第4机械能守恒定律ppt课件

1、第第4 机械能守恒定律机械能守恒定律 1 力的功力的功 动能定理动能定理 2 一对内力作功之和一对内力作功之和 3 保守保守(内内)力的功与相应的势能力的功与相应的势能 4 机械能守恒定律机械能守恒定律1 力的功力的功 动能定理动能定理 一、力的功一、力的功 二、二、 质点运动的动能定理质点运动的动能定理 三、三、 质点系的动能定理质点系的动能定理一、力的功一、力的功 1. 恒力作用恒力作用 直线运动直线运动cosSFASFArFAFSr作用物体的位移作用物体的位移2.普通运动普通运动 变力作用变力作用 曲线运动曲线运动元功元功sfAddabfsd)()(basfAd)()(barfAd讨论讨

2、论1A是标量是标量 反映了能量的变化反映了能量的变化正负：取决于力与位移的夹角正负：取决于力与位移的夹角 摩擦力作功一定是负的吗？摩擦力作功一定是负的吗？0d,900ooW0d,18090ooW0dd90oWrF(1) (1) 功的正、负功的正、负讨论讨论(2) (2) 作功的图示作功的图示cosF1s2ssdsosFAssdcos213功是一个过程量，与途径有关功是一个过程量，与途径有关4合力的功，等于各分力的功的代数和合力的功，等于各分力的功的代数和）（zddddzyBAxBAFyFxFrFAxFABAxxxxdzAAAAyxkFjFiFFzyxkj yi xrzddddyFABAyyyy

3、dzzzdBAzzFA2021一质点在几个力同时作用下位移为一质点在几个力同时作用下位移为r=4i-5j+6k,其中一个其中一个力为恒力力为恒力F=-3i-5j+9k,那么此力在该位移中所作的功那么此力在该位移中所作的功A -67J B17JC 67J D91J 功的单位焦耳功的单位焦耳tAP 平均功率平均功率 瞬时功率瞬时功率vFtWtAPtddlim0cosvFP 功率的单位功率的单位 瓦特瓦特W10kW131sJ1W1mN1J12功是过程量功是过程量 3功的计算中应留意的问题功的计算中应留意的问题1)质点问题质点问题iiiiisfAiLdabsd1f2fsfbaiid )()()(iL)

4、()(baiisFAAd合对质点对质点:各力作功之和等于合力作的功各力作功之和等于合力作的功中学时似乎熟视无睹中学时似乎熟视无睹思索：思索：写这个写这个等号的等号的条件？条件？2)质点系问题质点系问题iiLiiisfAid Liisfd)(?1m2m1L2L对问号的解释：对问号的解释：普通的讨论：普通的讨论：如图，两个质点走的途径不同。如图，两个质点走的途径不同。那么，各质点的元位移那么，各质点的元位移nssssdddd321故不能用一个共同的元位移故不能用一个共同的元位移sd来替代。来替代。所以在计算功的过程中特别要分清研讨对象所以在计算功的过程中特别要分清研讨对象对质点有：对质点有：)()

5、(baiisFAAd合即，各力作功之和等于合力作的功。即，各力作功之和等于合力作的功。但对质点系：写不出像质点那样的简单式子，但对质点系：写不出像质点那样的简单式子，即，各力作功之和不一定等于合力的功。即，各力作功之和不一定等于合力的功。5.一质点在几个力同时作用下位移为一质点在几个力同时作用下位移为r=4i-5j+6k,其中一个力其中一个力为恒力为恒力F=-3i-4j+5k,那么此力在该位移中所作的功那么此力在该位移中所作的功A -67J B17JC 67J D91J 例例 1一质量为一质量为 m 的小球的小球竖直落入水中，竖直落入水中， 刚接触水面时刚接触水面时其速率为其速率为 设此球在水

6、中所设此球在水中所受的浮力与重力相等，水的阻受的浮力与重力相等，水的阻力为力为 , b 为一常量为一常量. 求阻力对球作的功与时间的函求阻力对球作的功与时间的函数关系数关系0v vbFr0vxo解建立如右图所示的坐标系解建立如右图所示的坐标系xbrFAddv又由又由 2 - 4 节例节例 5 知知tmbe0vvtbAttmb020de2v) 1(e21220tmbAmv0vxotbttxbdddd2vv例例1 如图，程度桌面上有质点如图，程度桌面上有质点 m ，桌面的摩，桌面的摩擦系数为擦系数为 求：两种情况下摩擦力作的功求：两种情况下摩擦力作的功 rfAbarabd圆弧mRab sfbard

