[理学]第四章 n 维向量空间ppt课件

1、第四章 n维向量空间第一节第一节 n n维向量的概念维向量的概念第二节第二节 向量的线性表示与线性相关向量的线性表示与线性相关第三节第三节 等价向量组等价向量组第四节第四节 线性方程组的构造线性方程组的构造第五节第五节 向量空间的子空间向量空间的子空间由上一节知道统称：统称：n维向量维向量n n个数构成的有序数组个数构成的有序数组12,Tnaaa 1行向量列向量(1n矩阵) (n矩阵)第一节第一节 n n维向量的概念维向量的概念1212,TTnnb bb 向量和相等对应分量都相等1iibin222,Tnnbbb和:的 120,0,0,TTn零向量负向量向量称为的 - -112,k,Tnkkkk

2、向量数与数乘 1 ; 2:; 3; 4; 5 1; 6; 7 OOk lklkkk 加法交换律:加法结合律 向向量量加加法法和和向向量量与与数数的的数数乘乘运运算算规规律律 : : 8klkl nnnR维实向量 所有 空间维实向量的集合称为。 定4.记为义11212 ,TnnnR 为实数 nnnC所有维复向量的集合称为。向量空间记为维复12n12n ,z,zTnCz zz z为复数向量的线性表示向量的线性表示1212 ,4,.2mmnk kk设都是 维向量， 定 若存在数使得义 , , , ,1122 mmkkk1212,mm称可由或线性表示线性的合称组是 第二节 向量的线性表示与线性相关12

3、3412123344 = -3,2,0,5,(1,0,0,0) ,(0,1,0,0) ,(0,0,1,0) ,(0,0,0,1) .,205TTTTTeeeee eeeeeee 例向量可由线性表示：=-31 1221212(1,0,0),(0,1,0),(0,0, , 1) nnnnex ex exeenxexx 一般地，对任意 维向量向向 量量 线线 性性 表表 示示 与与 线线 性性 方方 程程 组组 的的 关关 系系11 1121112212221121 1222221211nnm2 , mmmmnnnmmnmna xxxbxxxbxxxb给定具有 个变量的 个线性方程组成的方程组记 1

4、2122n22m11n, bmmmmbxxx1b方程组写成：m()(,)()( (1) ,)rankrankrankrankm12m12m12m12m12m12m1 (1)向量可由向量线性表示 的充要条件是： (2)向量定可由向量地线 性表示的充要条件是： 可理4.1惟量一由向证：, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1212, (), ()mmTmx xxAXAXxxx xxx2mmm121m122线性表示存在 个数，使得 方程组 有解其中, , , , , , , , , , ,1122,( )( ) (2) , ()(,)(), ()

5、 mmAArank Arank Amx xxAXAxxxrankrank1212m1m2mm1212mm1212矩阵即：可由向量线性表示存在 个惟一的数，使得 方惟程组 有惟一一解 其中地 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,), ()( )( ) ()()()(,), TXx xxAArank Arank Amrankrankmm12mmm12m12m1212矩阵即：, , , , , , , , , , , , , , , , 123441231234123 (1,2, 3,1) ,(5, 5,12,11) (1, 3,6,3) ,(2

6、, 1,3,4)1512151225310311312630000111340000()(4.2TTTTrankrank设问：是否可由，线性表例解：示？，12344123)23，可由，线性表示, 但表示式子不惟一向量的线性相关与线性无关1212 :0, 4k.30 mmmnAk kkkkA12m12设有 维向量组如果存一组不全为 的数 ，使称向义量组定得, , , , , 线线性性相相关关1212k 00mmmkkkkkA12仅当时成立称向量组线线性性无无关关 1 4.2定理仅仅含含一一个个向向量量 的的向向量量组组线线性性相相关关 = 0 2 含含有有零零向向量量的的向向量量组组线线性性相相

7、关关 3至少 向向量量组组线线性性相相关关有有一一个个向向量量可可由由其其他他 向向量量线线性性表表示示 4 部部分分向向量量向向量量组组向向线线性性相相关关线线性性相相关关线线性性无无量量组组任任意意部部分分向向量量关关线线性性无无关关1212122,m,0mmmmk kkkk1证（3）：若向量线性相关，则存在不全为0 的 个数使得 k 12121110,mmkkkkk 不妨设于是 可用向量组的其它向量线性表示。122 mmcc反之，若12210mmcc12,m则线性相关 1121211222121211212, 0 , ,0,0 0,0,00mmkkkkkkkkmkmc ccc ccccc

