微专题数列中的新定义问题PPT课件

1、20172017 近年来，数列中的新定义问题是高考的近年来，数列中的新定义问题是高考的热点热点，也是能力考，也是能力考查的新题型查的新题型. .数列中的新定义问题不但可以考查对数列知识的数列中的新定义问题不但可以考查对数列知识的理解与掌握程度，还能考查创新能力和探索能力理解与掌握程度，还能考查创新能力和探索能力. .对于新定义对于新定义问题，需要选择有效的方法分析信息，灵活运用所学的知识解问题，需要选择有效的方法分析信息，灵活运用所学的知识解决问题决问题. .1.等和数列等和数列定义：把满足定义：把满足an+an-1=k（n2，k为常数）的数列叫做为常数）的数列叫做等和等和数列，数列，常数常数

2、k叫做数列的公和叫做数列的公和. 若等和数列若等和数列an的首项为的首项为1，公和为，公和为3，其前，其前n项和项和Sn= .解解: 根据根据等和等和数列的定义以及数列的定义以及k=3，得，得an=3-an-1.因为因为a1=1，所以，所以a2=2，a3=1，a4=2，即即n为奇数时，为奇数时，an=1；n为偶数时，为偶数时，an=2.;23212nnSnn为偶数时，当【总结】等和数列的本质是【总结】等和数列的本质是奇数项奇数项和和偶数项偶数项分别由两组分别由两组常数列常数列构成，是一个构成，是一个摆动数列摆动数列. 掌握这一特点，求通项、求和等问题就可迎刃而解了掌握这一特点，求通项、求和等问

3、题就可迎刃而解了.-213121311nnSSnnn为奇数时，当2.等比和数列等比和数列若数列若数列an对任意的正整数对任意的正整数n，都有，都有 (k为常数为常数)，则称，则称数列数列an为为等比和等比和数列，常数数列，常数k叫做数列的叫做数列的公比和公比和.已知等比和数列已知等比和数列an中，中，a1=1，a2=2，k=3，则，则a2020= .kaaaannnn112解解: :设设 ，则，则bn+1+bn=3. b2=1，b3=2，b4=1，n为奇数时，为奇数时，bn=2； n为偶数时，为偶数时，bn=1.即即n为奇数时，为奇数时，an+1=2an；n为偶数时，为偶数时，an+1=an.

4、nnnaab1，2121aab2.等比和数列等比和数列当当n为奇数时，为奇数时，an+1=2an；n为偶数时，为偶数时，an+1=an.a1=1，a2=2a1=2 ，a3=a2=2 ，a4=2a3=22，a5=a4=22，a6=2a5=23，a7=a6=23，a8=2a7=24，a9=a8=24，a2020=21010.【总结】等比和数列的解题比等和数列多了一步构造，【总结】等比和数列的解题比等和数列多了一步构造，奇数项奇数项和和偶数项偶数项由原来的两组常数列变成由原来的两组常数列变成两组等比数列两组等比数列，虽然还是分奇偶，虽然还是分奇偶研究的，但是实质没变研究的，但是实质没变.3.等积数列

5、等积数列若数列若数列an对任意的正整数对任意的正整数n，都有，都有anan+1an+2=k (k为常数为常数)，则称，则称数列数列an为为等积等积数列，常数数列，常数k叫做数列的叫做数列的公积公积.若等积数列若等积数列an中中a1=1，a2=2，k=8，则，则a1+a2+a99= .解：解：由题设得由题设得anan+1an+2=8 ，an+1an+2an+3=8, 两式两式相除相除得得an+3=an.所以所以an是一个是一个周期为周期为3的周期数列的周期数列.因为因为a1=1，a2=2，所以，所以a3=4，所以所以a1+a2+a99=33(a1+a2+a3)=337=231.【总结】这里的等积

6、数列给的是连续三项的积为同一个常数，若给出的是【总结】这里的等积数列给的是连续三项的积为同一个常数，若给出的是连续两项的积为同一个常数（即连续两项的积为同一个常数（即anan+1=k），则与等和数列如出一辙），则与等和数列如出一辙.这里用这里用连续三项构造出一个周期数列，利用一个周期内的几项和为定值，可求出连续三项构造出一个周期数列，利用一个周期内的几项和为定值，可求出特定的前特定的前n项和项和.4.等方差数列等方差数列在数列在数列an中，若中，若 ，则称，则称an为为等方差等方差数列数列. 下面对等方差数列的判断：下面对等方差数列的判断：若若an是等方差数列，则是等方差数列，则 是等方差数列