7、 Rmg RmgrfAbarab2d直径1沿圆弧；沿圆弧；2沿直径沿直径解：解：rfrd)()(barsfd二、二、 质点运动的动能定理质点运动的动能定理rFAdd思绪：与推导动量定理和角动量定理一样，思绪：与推导动量定理和角动量定理一样，依然由牛顿第二定律出发。依然由牛顿第二定律出发。牛顿力学中定义质点动能为牛顿力学中定义质点动能为rtmdddd m221mEK一种推导：一种推导：元功元功将牛顿第二将牛顿第二定律代入定律代入ddmAd ddcosdddddd dmbadmAAba)()(d222121abmmKEA推导推导dd 质点运动的动能定理质点运动的动能定理ddcos我们应该学会或说习

8、惯我们应该学会或说习惯于这种普通性的推导。于这种普通性的推导。 例例 2 一质量为一质量为1.0 kg 的小的小球系在长为球系在长为1.0 m 细绳下端，绳细绳下端，绳的上端固定在天花板上起初的上端固定在天花板上起初把绳子放在与竖直线成把绳子放在与竖直线成 角角处，然后放手使小球沿圆弧下处，然后放手使小球沿圆弧下落试求绳与竖直线成落试求绳与竖直线成 角角时小球的速率时小球的速率o30o10vdl0PTFsdsPsFsFAddddT解解 )cos(cos0 mglcosddmglsPdsinmgl0dsinmglAvdl0PTFsd)cos(cos0 mglA由动能定理由动能定理2022121v

9、vmmW得得)cos(cos20glv1sm53. 1kg0 .1mm0 . 1lo030o10vdl0PTFsd4、长为1 m的细线，上端固定，下端悬挂质量为2 kg的小球今将小球拉到悬线与竖直方向成45角的位置，然后无初速地把小球释放求悬线与竖直方向成10角时，小球的速度v解：重力的功：Wmgl( cosfcos45) ,根据动能定理有：所以当f10时， v2.33 m/s (亦可用功能原理求解)45cos(cos212mglmv)45cos(cos2glv B C A T C O gm l 45 B 一链条总长为L，质量为m放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦因数

10、为，令链条从静止开场运动，求：1到链条分开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？2链条分开桌面时的速率是多少？例l - xxOxf()/Fmg lxl解链条与桌面摩擦fd()dFrllFaamgAlxxl摩擦力做功221()()22lamgmglxxlall 1坐标选取如图2f2201122GFAAAmmvv整个链条的动能定理00v212GFAAmv22()dd2llGaamgmg laAmx xllgr桌面外部分链条重力做功2222()()1222mg lamg lamllv代入功能原理12222()()glalalv得到明确区分问题中a与x表达的含义；绳分开桌面时，下端坐标为l。注一个弹簧

11、下端挂质量为0.1 kg的砝码时长度为0.07 m，挂0.2 kg的砝码时长度为0.09 m如今把此弹簧平放在光滑桌面上，并要沿程度方向从长度 l1=0.10 m缓慢拉长到l2=0.14 m，外力需作功多少？解：设弹簧的原长为l0，弹簧的劲度系数为k，根据胡克定律： 0.1gk(0.07l0) ，0.2gk(0.09l0) 解得：l00.05 m，k49 N/m拉力所作的功等于弹性势能的增量： 22p2p1201011W=E -E =()()0.1422k llk llJ2一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为令链条由静止开场运

12、动，那么(1)到链条刚分开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ (2)链条刚分开桌面时的速率是多少？ a la 质点系质点系 N个质点组成的系统个质点组成的系统- 研讨对象研讨对象内力内力 internal force 系统内部各质点间的相互作用力系统内部各质点间的相互作用力质点系质点系 特点：特点： 成对出现；成对出现； 大小相等方向相反大小相等方向相反结论：质点系的内力之和为零结论：质点系的内力之和为零0iif质点系中的重要结论之一质点系中的重要结论之一三、三、 质点系的动能定理质点系的动能定理iiiiiiAAA内外2022121iiiiiimmKEAA内外思索：为什么内力之和一定为零，