8、ccc(4): 若向量组，中部分向量 ，线性相关则存在+不全为 的数使得则不全为零证 向向量量组组线线性性相相关关12, ,.m反之 若线性无关, 如果它有某一个部分 向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关,所以,. 它它的的任任意意一一个个部部分分向向量量组组也也必必线线性性无无关关引起矛盾1211221212112212 , (,), (, ,)mmmmmmmmxxxOrankrmxxxOrankm定理4.3 向量组线性相关方程有非零解 向量组线性无关方程只有零解证：由齐次方程组是否有非零解的充要条件可证。 推论 1212121 ,det,0det,0nnn 线性 无线性相关关 12

9、 2,mmnn 当时, 维向量组必定线性相关证明(2)121212,mmmnranknm矩阵只有 行 它的秩 所以向量组线性相关 1212121212121122 ,4.40mmmmmmmmnpnc ccccc设 维向量组线性相关，是矩阵，则向量组 也线性相关；反之，若向量组线性无关， 则向量组线性无关：若线性相关 则存在不全为零的数使 定理证 AAAAAAA11220mmccc两 边 左 乘 矩 阵 A1122 0mmcccAAA12,m线性相关AAA121212(,),mmmAAA若线性相关线性相关 引起矛盾反之，若线性无关，原向量组也必线性无关 AAA11,1121,22111,2111

10、222212 , , , , 1 TrnTrnTmrrmmrmrmnmaaaaaaaaaaaan则这，推论（些向量的个，成若的）组向量维维向向量量组组线线性性相相关关前前r分r分量量 r nrr, 任取则可表示成的线性组合，即存在一组数C使得ran (k矩阵(1121122,),),) , (,),)mrmrrrOOOrankOrO rank(rank(所以，121212222 rank rank,(1), ,),),rirmrirmirrankArinkrmra 1111 充分性。已知：线性无关， 且对任意线性相关， ( , , , ,1 1可可知知A A 是是A A的的最最大大线线性性无无

11、关关组组 1212:,1 rank2( ),4.7mmrank Arrank A11 设有向量组则 的任意包含 个向量的线性无关部分 向量组都是 的任意包含相同个数的向量。：(1) 设向量组A 含有A中任意r个线性无关向量, 则(组构成的矩阵定理4.8。证）由定明理知，是 的A , , , , AAArr极极大大线线性性无无关关组组极极大大极极大大线线性性线线性性无无关关组组无无关关组组. .12rankmr(2) 因为 的任意最大线性无关组都恰好包含= 个向量.A , ,例:求向量组的极大无关组.) 1, 1 , 4(),1 , 3, 2(),1, 2 , 1 (32112124124,23

12、1011111000A 3,32)(Ar123, 线性相关。1212, 但线性无关，是一个极大无关组；1313, 也线性无关，也是一个极大无关组。1212Tmm 矩阵的秩它的列向量组的秩.又因 的秩等于的秩， 矩阵 的秩它的行向量组的秩.A= , ,= , ,AAA=12m定义4.6 向量组A:的秩。秩定定义为 只有零向量的向量组义0的为 它它的的最最大大线线性性无无关关组组所所包包含含向向量量的的个个数数 , ,由定理由定理4.74.7可知可知NoImage 1rankrank2rankrankrank3rankrank.4可由 线性表示 可由 线性表示可由 线性表示线性无关BAA BABA

13、BA BABABABAB.s r等等价价的的线线性性无无关关向向量量组组含含有有相相同同个个数数的的向向量量12125,rA= , ,B, 定理定理4.9证明证明 1111rankrankrank.ran1 k rank 21.3143若 可由 线性表示，取 中最大线性无关组 ， 可由线性表示也可由线性表示的最大线性无关组 也可用线性表示所以也可用 线性表示.由即知若 可用 线性表示，由知 若 可由 线性表示，且,由知 所以 线性相BAAAAABAABBAABA BABBABAABrs, s r关.有有齐齐次次线线性性方方程程组组11 1122121 122221 122000nnnnmmmn

