数学模型思想的基本步骤

1、数学模型思想的基本步骤1 分析问题在运用模型思想解决现实问题时，首先应对问题的背景和结构有深刻的了解，为此，必须对该问题进行全面细致的分析，挖掘问题的各种信息，分析问题所涉及的量的关系，把握问题的基本特征。2 简化假设现实问题常常涉及多方面的因素，因此，要想建立一个数学模型来反映一个现实问题，面面俱到、无所不包是不可能的，为便于运用数学方法顺利、有效地解决实际问题，就必须对现实问题进行理想化抽象。根据现实问题的特征和建模的目的，在分析问题基础上，用精确的语言作出假设，对问题实施必要的简化和理想化。3 建立模型根据对现实问题的分析和简化假设，利用适当的数学工具刻画各变量之间的关系，建立相应的数学

2、模型（公式、表格、图形等），这是运用数学模型思想解决现实问题的关键一步。其要点是将错综复杂的现实问题简化、抽象出合理的数学结构，使现实问题中的概念和关系与数学系统中的概念和关系有效对应。4 求解模型求解模型是运用数学方法及计算机技术对所建立的数学模型进行求解，从而获得现实问题的数学模型的数学解。对数学模型求解，一般包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明等等，但不存在万灵的求解方法，要求建模者掌握相应的数学知识和必要的计算手段与技能。5 分析模型由于在建立数学模型时所作的简化假设和所附加的数据测量与计算误差，所建模型的结果未必能满足实际要求，因此，必须对所建模型及其结果进行分析。对模型求出的解进行

3、数学上的分析。这样，就要根据问题的性质与要求对变量间的依赖关系进行分析和对解的稳定性、敏感度及误差进行分析。6 检验模型完成模型的建构及求解分析之后，还需要对模型的真实性，合理性和适用性进行检验。模型只有在被检验、评价、确认基本符合要求之后，才能被接受。7 修改模型一个数学模型被检验后如果不符合实际或与实际的偏差程度不能被接受时，则应采取措施来修改或重建数学模型，然后将修正过或新建立的数学模型再返回到现实原型进行检验，考察其是否符合客观实际，若不符合，再进行修正或重新建模，直至获得符合现实问题的数学模型。8 应用模型数学模型的应用价值取决于其是否具有广泛的适用性，因此应推广所建立的数学模型，扩

4、大数学模型的应用范围，以提高其使用价值。模型应用就是将所建立的数学建模用于分析、解释已有的现象，预测未来的发展趋势，研究和解决其它现实问题。由于数学模型的建立一般是在一定的假设条件下完成的，因此，数学模型的应用也有一定的适用条件和范围，不能将模型盲目地运用于与条件、范围不相符的问题。数学模型思想的各步骤之间有着密切的联系，是一个统一的整体，不能截然分开。然而，在实际的数学建模过程中并非都必须严格经过上述这些步骤，通常各个步骤之间的界限也并不那么明显，上述步骤往往相互交融。在建模过程中应灵活运用。下面通过一例说明数学模型思想的基本步骤。数学模型思想的教学建议由于小学生所掌握数学知识与手段的限制，

5、不可能进行狭义的、原汁原味的数学建模教学，因此，小学数学教学应始终贯彻渗透数学模型思想的策略，应将数学建模教学有机融入小学数学内容教学之中。数学课程标准倡导以“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展（反思）”作为小学数学课程的一种基本表述模式，并已在教材中体现出按这一模式编写内容。数学是模式的科学，学数学就是学习模型化的过程。数学家布克说过：“模型化是数学中的一个基本概念，它处于所有数学应用之心脏，也处于某些最抽象的纯数学的核心之中”。所谓“模型化”就是将原本复杂的、具有现实背景的或多样化表现形式的问题本质化、简洁化、一般化，并最终以数学符号、语言、关系式等形式表达出来。小学数学中的所有内容都是

6、现实世界中数与形及其关系抽象的产物，都是反映一些事物共性的数学模型。在小学数学课程中，“模型”主要表现为概念、法则、公式、性质、数量关系等。在小学数学教学中，有意识地引导学生建立数学模型化的意识，培养学生构建“数学模型”的能力，是提高学生数学素质的一条重要途径。传统数学教学其实并没有也不可能回避 “数学模型”，而只是过分强调了教师在建立模型中的作用，学生所关注的是如何理解、记忆和应用模型。新课程强调由学生在问题情境中主动探索、构建数学模型。在教材发生重大变革的今天，教师应当认识到，引导学生构建数学模型的过程既是“数学化”的过程，又是思维训练的过程，是提升学生发现数学、“创造”数学、运用数学的能