13、而思索：为什么内力之和一定为零，而 内力作功之和不一定为零呢？内力作功之和不一定为零呢？1 内力也会改动系统的总动能内力也会改动系统的总动能 2 质点系的三个运动定理各司其职质点系的三个运动定理各司其职 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理 动能定理动能定理KEAA内外讨论讨论PtFttd21外LtMttd21外KEAA内外灵敏的头脑灵敏的头脑 应应 灵敏地运用灵敏地运用 运动定理运动定理iiLiiisfAid Liisfd)(?3 保守保守(内内)力的功与相应的势能力的功与相应的势能 一、保守力的定义一、保守力的定义 二、势能二、势能rermmGF2(1) (1) 万有引力作功万有引力作功

14、一一 万有引力和弹性力作功的特点万有引力和弹性力作功的特点 对对 的万有引力为的万有引力为mmm挪动挪动 时，时， 作元功为作元功为 FrdrFWddrermmGrd2rrrdrdmmABArBrBArrrrmmGWd2rrererrdcosdd)11(ABrrmmGWBArrermmGrFWdd2m从A到B的过程中作功：作功： FrrrdrdmmABArBrikxFxFxo(2) (2) 弹性力作功弹性力作功2121ddxxxxxkxxFW)2121(2122kxkx FPxkxWdd2121ddxxxxxkxxFW)2121(2122kxkx xFdxdWx2x1O 重力作功重力作功222

15、121baabkxkxAahbh地面地面baabmghmghAbaabrMmGrMmGA弹性力的功弹性力的功 万有引力的功万有引力的功222121baabkxkxAkmoxaxbx)()(baabrMmGrMmGAMmabfarbr共同特征：共同特征：作功与相对途径无关，作功与相对途径无关，只与始末只与始末( (相对相对) )位置有关位置有关 具有这种特征的力具有这种特征的力严厉说是一对力严厉说是一对力 称为保守力称为保守力 保守力保守力conservative force定义有两种表述定义有两种表述 表述一文字表达：表述一文字表达： 作功与途径无关作功与途径无关,只与始末位置有关的力只与始末

16、位置有关的力 称为保守力称为保守力 表述二数学表示表述二数学表示 ：0rfLd保保守力的环流为零。保守力的环流为零。描画矢量场根本性质的方程方式描画矢量场根本性质的方程方式rfLd保Lab12abbarfrf21dd保保rfrfbabadd21保保= 0通常：通常：0Llfdld普遍意义：普遍意义：环流为零的力场是保守场，环流为零的力场是保守场，如静电场力的环流也是零，如静电场力的环流也是零，所以静电场也是保守场。所以静电场也是保守场。证明第二种表述：证明第二种表述：0rfLd保环流不为零的环流不为零的矢量场是非保矢量场是非保守场，如磁场。守场，如磁场。二、势能二、势能1.定义定义 令令 Pb

17、PabaEElfAd保保假设选末态为势能零假设选末态为势能零点点PEA保即即rfEaPad势能参考点保)(2.常见的势能函数常见的势能函数地面为势能零点地面为势能零点末态为势能零点末态为势能零点mghEP1)重力势能重力势能2)弹性势能弹性势能221kxEP以弹簧原长为以弹簧原长为势能零点势能零点3)万有引力势能万有引力势能rMmGEP以无限远为以无限远为势能零点势能零点pEzOzmgE p 3.势能曲线势能曲线弹性势能曲线弹性势能曲线0, 0pEx重力势能曲线重力势能曲线0, 0pEz引力势能曲线引力势能曲线0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp1只需保守力才有相应的势能只需保

18、守力才有相应的势能2势能属于有保守力作用的体系质点系势能属于有保守力作用的体系质点系 (对应一对内力作功之和对应一对内力作功之和)3 势能与参考系无关势能与参考系无关(相对位移相对位移)4质点系的内力质点系的内力 保守内力保守内力 (作功与途径无关作功与途径无关) 非保守内力非保守内力 (作功与途径有关作功与途径有关) 耗散力耗散力讨论讨论4 机械能守恒定律机械能守恒定律一、质点系的功能关系一、质点系的功能关系二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律一、质点系的功能关系一、质点系的功能关系 质点系动能定理的变形质点系动能定理的变形KEAAA非保保外质点系的动能定理质点系的动能定理PKEEAA非保外