14、na xa xa xa xa xa xa xaxax12,Tijnm nAaXx xx记,0AX 方方程程解解是是一一个个n n维维向向量量齐线组次次性性方方程程齐次线性方程组的解的性质.定定理理 4.10 4.101212,0,XXAXc c都是的解，是任意数1122c Xc X也是方程组的解. 12,sXXX1线性无关 12,sXXX2 任意一个解可由线性表示12,sXXX为为方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系线性组合 rank.rnnr设 是齐次线性方程组 4.11 的系数矩阵若，那么它有基础解系且任意一个基础解系包含个解AA-1-10000rrmnAXEE存在 阶可逆矩阵 和 阶

15、可逆矩阵 ，使于是，方程等价于（）Q0 PAQ =00 PQ X = 0. 4.13P P定理定理4.11证明证明-1-1-11-12122000,.rnrE因可逆，方程 4.13 等价于 （）把分块: 那么，4.14 等价于也就是说，方程的通解为其中，是任意维向量PQ X = 0. 4.14Q XYQ X =YY = 0. AX = 00 X = QYY00r+1r+2n12nr+1r+2nr+1r+2n-rnAXcAX的任意解 都是向量的线性组合又因 可逆，线性无关，因此也线性无关，所以是的一个基础解系.XQQQQQQQQQQQQQ1212100.nr+1r+2n-rnn rc ccccc

16、ccX =,QQQ12n 设 的列向量是，QQ ,Q ,QT212n-rc ccY,例4.16 0 rank( )rank( )nn若，矩阵为 列，证明AB =AB证 rank,rank. rsB B的的每每一一列列都都是是方方程程A AX X = = 0 0的的解解. .ABAX = 0AX = 0的的基基础础解解系系包包含含n-rn-r个个解解 B B中中至至多多有有n-rn-r个个线线性性无无关关向向量量s sn-rn-r，即即r+sr+sn.n.设有非齐次线性方程组11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb

17、1212,TTijmmm nAabb bbXx xx非齐次线性方程组非齐次线性方程组AXb4.16定理 4.12 121212121 1 若若X ,XX ,X 是是 4.164.16 的的两两个个解解，则则= X - X= X - X 是是对对应应的的齐齐次次方方程程组组AX = 0AX = 0的的解解； * * *2 2 若若X X 是是 4.164.16 的的一一个个特特解解，是是对对应应齐齐次次方方程程组组的的通通解解，那那么么 4.164.16 的的通通解解为为X =X =+ X+ X证证 121AXbAXb由和得12120,AA XXAXAX0AX所以 是的解. *11*00XXXA

18、XXAX112 若是 4.16 的任意一个解，由 1 知是的解，所以含于通解中（即可 由中所含的任意常数取特定值而得到）4.16 的任意解可写成的形式，这里 是的通解.0AX若 是的通解，则*AXAAXb*XAXb所以是的解，综合上述知*XX是 4.16 的通解.反之反之子子空空间间的的概概念念VVn设 是的非空子集，若 对向量加法与数乘封闭，即满足R R ,VV 1,有； 2.VVn，有R RVn称 是的线性子空间R R|0,WXAXXnR Rn是的子空间.R R证证1212,XXW n设，,由定理4.10知R R1122.XXW0WWn又，是的子空间R R4.20例 0Am nAX设 是矩

19、阵，则方程的解集;12r设有向量组， ，则所有可由这个向量组线性表示的向量组成集合1122|1,2,.rriVir ，R RVn仿照例4.21可以证明， 是的子空间，R R12r， ，由由向向量量组组生生成成的的子子空空间间定理 4.13 1212,rsLL ， ， AB2 向量组 与向量组 等价1212,rsLL ， ， 1212 :,rsAB 1： ， ，可用线性表示12:rAVVA设向量组， ，是子空间 中的线性无关组，且 中任意向量是向量组 的线性组合，称.向向量量组组A A为为子子空空间间V V的的一一组组基基 VArVrrVn若的子空间 的一组基 包含 个向量，称 是维子空间， 称为 的.R R维维数数子子空空间间 0 0 的的维维数数定定义义为为0 0子子空空间间的的基基、维维和和向向量量坐坐标标基基维维例4.26 12 , 0|0, n rAXWX AXrank ArnnrWWWnrXW nn方程的基础解系包含个线性无关解 记为中任意向量是解集是的子空间它们的线性组合基础解系构成的一组基中任意个线性无关解都是一组基也是方程的一组基础解系.RRRR例4.27112233123233|,1,2,0,2,3,1,1, 1, 1TTTVxxxx