等差数列前n项和.

1、2.3 等差数列的前n项和1.1.通过教学使学生理解等差数列的前通过教学使学生理解等差数列的前n n项和公式的项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题推导过程，并能用公式解决简单的问题. .( (重点）重点）2.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想的运用体会方程的思想（难点）（难点）高斯高斯(17771855(17771855） 德国著名数学家德国著名数学家1+2+3+98+99+100=1+2+3+98+99+100=？ 高斯高斯1010

2、岁时曾很快算出这一结岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？果，如何算的呢？1+2+3+100=?带着这个问题，我们进入本节课的学习！带着这个问题，我们进入本节课的学习！下面来看下面来看1+2+3+98+99+1001+2+3+98+99+100的高斯算法的高斯算法. .设设S S100100=1 + 2 + 3 +98+99+100=1 + 2 + 3 +98+99+100 反序反序S S100100=100+99+98+ 3+ 2 + 1=100+99+98+ 3+ 2 + 1+ + + + + + +作作加加法法+ + + + + + +作作加加法法多少个多少个101 ?101 ?10010

3、0个个1011012S100=101+101+101+101+101+101/ / / / / + + + + + + +作作加加法法探究点探究点1 1：等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式所以所以S S100100= =(1+100)(1+100)100100？首首项项尾尾项项？总总和和？项项数数这就是等差这就是等差数列前数列前n n项和项和的公式！的公式！=5 050=5 050121()2nnn aaS 1(2） + +得：得：2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+(a)+(a3 3+a+an-2n-2)+)+(+(a an

4、 n+a+a1 1). ). 以下证明以下证明aan n 是等差数列，是等差数列，S Sn n是其前是其前n n项和，则项和，则证：证：S Sn n= a= a1 1+ a+ a2 2 + a+ a3 3 + + +a +an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n, ,即即S Sn n= =a a1 1, ,an+ a+ a2 2 + +a+an-1n-1+ +a a3 3a an-2n-2+ + +. .1()2nnn aaS 2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a1 1+a+an n)+ )+ +(a+(a1 1+a+an n) ) 多少个(a1+an) ?共

5、有共有n n个个(a1+an) 由等差数列的性质：由等差数列的性质：当当m+n=p+qm+n=p+q时，时，a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q 知：知：a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2= = =a an n+a+a1 1，所以所以式可化为：式可化为：= n n(a(a1 1+a+an n).).这种求和的这种求和的方法叫倒序方法叫倒序相加法！相加法！因此，因此，. .1()2nnn aaS 探究点探究点2 2：等差数列的前等差数列的前n n项和公式的其他形式项和公式的其他形式（1)2nnn aaS 1(1)naa

6、nd （11)2nn nSnad 1,22ddAB a 2nSAnBn例例1 20001 2000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在中小关于在中小学实施学实施 “ “校校通校校通”工程的通知工程的通知. .某市据此提出某市据此提出了实施了实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网网. .据测算，据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经工程的经费为费为500500万元万元. .为了保证工程的顺利实施，计划每为了保证工程

7、的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加年投入的资金都比上一年增加5050万元万元. .那么从那么从20012001年起的未来年起的未来1010年内，该市在年内，该市在“校校通校校通”工程中的工程中的总投入是多少？总投入是多少？解：解：根据题意，从根据题意，从2001200120102010年，该市每年投入年，该市每年投入“校校校校通通” 工程的经费都比上一年增加工程的经费都比上一年增加5050万元万元. .所以，可以建所以，可以建立一个等差数列立一个等差数列aan n ，表示从，表示从20012001年起各年投入的资金，年起各年投入的资金，其中，其中， 1 1a a = =5 50 00

8、 0, ,d d = =5 50 0. . 1 10 0那那么么，到到2 20 01 10 0年年（n n = =1 10 0），投投入入的的金金1 10 0 （1 10 0- -1 1）S S= =1 10 05 50 00 0+ +5 50 0 = =7 7 2 25 50 0（万万元元）. .2 2资资总总额额为为从从该该总总2 20 00 01 12 20 01 10 0年年，市市在在“校校校校通通”工工程程中中的的投投入入是是7 7 2 2答答：5 50 0万万元元. .本题的设计意图：本题的设计意图： 培养学生的阅读能力，引导学生从中提取有培养学生的阅读能力，引导学生从中提取有效信

9、息效信息. .通过对生活实际问题的解决，让学生体通过对生活实际问题的解决，让学生体会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们学会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们学习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识解习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合，决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合，对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈. .例例2 2 已知一个等差数列已知一个等差数列 前前1010项的和是项的和是310310，前，前2020项项的和是的和是1 220.1 220.由这些条件能确定这个等差数列的前由这些条件