19、EAA非保内外PEA保PKEEE机械能机械能功能关系功能关系二、二、 机械能守恒定律机械能守恒定律00非保内外AA0EiiiPghmE质点系重力势能的计算质点系重力势能的计算mc势能零点势能零点chiiihmgmhmhiiiccPmghE imih例：均质细棒的重力势能例：均质细棒的重力势能ol总长总长m总质量总质量势能零点势能零点lhc21c2mglEP 时势能？时势能？地面附近地面附近引见逃逸速度与黑洞引见逃逸速度与黑洞逃逸速度：物体脱离引力所需求的最小速率逃逸速度：物体脱离引力所需求的最小速率以脱离地球的引力为例以脱离地球的引力为例以无限远作为势能零点以无限远作为势能零点021)(212

20、2mRMmGmeRGMe2假设假设ce黑洞黑洞引力作用下塌陷引力作用下塌陷当当m m一定时一定时202cGMR 收缩到收缩到视界半径视界半径广义相对论广义相对论想象想象1)把地球变成黑洞把地球变成黑洞1622411201031098. 51067. 622cGMRmm86. 82)把太阳变成黑洞把太阳变成黑洞1623011201031099. 11067. 622cGMRm31095. 23)引力实际：引力实际：转化为黑洞的只能是质转化为黑洞的只能是质量满足一定条件的恒星量满足一定条件的恒星mm7 . 2太阳的太阳的质量质量白矮星白矮星遗憾遗憾？ 由于引力特大，由于引力特大，以致于其发出的光子

21、及擦过其旁的任以致于其发出的光子及擦过其旁的任何物质都被吸收回去，所以看不到它何物质都被吸收回去，所以看不到它发出的光，顾名思义称其为黑洞。发出的光，顾名思义称其为黑洞。黑洞黑洞(black hole)(black hole)： 掉入黑洞的一切信息掉入黑洞的一切信息都丧失了，唯有质量、电荷或磁都丧失了，唯有质量、电荷或磁荷、角动量没有被吃掉。荷、角动量没有被吃掉。黑洞无毛定理：黑洞无毛定理：黑洞上黑洞上黑洞下黑洞下3-4 碰碰 撞撞一、碰撞景象一、碰撞景象 碰撞可分为两类碰撞可分为两类: 一类是总动能不变的碰撞一类是总动能不变的碰撞, 称为完全弹性碰撞；一类是总动能改动的碰撞称为完全弹性碰撞；

22、一类是总动能改动的碰撞, 称为非完全弹性碰撞。假设两个物体碰撞之后称为非完全弹性碰撞。假设两个物体碰撞之后结合为一体了结合为一体了, 这种碰撞称为完全非弹性碰撞。这种碰撞称为完全非弹性碰撞。 二、完全弹性碰撞二、完全弹性碰撞两小球质量分别为两小球质量分别为m1和和m2, 碰前速度为碰前速度为 和和 , 碰后速度为碰后速度为 和和 。1v2v1u2u根据动量守恒定律得根据动量守恒定律得22112211+=+umumvmvm根据能量守恒定律得根据能量守恒定律得22221211212222121121+=+umumvmvm假设碰撞为正碰假设碰撞为正碰, ,那么那么有有22112211+=+umumv

23、mvm式除以得式除以得1221=uuvv-由、解得由、解得假假设设21= mm那么那么有有1221=,=vuvu两物体速度交换两物体速度交换2212121211)+2(+)+(=vmmmvmmmmu-2211212112)+(+)+2(=vmmmmvmmmu-三、完全非弹性碰撞三、完全非弹性碰撞根据动量守恒定律得根据动量守恒定律得ummvmvm)+(=+212211所以所以212211+=mmvmvmu 例 ：如下图的安装称为冲击摆, 可用它来测定子弹的速度。质量为M的木块被悬挂在长度为l的细绳下端, 一质量为m的子弹沿程度方向以速度v射中木块, 并停留在其中。木块遭到冲击而向斜上方摆动, 当