7、；是等方差数列；(-1)n是等方差数列；是等方差数列；若若an是等方差数列，则是等方差数列，则akn(kN*,k为常数为常数)是等方差数列；是等方差数列；若若an是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列;其中其中正确正确命题的序号是命题的序号是 .为常数pNnnpaann,2212解：解：对于，对于，若若an是等方差数列，则是等方差数列，则 是常数是常数p，但但 不一定是常数，不一定是常数，故不正确故不正确;212nnaa4.等方差数列等方差数列在数列在数列an中，若中，若 ，则称，则称an为为等方差等方差数列数列. 下面对等方差数列的判断：下面

8、对等方差数列的判断：若若an是等方差数列，则是等方差数列，则 是等方差数列；是等方差数列；(-1)n是等方差数列；是等方差数列；若若an是等方差数列，则是等方差数列，则akn(kN*,k为常数为常数)是等方差数列；是等方差数列；若若an是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列;其中其中正确正确命题的序号是命题的序号是 .解：解：对于，因为对于，因为(-1)n2-(-1)n-12=1-1=0，所以所以(-1)n是等方差数列，故正确是等方差数列，故正确;为常数pNnnpaann,22124.等方差数列等方差数列在数列在数列an中，若中，若 ，则称，则

9、称an为为等方差等方差数列数列. 下面对等方差数列的判断：下面对等方差数列的判断：若若an是等方差数列，则是等方差数列，则 是等方差数列；是等方差数列；(-1)n是等方差数列；是等方差数列；若若an是等方差数列，则是等方差数列，则akn(kN*,k为常数为常数)是等方差数列；是等方差数列；若若an是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列;其中其中正确正确命题的序号是命题的序号是 .,pknaapnaaknn11212212故数列的定义可得解：对于，由等方差;确是等方差数列，故正故是常数，knnkknakppkknapknaaa112121212为

10、常数pNnnpaann,22124.等方差数列等方差数列在数列在数列an中，若中，若 ，则称，则称an为为等方差等方差数列数列. 下面对等方差数列的判断：下面对等方差数列的判断：若若an是等方差数列，则是等方差数列，则 是等方差数列；是等方差数列；(-1)n是等方差数列；是等方差数列；若若an是等方差数列，则是等方差数列，则akn(kN*,k为常数为常数)是等方差数列；是等方差数列；若若an是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列;其中其中正确正确命题的序号是命题的序号是 .解：解：对于，对于，若若an是等差数列，设公差为是等差数列，设公差为d，

11、则，则an=a1+(n-1)d.从而从而 =a1+(n-1)d2-a1+(n-2)d2=2a1d+(2n-3)d2.因为因为an是等方差数列，则上式为是等方差数列，则上式为常数常数，故，故d=0，所以该数列为常数列，故正确所以该数列为常数列，故正确.212nnaa为常数pNnnpaann,22124.等方差数列等方差数列在数列在数列an中，若中，若 ，则称，则称an为为等方差等方差数列数列. 下面对等方差数列的判断：下面对等方差数列的判断：若若an是等方差数列，则是等方差数列，则 是等方差数列；是等方差数列；(-1)n是等方差数列；是等方差数列；若若an是等方差数列，则是等方差数列，则akn(

12、kN*,k为常数为常数)是等方差数列；是等方差数列；若若an是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列;其中其中正确正确命题的序号是命题的序号是 .为常数pNnnpaann,22125.二阶二阶等差数列等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列常数，那么这个数列就叫做等差数列.如果一个数列从第二项起，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的每一项与它前一项的差组成的新数列是等差数列差组成的新数列是等差数列，则称这个数列，则称这个数列为为二阶等

13、差数列二阶等差数列. 例如数列例如数列1,3,9,19,33，它的每一项与前一项，它的每一项与前一项的差组成的新数列是的差组成的新数列是2,6,10,14，这是一个公差为，这是一个公差为4的等差数列，的等差数列，所以数列所以数列1,3,9,19,33，是一个二阶等差数列是一个二阶等差数列.那么，请问二阶等差数列那么，请问二阶等差数列1,3,7,13，的第，的第100项是项是 .解解：3-1=2, 7-3=4, 13-7=6，由此得出相邻两项之差依次大，由此得出相邻两项之差依次大2，即即an+1-an=2n,a100=(a100-a99)+(a99-a98)+(a98-a97)+(a3-a2)+

