复变函数与积分变换第三章：复变函数的积分

1、1 教师答疑时间为双周四中午教师答疑时间为双周四中午12：001：15，地点在地点在A教二楼教研休息室；教二楼教研休息室；3. 助教答疑时间为周四中午助教答疑时间为周四中午12：001：15，地点地点A教二楼教研休息室教二楼教研休息室2第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 复变函数积分概念 柯西积分定理 复合闭路定理 柯西积分公式3 设设C为平面上一条光滑为平面上一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, , 选定选定C的两个可能方向中的一个作为正向的两个可能方向中的一个作为正向, , 那那末把末把C理解为带有方向的曲线理解为带有方向的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .

2、封闭曲线正向为逆时针方向。封闭曲线正向为逆时针方向。xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, . C记记为为1.1.有向曲线有向曲线42.2.积分的定义积分的定义, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 设设分分点点为为个个弧弧段段任任意意分分成成把把曲曲线线的的一一条条光光滑滑的的有有向向曲曲线线终终点点为为内内起起点点为为为为区区域域内内定定义义在在区区域域设设函函数数oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一点上任意取一点在每个弧段在

3、每个弧段 5,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作作和和式式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 记记 , , 11的的长长度度这这里里kkkkkkzzszzz ( , 0 时时无无限限增增加加且且当当 n , )( , , 记记为为的的积积分分沿沿曲曲线线函函数数那那么么称称这这极极限限值值为为一一极极限限有有唯唯的的取取法法如如何何的的分分法法及及如如果果不不论论对对CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 6nkkkkkkknkkkyixivuzf11)(,(),()(，则设kkkkkkiiyxz,nknkkkkk

4、kkkkkkkkyuxviyvxu11),(),(),(),(0|max, 0|max0|max,),(),(),(),()(111knkknkknkyxznyxvyxuyxivyxuzf则且当是连续的。是连续的如果nkkkkkkknnkkkyixivuzf11)(,(),(lim)(CCCdyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf),(),(),(),()(则nlim7 Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu从从形式上形式上可以看成可以看成 Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 8:( )( )( )

5、(),Czz tx tiy tt ( )z 是起点是起点, ()z 是终点是终点 ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) du x ty t x tv x ty ty tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d .iv x ty t x tu x ty ty tt ( ), ( ) ( ), ( )( )( ) du x ty tiv x ty tx tiy tt ( ) ( )d .f z t z tt 用参数方程将积分化成定积分用参数方程将积分化成定积分 Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i .d)()(d)(ttztzfzzfCba 则则94.

6、 积分的性质积分的性质;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(连续连续沿曲线沿曲线设设Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21则则连连结结而而成成由由设设10nkkknkkkzfzf11|)(|)(证明：证明： nkkf1| )(|ksnkksM1ML CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那那末末上上满满足足在在函函数数的的长长度度为为设设曲曲线线nlim|nlimnlimCCMLdsz

7、fdzzf)()(所以11 三、典型例题三、典型例题例例1 1 计算计算 的值，其中的值，其中C为为1）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：2）沿从）沿从 到到 的线段：的线段： 与从与从 到到 的线段的线段 所接成的折线所接成的折线. czzd)0 , 0()1 ,1(; 10 , ttytx)0 , 0()0 , 1(, 10 , 0,:1 tytxC)0 , 1()1 , 1(10 , 1:2 ttyxC解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1 , 1()0 , 1(C1C2COxy; 1 12zzzzzzcccddd)221 1010d)1 (

8、dtiittt i2121.1i 说明说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同同一函数沿不同路径所得积分值不同.13注意注意 一般不能将函数一般不能将函数f (z)在以在以 为起点为起点, 以以 为终点的曲线为终点的曲线C上的积分记成上的积分记成 因因为为( )d ,f zz 积分值可能与积分路径有关积分值可能与积分路径有关, 所以记所以记( )d .Cf zz 14例子例子2. 2. 计算计算Cndzzz)(10n n为正整数，为正整数， C C为以为以0z为圆心，为圆心， r r为半径的正向圆周为半径的正向圆周 。解解： C C的参数方程为的参数方程为 )20(0trezzit所以所以idt