24、到达最高位置时, 木块的程度位移为s。试确定子弹的速度。 Mlvs解：根据动量守恒定律得解：根据动量守恒定律得uMmmv)+(=根据机械能守恒定律得根据机械能守恒定律得ghMmuMm)+(=)+(212由图知由图知22=sllh-解以上三方程的联立方程组得解以上三方程的联立方程组得)(2+=22sllgmMmv- 例例 2 一轻弹簧一轻弹簧, 其一其一端系在铅直放置的圆环的端系在铅直放置的圆环的顶点顶点P，另一端系一质量为，另一端系一质量为m 的小球的小球, 小球穿过圆环小球穿过圆环并在环上运动并在环上运动(=0)开场开场球静止于点球静止于点 A, 弹簧处于自弹簧处于自然形状，其长为环半径然形

25、状，其长为环半径R; 30oPBRA当球运动到环的底端点当球运动到环的底端点B时，球对环没有压时，球对环没有压力求弹簧的劲度系数力求弹簧的劲度系数 解解 以弹簧、小球和以弹簧、小球和地球为一系统地球为一系统BA只需保守内力做功只需保守内力做功系统系统ABEE 即即)30sin2(2121o22mgRkRmBvRmmgkRB2v又又Rmgk2所以所以取点取点B为重力势能零点为重力势能零点0pE30oPBRA5一质量为m的子弹，程度射入悬挂着的静止砂袋中，如下图砂袋质量为M，悬线长为l，为使砂袋能在竖直平面内完成整个圆周运动，子弹至少应以多大的速度射入？ m M l O 02220v() ()()

26、v /11 ()V() 2()v22 v() 5/mmM VmM gmMlmMmM g LmMmMgl m解：动量守恒：越过最高点条件机械能守恒解上面三式，可得3、在光滑的程度面上，有一根原长l0 = 0.6 m ，劲度系数k = 8 N/m的弹性绳，绳的一端系着一个质量m = 0.2 kg的小球B，另一端固定在程度面上的A点最初弹性绳是松弛的，小球B的位置及速度如下图在以后的运动中当小球B的速率为v时，它与A点的间隔最大，且弹性绳长l = 0.8 m，求此时的速率v及初速率v0。 A B d 0.4 m 30 0v 3解：重力、支持力、绳中张力对A点的力矩之和为零，故小球对A点的角动量守恒当

27、B与A间隔最大时，B的速度应与绳垂直故有 0v sin30v (1)mdml 由机械能守恒有 22200111vv() (2)222mmk ll由式(1)得v = v0 /4 代入(2)式得 20016 ()v1.306 /150.327/k llm smvm sF(2)物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5cm即即0.05m，此时弹簧的净伸长为，此时弹簧的净伸长为 l=x0-0.05=0.196-0.05=0.146m 弹簧对物体的拉力弹簧对物体的拉力 F=kl=2000.146=29.2N(3) 5cm是振幅之半，物体从平衡位置到振幅之半所需最短时间是是振幅之半，物体从平衡位置到振幅之半所

28、需最短时间是 例如图，劲度系数为例如图，劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上，另一端衔接一质量为的弹簧一端固定在墙上，另一端衔接一质量为M的的容器，容器可在光滑程度面上运动当弹簧未变形时容器位于容器，容器可在光滑程度面上运动当弹簧未变形时容器位于O处，处，今使容器自今使容器自O点左侧点左侧l0处从静止开场运动，每经过处从静止开场运动，每经过O点一次时，从上点一次时，从上方滴管中滴入一质量为方滴管中滴入一质量为m的油滴，求：的油滴，求： (1) 容器中滴入容器中滴入n滴以后，容器运动到距滴以后，容器运动到距O点的最远间隔；点的最远间隔； (2) 容器滴入第容器滴入第(n+1)滴与第滴与第n滴的时间间隔滴的时间间隔Mxl0O解：解：(1) 容器中每滴入一油滴的前后，程度方向动量值不变，而且在容器容器中每滴入一油滴的前后，程度方向动量值不变，而且在容器回到回到O点滴入下一油滴前，点滴入下一油滴前， 程度方向动量的大小与刚滴入上一油滴后程度方向动量的大小与刚滴入上一油滴后的瞬间后的一样。依此，设容器第一次过的瞬间后