14、(a2-a1)+a1=299+298+297+22+21+1=2(99+98+97+2+1)+1=9901.6.接龙等差接龙等差(比比)数列数列若数列若数列an中，中，a1,a2,ak; ak,ak+1,a2k; a2k,a2k+1,a3k; 依次够成依次够成等差等差(比比)数列，称该数列为接龙等差数列，称该数列为接龙等差(比比)数列数列.该数列是由一系列该数列是由一系列等差等差(比比)数列首尾顺序连接而成的，前一个数列的末项是后一个数列首尾顺序连接而成的，前一个数列的末项是后一个数列的首项数列的首项.数列数列an中，中，a1=1,a1,a2,a10成公差为成公差为1的等差数列；的等差数列；a

15、10,a11,a20成公差为成公差为d的等差数列；的等差数列；a10n,a10n+1,a10n+10成公差为成公差为dn的等差的等差数列（数列（nN*，d0）.(1)若若a20=80，求，求d；(2)设设bn=a10n，求，求bn.(1)(1)解：解：an是一个接龙等差数列，是一个接龙等差数列，a1=1，a10=a1+91=10， a20=a10+10d=10+10d=80，解得解得d=7.6.接龙等差接龙等差(比比)数列数列数列数列an中，中，a1=1,a1,a2,a10成公差为成公差为1的等差数列；的等差数列；a10,a11,a20成公差为成公差为d的等差数列；的等差数列；a10n,a10

16、n+1,a10n+10成公差为成公差为dn的等差的等差数列（数列（nN*，d0）.(2)设设bn=a10n，求，求bn.(2)(2)解：解：a10=b1=10，a20=a10+10d，a30=a20+10d2，a40=a30+10d3， a10n=a10(n-1)+10d(n-1), 即即bn=bn-1+10d(n-1),（n2）当当n2，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(bn-2-bn-3)+(b2-b1)+b1 =10d(n-1)+10d(n-2)+10d(n-3)+10d+10 =10d(n-1)+d(n-2)+d(n-3)+d+1 当当d=1，bn=10n； 当当d1

17、，bn=当当n=1，b1=10也适合上式也适合上式.ddn1110.,111010110ddddnbnn，.,111111qqqaqnaSnn7.对称对称数列数列如果有穷数列如果有穷数列a1,a2,a3,am满足条件满足条件a1=am,a2=am-1,a3=am-2,am=a1,即即ai=am-i+1(i=1,2,3,m，m2，mN),称其为对称数列称其为对称数列.（1）设）设bn是是7项的项的“对称数列对称数列”，其中，其中b1,b2,b3,b4是等差数列，是等差数列，且且b1=2，b4=11，请依次写出，请依次写出bn的每一项的每一项.（2）设）设cn是项数为是项数为2k-1(k1)的的“

18、对称数列对称数列”，且，且ck,ck+1,c2k-1是是首项为首项为50，公差为，公差为-4的等差数列，的等差数列，cn的前的前2k-1项和为项和为S2k-1，请问，请问当当k为何值时，为何值时，S2k-1取到最大值？最大值为多少？取到最大值？最大值为多少？（3）设）设pn是是100项的项的“对称数列对称数列”，其中，其中p51, p52, p100是首项为是首项为2，公差为公差为3的等差数列，求的等差数列，求pn的前的前n项和项和Sn.7.对称对称数列数列如果有穷数列如果有穷数列a1,a2,a3,am满足条件满足条件a1=am,a2=am-1,a3=am-2,am=a1,即即ai=am-i+

19、1(i=1,2,3,m，m2，mN),称其为对称数列称其为对称数列.（1）设）设bn是是7项的项的“对称数列对称数列”，其中，其中b1,b2,b3,b4是等差数列，是等差数列，且且b1=2，b4=11，请依次写出，请依次写出bn的每一项的每一项.（1）解：解：因为因为b1,b2,b3,b4是等差数列，设其公差为是等差数列，设其公差为d，则则b4=b1+3d，即，即11=2+3d，解得，解得d=3，b2=b1+d=5，b3=b1+2d=8，所以数列所以数列bn为为2,5,8,11,8,5,2.7.对称对称数列数列如果有穷数列如果有穷数列a1,a2,a3,am满足条件满足条件a1=am,a2=am

