随机变量的方差和标准差实用教案

1、(3) 若随机变量(su j bin lin)X1 , X2 , Xm两两独立，则mmXXXXXXDDDD2121)(4) 对于任意(rny)常数C，有 22)()(CXXXXEEED例4.9 设随机变量(su j bin lin)X的概率密度为 22 22e , 0( ) 0 0 xaxxf xax若；， 若，(1) 求随机变量Y = 1/X的数学期望EY；(2) 求随机变量X的数学期望EX和方差DX 第1页/共9页第一页，共9页。解 (1) 随机变量Y = 1/X的数学(shxu)期望： 2222 222201111( )ded ed2xxaaYf xxxxXxaa EE22 221ed

2、222 xaxaaa(2) 随机变量(su j bin lin)X的数学期望： 22222222222000edeedxxxaaaxXxxxa E22221ed222xaaxaa；第2页/共9页第二页，共9页。2222223222222000ede2edxxxaaaxXxxxxa E22222222222002ed2e22xxaaxaaaa ；22222(4)22aaXXXaDEE例4.10 设随机变量X和Y相互(xingh)独立，证明，若DX,DY存在，则DXYDXDY 第3页/共9页第三页，共9页。证明(zhngmng) 事实上，有 2222222()() ()XYX YXYXYXYDEE

3、EEEE2222() () () ()XXYYXYDEDEEE22()()XYXYYXXYDDEDEDDD ，其中(qzhng) 0)()(22XYYXDEDE第4页/共9页第四页，共9页。二、切贝绍夫不等式 设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对于任意(rny)0，事件|XEX|的概率有如下估计式切贝绍夫不等式： 221E E XXXXXXDPDP或证明(zhngmng) (1) 设X是非负离散型随机变量，其一切可能值为Xi，则对于任意0，有 iixXXXXxE PE P221()iixXXXXxE EP 2221(),iixXXXXxD EP第5页/共9页第五页，共9页。其中前两个和式表

4、示(biosh)对于满足| xi EX|的X 的一切可能值xi求和，后一个和式表示(biosh)对于X 的一切可能值xi求和 (2) 设X 是连续型随机变量(su j bin lin)，其概率密度为f (x)，则 222|d)()(1d)( | XxxfXxxxfXxXxDEEPE例4.11 设随机变量X的数学(shxu)期望为，方差为 ，则由切贝绍夫不等式，有2第6页/共9页第六页，共9页。89. 09113 33XXPP然而(rn r)，假如 ),(2NX则利用(lyng)附表1，可得9974. 03| 3| 33XXXPPP例4.12 对于(duy)任意非负随机变量X和0任意，证明不等式 XXEP证明 (1) 设X是离散型随机变量，其一切可能值为xi，则 第7页/共9页第七页，共9页。1iiiixxXXxXx PP P11 iiiixiixxXxxXxXPPE(2) 设X是连续型随机变量(su j bin lin)，其概率密度为f(x)，则 d