7、力和素养的有效途径。小学数学教学中应实施“模型化”的数学教学模式，在“模型化”教学实施过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、猜测、尝试、解释、合作与交流等数学活动来实现，学生在其中要经历复杂的数学思维过程，在此过程中，学生不仅可以获得建构数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法，同时，学生在将思维过程用语言、符号外化为“模型”的过程中发展思维能力和数学意识。在小学数学教学中渗透数学模型思想，应注重从数学概念类模型的建立、数学规则类模型的建立、数学应用题教学中渗透模型化方法等方面事实。1 数学概念类模型的建立数学概念是数学知识的基石，主要表现为数学语言中的名词、术语、符号等的准确含义。由于数学

8、概念了反映客观现实中数学关系的本质属性，因而，每一个数学概念都是数学模型，并且每个概念都是建立其他数学模型的材料。因此，概念类模型的建立是渗透数学模型思想、实施“模型化”数学教学模式的基本形式和基础。由于小学生以形象思维为主，知识的形成大多以实物图、形象图作蓝本，因此，小学阶段构建概念类数学模型应当从具体到抽象，抓住某事物（ 研究对象）的一个（类）本质属性，舍弃其它属性，从而获得较原事物更为一般的概念模型。数学概念类模型建立的教学一般包括如下几个环节：（1）感知具体对象。教师引导学生关注具有典型意义的日常生活中的数学现象或已有知识中的数学活动经验与数学事实，使学生对这些具体对象进行充分的感知活

9、动（观察、操作、体验等）。例如，教学“乘法”概念，教师在引导学生观察2+2、3+3、1+3+6等算式后，组织学生进行“算一算”“分分类”等活动。（2）尝试建立表象。学生已对学习对象建立整体的初步认识，对其基本属性形成大致的“映像”，但其认识中往往包含非本质的属性。因此，教师可以以“请你也写几个这样的算式”“说说这些算式有哪些共同点，哪些算式不具有这样的共同点？”等问题引导学生思考，以建立关于概念的表象。（3）抽象本质属性。教师要引导学生通过比较、分析、综合、归纳等思维活动，复合表象，将本质属性抽取出来，构成同类对象本质的关键特征。教师可让学生“同学间交流这些算式的规律”、“想一想，再说一说，这

10、些算式可以由哪几个因素决定”，以帮助学生思考，从而将“乘法“概念的本质属性抽取出来。（4）语言、符号表征。对学习对象属性的关键特征尝试用语言或符号进行概括与表征，从而获得概念。比如，教师可引导学生将“相同加数的连加式”用“相同加数×相同加数的个数”的方式简便地表示，建立起“乘法”概念模型。（5）概念内化。教师要帮助学生深入理解概念的内涵与外延，在运用与推广概念的过程中修正对概念的理解。比如，在建立起“乘法”概念模型后，教师可以继续让学生思考和回答下列问题：“在乘法的定义中，你认为哪几个词最重要？”、“乘法与加法有什么联系与区别？”、“下列算式中哪些可以用乘法表示？为什么？12+12+

11、12，2+2+2+1，”。2 规则类模型的建立数学规则是运算、推理与论证的依据，其主要表现为法则、定理、公式、性质等。根据小学生的思维发展水平，规则的提炼过程应以合情推理为主。构建规则类模型的方式通常包括如下几个环节：（1）提供事例。规则类模型的建立中，首先要为学生提供学生所熟悉的有利于发现规则的具体例证。例证的选择和呈现方式会影响学生的学习态度、思维深度和规则发现的难易度。例如，在“20以内进位加法”算法中的“凑十法”这一规则类模型的建立过程中，教师可以作如下引导：（出示图：盒子有10个格子，放了9个球，盒外有3个球）“说说这附图告诉我们什么？”、“你知道一共有几个球吗？怎么知道的？”、“写

12、出算式”。（2）探索例证。由于规则是以非演绎的方式获得的，为了支持学生的思维活动，教师应组织学生对具体例证进行探索与交流。比如，“你有什么好办法让别人知道一共有几个球？说说你的操作过程。”“如果盒内有8个球，又可以怎么放？”（出示图）“你发现了什么？”。（3）发现规则。学生经过观察、探索、运演，由直观到抽象，由个别到一般等逐步发现事物间的关系或规律，经归纳、猜测、验证，用简练、准确的数学语言（含符号表示）表达出来，形成规则（模型）。应结合对例证的探索，逐级抽象概括。考虑到儿童的抽象概括能力较弱，通常用多级抽象方式，从例证中抽象规则。教师可这样帮助学生：“将刚才操作球的过程用算式表示出来。”（教