9、redzit因此因此2020)1 (1)(1dteriidtreretninitnit 201) 1sin() 1cos(dttnitnrinCndzzz)(1015201) 1sin() 1cos(dttnitnrin) 1|) 1cos() 1(sin(1112)02(0cos2010ntnitnnrinirin，（），（) 1012nni，（），（ rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关. .16Ccnzidzzdzz即可）中令（例1, 02210因此因此ztittiteitsinc

10、ossincos解解：Cdzz例例3 3：计算积分：计算积分)tezit，（的值，其中的值，其中 C C：|z|=1|z|=1分析：分析： C C的参数方程是的参数方程是17回回 顾顾 设区域设区域D D的边界为光滑或分段光滑曲线的边界为光滑或分段光滑曲线L L。格林公式格林公式（Green Theorem）若函数若函数P(x,y)与与Q(x,y)在闭区域在闭区域D上连续且具有一阶上连续且具有一阶连续偏导数，则连续偏导数，则DLQdyPdxdyPxQ)(18 CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(DLQdyPdxdyPxQ)(dyuxvPuQvd

11、yyxvdxyxuDC)(),(),(，令因因DCdyvxuPvQudyyxudxyxv)(),(),(，令此，如果此，如果yuxvyvxu， 则则Cdzzf0)(所以如果所以如果f(z)在区域在区域D内满足内满足C-R条件则积分值条件则积分值为为0，既是，既是f(z)是解析的。是解析的。19柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理). 0d)( : )( , )( czzfCDzfDzf的积分为零内的任何一条封闭曲线沿那末函数内处处解析在单连通域如果函数 对解析函数而言，沿闭曲线的积分，不因对解析函数而言，沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值闭曲线在区

12、域内作连续变形而改变它的值.20解解222442zzzz , 1124 .d42)1cos(21001zzzzzz 例例5 5 计算计算1 z当当 时时,故故由由柯柯西西积积分分定定理理得得. 0d42)1cos(21001 zzzzzz21由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C . d)( ,D )( 无关线与连结起点及终点的路那末积分析内处处解在单连通域如果函数推论CzzfzfC22不定积分的定义不定积分的定义: .)(d)( , )( )( )( )( czFzzfzfcczFzf 记作记作的不定积分的不定积分为

13、为为任意常数为任意常数的原函数的一般表达式的原函数的一般表达式称称定理三定理三. , )()(d )( , )( )( , )( 100110内的两点内的两点为域为域这里这里那末那末的一个原函数的一个原函数为为内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (类似于牛顿类似于牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) ) .d)()( )(0为一个原函数为解析函数时单值函数zzfzFzf23例例3 3. dcos 0的的值值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsinizzz0cossin . 11 e此

14、方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”24例例7:求积分求积分Cdzzz) 1(2的值，其中积分路径的值，其中积分路径C C为连接为连接0 0到到a2的摆线的摆线：).cos1 (),sin(ayax解：解： aaazzzdzzzdzzzaCa2238| )2131() 1() 1(22332023202225柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理). 0d)( : )( , )( czzfCDzfDzf的积分为零内的任何一条封闭曲线沿那末函数内处处解析在单连通域如果函数 问题：如果区域是多连通，以上定理可能问题：如果区域是多连通，以上定理可能不再

15、成立，那么将会是什么结论？不再成立，那么将会是什么结论？267. 7. 闭路变形原理闭路变形原理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 , )( 内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C 复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值线在区域内作连续变形而改变它的值.那末那末