10、能确定这个等差数列的前n n项项和的公式吗？和的公式吗？ na分析：分析：将已知条件代入等差数列前将已知条件代入等差数列前n n项和的公式后，可项和的公式后，可得到两个关于得到两个关于 与与d d的二元一次方程，由此可以求得的二元一次方程，由此可以求得与与d d，从而得到所求前，从而得到所求前n n项和的公式项和的公式. .1a1a 10201020n1n11 11 1由由意意知知S=310，S=310，S=1 220,S=1 220,n（n（n-1）n-1）它它代代入入公公式式S = na +d，S = na +d，2 210a +410a +4解解：5d =310，5d =310，得得到到

11、20a +190d =1 220.20a +190d =1 220.题题将将们们 1 11 12 2n n解解于于a a 与与d d的的方方程程，得得到到a a = = 4 4，d d = = 6 6, , n n（n n- -1 1）所所以以S S = = 4 4n n+ +6 6= =3 3n n + +n n. .2 2这这个个关关组组技巧方法：技巧方法：此例题的目的是建立等差数列前此例题的目的是建立等差数列前n n项和与方程组之间的联系项和与方程组之间的联系. .已知几已知几个量，通过解方程组，得出其余的个量，通过解方程组，得出其余的未知量未知量. .让我们归让我们归纳一下！纳一下！

12、2132.例例 已已知知数数列列的的前前 项项和和为为，求求这这个个数数列列的的通通项项公公式式 这这个个数数列列是是等等差差数数列列吗吗？如如果果是是，它它的的首首项项与与公公差差分分别别是是什什么么？nnanSnnn12n-1nn12n-1nn-112n-1n-112n-1根根据据S = a +a +a+a 与S = a +a +a+a 与解解S= a +a +a （S= a +a +a （：n 1）n 1），nnn-1nnn-12222可可知知，n 1，n 1，a = S -Sa = S -S111111= n +n-（= n +n-（n-1）n-1）+ （+ （n-1）n-1）= 2n

13、-.= 2n-.222222当当时时 2 21 11 1n nn nn nn n = =1 1，1 13 3 a a = = S S = =1 1 + + 1 1= =，也也足足上上式式. .2 22 21 1所所以以列列 a a的的通通公公式式a a = = 2 2n n- -. .2 23 3由由此此可可知知，列列 a a是是一一首首，公公差差2 2的的等等差差列列. .2 2当当时时满满数数项项为为数数个个项项为为为为数数这这个个例例题题给给出出了了等等差差数数列列通通项项公公式式的的另另一一个个求求法法（n=1n=1） , ,已已知知前前 项项和和，可可求求出出通通项项（n2n2）这这

14、种种用用数数列列的的公公式式来来确确定定的的方方法法对对于于任任何何数数列列都都是是可可行行的的，而而且且还还要要注注意意 不不一一定定满满足足由由求求出出的的通通项项表表达达式式，所所以以最最后后要要验验证证首首项项 是是否否满满足足已已求求出出巧巧的的技技方方法法：11111. .nnnnnnnnnnSnSaSSSaaSSaaa 1.1.（20162016全国高考）全国高考）已知等差数列已知等差数列 a an n前前9项的项的和为和为27， ，则，则 （ ）（A）100（B）99（C）98（D）97分析：分析：利用等差数列的前利用等差数列的前n n项和公式及通项公式求项和公式及通项公式求出

15、首项及公差，选出首项及公差，选c.c.1.1.（20132013安徽高考）设安徽高考）设S Sn n为等差数列为等差数列a an n的前的前n n项和，项和，8374 ,2Sa a，则，则a a9 9= =（ ）A.-6 B.-4 C.-2 D.2A.-6 B.-4 C.-2 D.2分析：分析：利用等差数列的前利用等差数列的前n n项和公式及通项公式求项和公式及通项公式求出首项及公差出首项及公差. .8311718 7484 (2 ),2622 Saadadaad由110,2ad91810 166aad解析：解析：选选A.A.由由联立解得联立解得，所以，所以. . 根根据据下下列列条条件件，求求相相应应的的等等差差数数列列的的前前n n项项和和1102.(1)5,95,10.nnaSaan1 10 01 10 0 ( (5 5+ +9 95 5) )S S= = =：2 2解解5 50 00 0. .1(2)100,2,50.adn 50505050 （50-1)50-1)S=50S=50 100+100+ (-2)= 2 (-2)= 2 解解2 2：550.550.1(3)14