13、师引导学生边说球的操作过程，边建立反映思考过程的直观的算式模型）“说说算式中的1和2是指哪几个球，3个球为什么要分为1个和2个？10表示什么？12呢？”，、“不说球，根据算式直接说说你是怎么加的”、“要算8+5，又可以怎么说。”、“用自己的话说说，一位数加一位数进位加可以怎么算？”（教师引导抽象成“看大数，拆小数，先凑十，再加几。”）从而完成从物理模型到直观的数学模型再到抽象的数学模型的建构过程。3 在解决应用题中渗透数学模型方法小学数学中的每一个应用题其实都是客观原型，而解题列式则可以看作是抽象成一个数学模型的过程，只是有些应用题所属类型已经抽象成数学模型，解题的过程就是将已知数量关系纳入数

14、学模型，进而求解数学模型的过程，这一类应用题称为典型应用题。典型应用题具有固定的数学关系和解法。例如，归总问题、倍比问题、求平均数问题、行程问题（相遇问题、追击问题）、工程问题等均属典型应用题。例如，“从甲地到乙地的铁路长596千米，一列快车从甲地开出，同时一列慢车从乙地开出，两车相向而行，快车平均每小时行100千米，慢车每小时行49千米，问经过几小时两车相遇？”就是一个典型的行程（相遇）问题，具有固定的数学模型（数量关系）：总路程=速度和×相遇时间，。在讲解这些典型应用题时，应着重引导学生分析题目中主要的数量关系，看其属于哪类典型问题的数学模型，然后用已知的数学模型加以解决。在典型

15、应用题教学中，渗透模型化方法，可使学生更清楚地掌握客观原型和数学模型中的数量关系的对应性，防止学生在没有理解的基础上死套公式的机械学习方法，同时有助于学生从模型的角度认识问题，树立模型意识。有些应用题没有现成的数学模型可以套用，必须深入分析数量关系，重新建立数学模型或者综合应用某些数学模型的变式来解决问题。这些应用题可称为综合应用题。这类问题通常需要将几个数学模型结合起来形成一个新的数学模型，或是将某些已知的数学模型加以变形、修正，才能充当解决该应用题的特定数学模型。例如，“甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人，三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，已知

16、甲车每小时行24千米，乙车每小时行20千米，问丙车每小时行多少千米？”就是一个比较复杂的追击问题，其数量关系较为复杂。解决这一问题并非有某一现成的数学模型可以直接解决，需要综合运用“速度=路程÷时间”、“路程=速度×时间”、“追击路程=速度差×追击时间”这三个模型才能解决，其中，第二个模型是第一个模型的变形，而第三个模型则可以看作是对第二个模型的修正，因为：追击路程=追者路程-被追者路程=追者速度×时间-被追者速度×时间=（追者速度-被追者速度）×时间=速度差×追击时间。在解决综合应用题时应着重引导学生分析题目的主要数学关系

17、与哪几个已知数学模型所反映的数量关系类似，不同点在哪里；如何综合应用或修正它们，使之成为解答该应用题的新的或综合性的数学模型。如此，可以使学生了解建立模型的方法，能够有效地渗透数学模型思想。由于数学模型是在舍弃了研究对象的非本质属性基础上提炼抽象出来的，往往具有较强的统摄性和广泛的适用性。因此，往往能够运用于表面上看起来不同的很多问题。如果在解决数学应用问题的过程中，灵活活运用“ 数学模型”，不但有助于问题的解决，而且有助于使学生深刻领会所学知识。此外，在小学数学解题中应注意通过构造“模型”解决问题。比如，在解决数学应用问题时，恰当地运用“示意图”这种数学模型，往往有助于对问题结构的分析，从而

18、有利于问题的解决。事实上，由于“示意图”抽取了现实问题中的数量，并用简单图形表达了这些数量之间的关系，从而为解答现实问题建造 了一座“桥”，这座桥是小学生进行数学思维所赖以进行的“思维之 桥”，它将内蕴于数学应用问题中的复杂数量关系的最本质特征以直观形象的形式清晰地凸现出来，符合小学生习惯于形象思维的心理特点。示意图有很多种，小学阶段通常采用模拟图、直观图、点子图、线段图、矩形图、集合（ 韦恩）图等，其中，线段图应用频率最高。在小学数学教学中，应该从低年级起就给学生创造各种机会，运用实物材料和图画展示等手段引导学生关注事件、形体、图样和数据中的规律性，使其感觉到模式是处处存在的，使其有意识地关注模式、识别模式、寻找模式并运用计量、图形、关系等数学语言和符号表示它们，使其理解数学是如何应用到他们生活世界中的，体会到建立模型、研究模型、应用模型是数学的本质。教师应从数学知识的现实原型出发，引导学生通过观察、分析、概括、抽象，获得数学概念、公式、定理、法则等模型。教师在引导学生探索发现数学模型时应注意以