16、27). , , , , :( , , , , 2121顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC . 0d)()2( zzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf28DCA1A2A3A4C1C2EFGIH证明证明 不妨设不妨设n=2. 作两条辅助线作两条辅助线 (如图如图).1234,A AA A这样由这样由12344321EA A FA A GA A HA A IE作为边界作为边界 , ,围成单连通区域围成单连通区域.( )d0.f zz 11 ,CEA

17、A IIE 1122334444332211 .EAA AA FFAA AA GGAA AA HHAA AA IIE 12332 ,CA FFAA HHA 244 .CAGGA DCA1A2A3A4C1C2EFGIH30 21. 0d)(CCCzzf, 0d)(d)(d)(21 CCCzzfzzfzzf.d)(d)(d)(21 CCCzzfzzfzzf当当 n 为其它值时，可同样证明为其它值时，可同样证明. 在公共边界在公共边界(辅助线辅助线)上上, 积分两次积分两次, 方向方向相反相反, 积分值之和等于积分值之和等于0. 所以所以 31解解 显然函数显然函数xyo 1 例例9 9 计算积分计

18、算积分其中其中 为包含圆周为包含圆周221d ,zzzz 在内的任意分段光滑正向简单闭在内的任意分段光滑正向简单闭曲线曲线.1z 221( )zf zzz 在复平面有两个奇点在复平面有两个奇点0和和1,并且并且 包含了这两个奇点包含了这两个奇点.32xyo 1 1C2C zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 在在G内作两个互不包含也互不相交的正向内作两个互不包含也互不相交的正向圆周圆周C1和和C2, 使得使得C1只包含奇点只包含奇点0, C2 只包含只包含奇点奇点1.根据根据 , 33例例11 1

19、1 求积分求积分其中其中 为含为含z0的的 101d ,nzzz 解解 因为因为z0在闭曲线在闭曲线 的内部的内部, 0z 1 任意分段光滑的任意分段光滑的简单闭曲线简单闭曲线, n为整数为整数. .故可取充分小的正数故可取充分小的正数r , , 使得圆周使得圆周10: zzr含在含在 的内部的内部.可得可得再利用再利用根据根据 , 34102,01 d()0,0.ninzzzn 故故这一结果很重要这一结果很重要.1110011 dd()()nnzzzzzz 2, 0;0, 0.inn 与与 进行比较进行比较. 0z 1 35解解由复合闭路定理有则及为半径作圆以为圆心及以分别及内有两个奇点在,

20、41,00) 1(1212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222计算以下积分沿指定路径23:izC例例1 12 2Cdzzz) 1(1236 利用柯西利用柯西-古萨基本定理及重要公式古萨基本定理及重要公式izizzzz 1211211)1(12由柯西由柯西- -古萨基本定理有古萨基本定理有, 0d1211 zizC, 0d1211 zizC, 0d12 zzC, 0d1212 zizCyxOi i C2C1C37 21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii 2212. i 3.4 柯西积分公式39 100)()(CCdzzzzfd

21、zzzzf的内部。线在内部的曲包含由复合闭路定理得CCz10,分析分析DCz0C10)(.)(,)(,000一般不解析在则内解析在单连通设CdzzzzfzzzzfDzfD40DCz0C1)0(01可充分小zzzC41DCz0)0(01可充分小zzzCC42)()(,0)(,)(0zfzfzfCzf 时时当当上上的的函函数数值值在在的的连连续续性性 .,这这就就是是下下面面的的定定理理这这个个猜猜想想是是对对的的DCz0猜想积分猜想积分)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfCCC )0(01可充分小zzzCC1C143定理定理(Cauchy 积分公式积分公

22、式) Cdzzzzfizf00)(21)( )(2)(lim:,)(.00000zifdzzzzfRKdzzzzfCRzzzKKRC只须证明实际为一个固定值无关的半径与的内部设证明证明 一一点点内内为为它它的的内内部部完完全全含含于于一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲线线内内是是内内处处处处解解析析在在设设CzDDCDzf0)3,)2,)()144 KKKKdzzzzfzfdzzzzfdzzzzfzifdzzzzf0000000)()(1)()()(2)( 2)()(00 KKdsRdszzzfzf)()(, 0, 0)()(lim0000zfzfRzzzfzfzz如果)(2)( , 0, 0:

