010163.8847平均相对误差的绝对值0.2939 表格 9 BP神经网络模型的预测值由表9可以得到利用神经网络模型预测的2009年汽车保有量为136.325万辆，2010年汽车保有量为163.8847万辆，2011年汽车保有量为194.8853万辆. 五、问题二的分析、模型建立与求解5.1 问题二的分析通过对题目中的数据的分析，我们先假设出某地区的汽

50、车废气排放量的值，根据问题一中的预测方法，预测出某年私家车的数量，再利用题目中所给出的公交车运营里程和国III排放标准等数据即可以求得私家车排放量的值，通过与该地区的最大限度废气排放量相比较，来判断是否超出了该限度. 要根据该地区的汽车废气的排放情况，来调控公交车和私家车保有量，因此，我们需要建立各项指标与公交车和私家车保有量的关系，只要实行一项标准就可以根据这项标准来调控公交车和私家车的保有量，进而需要调整小汽车和公交车的壁纸，已达到减少汽车废气排放量的目的. 5.2调控模型5.2.1调控模型的建立题中给出的单位小汽车排放量的污染物比公交车高9倍，私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的

51、五分之一又根据个因素之间关系，可得 由于按照汽车废气国III排放标准（欧III）（要求CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX排放量每公里不超过0.56克，PM排放量每公里不超过0.05克）由此我们通过各因素间的关系分别建立以下三个调控模型； 对于预测值，我们给出下面的标准：1) ，则表明私家车和公交车的排放量未超过最大限度废气排放量，可以适当地增加私家车保有量. 2) ，表明私家车和公交车的排放量等于最大限度废气排放量，私家车保有量达到最大值，不可载增加. 3) ，表明私家车和公交车排放量已经超标，必须调整私家车保有量和公交车数量，以减少废气排放量. 通过以上模型分析，降低各项污染物的排

52、放量只要调整与的比例关系. 5.3.2调控模型的求解通过以上模型分析，降低各项污染物的排放量只要调整与的比例关系. 排放物轻型客车(一辆)汽油（g/km）柴油(g/km)CO1.80.6NO0.30.8HC0.10.2PM00.1表 10 一辆轻型客车的排放物情况则约束条件为：我们根据轻型汽油汽车的排放污染物的数据为例，设，运用LINGO进行求解，得到. 5.3线性规划模型5.3.1线性规划模型的建立根据对题意的分析，我们知道本题的要求是在CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX排放量每公里不超过0.56克，PM排放量每公里不超过0.05克的条件下，根据该地区的汽车废气的排放情况，来来合理

53、的调控公交车和私人汽车保有量. 因此我们可以设置一个指标，来对其进行控制，即通过司机车和公交车排放的最大废气总量来对其进行控制根据废气总量（私人车数量×私人车年公里数×0.2公交车数量×公交车年公里数）×排放量数值通过对数据的分析，我们建立了目标优化模型如下：5.3.2线性规划模型的求解六、模型的评价、改进和推广6.1 模型的评价6.1.1模型的优点问题一的模型优点：Ø 选择的数据的合理性在解决问题一中建立的主成分分析模型中，首先通过MATLAB进行作图分析各个因素，寻找各个指标间与汽车保有量的相关关系以及各个指标之间的相关关系，最终确定噪声对汽车保有量的影响不大，可以忽略，因此去除了噪声的相关数据，使得计算稍有简便Ø