20、-1,a3=am-2,am=a1,即即ai=am-i+1(i=1,2,3,m，m2，mN),称其为对称数列称其为对称数列.（2）设）设cn是项数为是项数为2k-1(k1)的的“对称数列对称数列”，且，且ck,ck+1,c2k-1是是首项为首项为50，公差为，公差为-4的等差数列，的等差数列，cn的前的前2k-1项和为项和为S2k-1，请问，请问当当k为何值时，为何值时，S2k-1取到最大值？最大值为多少？取到最大值？最大值为多少？（2）解：解：S2k-1=c1+c2+ck-1+ck+ck+1+ck+2+c2k-1=2(ck+ck+1+ck+2+c2k-1)-ck=250k-2k(k-1)-50

21、=-4(k-13)2+626当当k=13，S2k-1取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为626.dnnnaSn2117.对称对称数列数列如果有穷数列如果有穷数列a1,a2,a3,am满足条件满足条件a1=am,a2=am-1,a3=am-2,am=a1,即即ai=am-i+1(i=1,2,3,m，m2，mN),称其为对称数列称其为对称数列.（3）设）设pn是是100项的项的“对称数列对称数列”，其中，其中p51, p52, p100是首项为是首项为2，公差为公差为3的等差数列，求的等差数列，求pn的前的前n项和项和Sn.（3）解：解：p51=2，p100=p51+493=149，由题意得由

22、题意得p1, p2, p50是首项为是首项为149，公差，公差d= -3的等差数列的等差数列.,nnnnndnnnppppSnnn230123123149215012121当.,7500229923251322503775250377510051251525150nnnnppnpppSSnnnn当.,10051750022992350123012322nnnnnnSn；因此8.三角形三角形数列数列定义：若数列定义：若数列an的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称则称an为为“三角形三角形”数列数列.对于对于“三角形三角形”数列数列an，如果函数

23、，如果函数y=f(x)使得使得bn=f(an)仍为一个仍为一个“三角形三角形”数列，则称数列，则称y=f(x)是数列是数列an的的“保三角形函数保三角形函数”(nN*).(1)已知数列已知数列an是首项为是首项为2，公差为，公差为1的等差数列，若的等差数列，若f(x)=kx(k1)是数列是数列an的的“保三角形函数保三角形函数”，求，求k的取值范围的取值范围;(2)已知数列已知数列bn的首项为的首项为2010，Sn是数列是数列bn的前的前n项和，且满足项和，且满足4Sn+1-3Sn=8040，证明，证明bn是是“三角形三角形”数列数列.8.三角形三角形数列数列定义：若数列定义：若数列an的任意

24、连续三项均能构成一个三角形的三边长，的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称则称an为为“三角形三角形”数列数列.对于对于“三角形三角形”数列数列an，如果函数，如果函数y=f(x)使得使得bn=f(an)仍为一个仍为一个“三角形三角形”数列，则称数列，则称y=f(x)是数列是数列an的的“保三角形函数保三角形函数”(nN*).(1)已知数列已知数列an是首项为是首项为2，公差为，公差为1的等差数列，若的等差数列，若f(x)=kx(k1)是数列是数列an的的“保三角形函数保三角形函数”，求，求k的取值范围的取值范围;(1)解：解：an=n+1，对任意，对任意nN*，都有，都有an+an+

25、1an+2成立，成立，即即an是三角形数列是三角形数列.k1，所以，所以f(x)=kx在在R上单调递增，上单调递增，f(an)f(an+1)f(an+2)，又又f(x)=kx是是an的的“保三角形函数保三角形函数”，f(an)+f(an+1)f(an+2)，即即kn+1+kn+2kn+3,即即k2-k-10，1k.2518.三角形三角形数列数列(2)已知数列已知数列bn的首项为的首项为2010，Sn是数列是数列bn的前的前n项和，且满足项和，且满足4Sn+1-3Sn=8040，证明，证明bn是是“三角形三角形”数列数列.(2)证明：证明：由由4Sn+1-3Sn=8040，得，得4Sn-3Sn-

26、1=8040，n2.两式相减得两式相减得4bn+1=3bn，n2 . 由已知得由已知得4b2=6030=3b1.所以所以4bn+1=3bn，故，故bn是以是以 为公比，为公比，2010为首项的等比数列为首项的等比数列.43,1432010nnbbnbn+1bn+2，,11121432010162143201016943432010432010 nnnnnnbbbn+1+bn+2bn， 故故bn是是“三角形三角形”数列数列.【总结】本题需充分理解题意，准确把握【总结】本题需充分理解题意，准确把握“三角形三角形”数列的实质，数列的实质，运用所学过的知识即三角形两边之和大于第三边，构建不等式运用所学

27、过的知识即三角形两边之和大于第三边，构建不等式. .9.期待期待数列数列称满足以下两个条件的有穷数列称满足以下两个条件的有穷数列a1,a2,an为为n(n2,nN)阶阶“期期待数列待数列”：a1+a2+a3+an=0;|a1|+|a2|+|a3|+|an|=1.（1）若数列）若数列an的通项公式为的通项公式为 试判断数列试判断数列an是否为是否为2020阶阶“期待数列期待数列”，并说明理由；，并说明理由；（2）若等比数列）若等比数列bn为为2k(kN*)阶阶“期待数列期待数列”，求公比，求公比q及数及数列列bn的通项公式；的通项公式；（3）若一个等差数列）若一个等差数列cn既是既是2k(kN*

28、)阶阶“期待数列期待数列”，又是递，又是递增数列，求该数列的通项公式增数列，求该数列的通项公式.,sin20202121220201nnan9.期待期待数列数列称满足以下两个条件的有穷数列称满足以下两个条件的有穷数列a1,a2,an为为n(n2,nN)阶阶“期期待数列待数列”：a1+a2+a3+an=0;|a1|+|a2|+|a3|+|an|=1.（1）若数列）若数列an的通项公式为的通项公式为 试判断数列试判断数列an是否为是否为2020阶阶“期待数列期待数列”，并说明理由；，并说明理由；,sin20202121220201nnan（1）解：解：为偶数，为奇数nnan,2020120201a

29、1+a2+a3+a2019+a2020=(a1+a2)+(a3+a4)+(a2019+a2020)=0,|a1|+|a2|+|a3|+|a2020|=, 1202020201数列数列an为为2020阶阶“期待数列期待数列”.9.期待期待数列数列称满足以下两个条件的有穷数列称满足以下两个条件的有穷数列a1,a2,an为为n(n2,nN)阶阶“期期待数列待数列”：a1+a2+a3+an=0;|a1|+|a2|+|a3|+|an|=1.（2）若等比数列）若等比数列bn为为2k(kN*)阶阶“期待数列期待数列”，求公比，求公比q及数及数列列bn的通项公式；的通项公式；（2）解：解：若若q=1，b1+b

30、2+b3+b2k=2kb1=0，所以所以b1=0，矛盾矛盾.若若q1，b1+b2+b3+b2k= ，得，得q= -1.|b1|+|b2|+|b3|+|b2k|=2k|b1|=1，所以，所以|b1|= .01121qqbkk21 .,knkbkbnnnn2211211211，或者9.期待期待数列数列称满足以下两个条件的有穷数列称满足以下两个条件的有穷数列a1,a2,an为为n(n2,nN)阶阶“期待期待数列数列”：a1+a2+a3+an=0;|a1|+|a2|+|a3|+|an|=1.（3）若一个等差数列）若一个等差数列cn既是既是2k(kN*)阶阶“期待数列期待数列”，又是递增，又是递增数列，

31、求该数列的通项公式数列，求该数列的通项公式.（3）解：解：设设cn的公差为的公差为d，d0.c1+c2+c3+c2k-1+c2k=0，c1+c2k=c2+c2k-1=ck+ck+1=0，ck0，ck+10,|c1|+c2|+|c3|+|c2k|= -(c1+c2+c3+ck)+(ck+1+ck+2+ck+3+c2k)=1，c1+c2+c3+ck= ,ck+1+ck+2+ck+3+c2k= ，两式相减得两式相减得k2d=1，d= 2121.21k.2112122121kkcdkkkc，得由.,Nkknkknknkkdnccn，通项公式23212122112121222110.生成生成数列数列对于数列对于数列An:A1,A2,A3,An，若不改变，若不改变A1，仅改变，仅改变A2,A3,An中中部分部分项的符号，得到的新数列项的符号，得到的新数列an称为称为An的一个生成数列的一个生成数列.比如比如仅改变数列仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1,-2,-3,4,5. 已知数列已知数列an为数列为数列 (nN*)的生成数列，的生成数列，Sn为为an的前的前n项和项和.(1)写出写出S3的所有可能值；的所有可能值；(2)若生成数列若生成数列an满足满足 ，求，求an的通项公式的通项公式.n