23、000zifdzzzzfRzzK如果即要证45 Cdzzzzfizf00)(21)( )(2)(lim000zifdzzzzfK 注意：此被积函数只有一个奇点，且此奇点就在曲线注意：此被积函数只有一个奇点，且此奇点就在曲线C中包含，并出现在分母上。中包含，并出现在分母上。46 443211)2sin21)1zzdzzzdzzzi）（求求： 0sinsin21)104zzzdzzziiiidzzzdzdzzzzfzzz 62212321)3211()221)(444 及及解解例例147.1122简简单单正正向向曲曲线线在在内内的的为为包包含含求求 zCdzzzzCiizzizzdzzzzdzzz

24、zdzzzzdzzzzdzzzzzzCCCCCC 4 2122112112112121212102222121 积积分分公公式式由由解解CC1C21xyo例例2483.4.2 高阶导数高阶导数问题问题: :(1) 解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函其定义和求法是否与实变函数相同数相同?回答回答: :(1) 解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示过积分来表示, 这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.49二、主要定理二、主要

25、定理定理定理. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而而且且它它的的内内部部全全含含于于线线任任何何一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲的的内内围围绕绕的的解解析析区区域域为为在在函函数数其其中中导导数数为为阶阶它它的的的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数解解析析函函数数 证证 , 0内任一点内任一点为为设设Dz , 1 的的情情况况先先证证 n50根据导数的定义根据导数的定义,zzfzzfzfz )()(lim)(0000从柯西积分公式得从柯西积分公式得,d)(21)(00 Czzzzfizf,d)(21)(00

26、Czzzzzfizzfzzfzzf )()(00,d)(d)(2100 CCzzzzfzzzzzfzi51 Czzzzzzzfid)()(2100 CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I CzzzzzzzzfId)()()(21020 Cszzzzzzfzd)(21020 , )( 上上解解析析在在因因为为Czf,上上连连续续所所以以在在 C52 , )( 上上有有界界在在故故Czf,)( , 0 MzfM 使使得得于于是是D 0zC , 0上各点的最短距离上各点的最短距离到曲线到曲线为从为从设设Czdd , 适当地小适当地小并取并取z , 21 dz

27、 满足满足 , 0dzz 则则 , 110dzz 00zzzzzz ,2d ,210dzzz ,3dMLzI 53,3dMLzI . 的长度的长度为为这里这里CL , 0 z如如果果, 0 I那那末末zzfzzfzfz)()(lim)(0000,d)()(2120 Czzzzfi再利用以上方法求极限再利用以上方法求极限zzfzzfz )()(lim000.d)()(2! 2)( 300 Czzzzfizf可可得得依次类推依次类推, 利用数学归纳法可证利用数学归纳法可证.d)()(2!)(100)( Cnnzzzzfinzf证毕证毕54三、典型例题三、典型例题例例1 1解解 CzCzzezzzr

28、zC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225为为正正向向圆圆周周其其中中计计算算下下列列积积分分 , 1 )1(cos )1(5处处不不解解析析内内在在函函数数 zCzz , cos 内内处处处处解解析析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根根据据公公式式55 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22处处不不解解析析内内的的在在函函数数izCzez 1C2Cxyo iCi , 1CiC为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周内内以以在在 , 2Ci为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周

29、以以 , , )1( 2122围围成成的的区区域域内内解解析析在在由由则则函函数数CCCzez 561C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei571C2Cxyo iCi 2d)1( 22Czzze同同理理可可得得,2)1( iei Czzzed)1( 22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i58例例3 3解解) (.d

30、 1为整数为整数求积分求积分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由柯西积分公式得由柯西积分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i 59, 1)3( n Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根根据据公公式式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni602223713,( ),(1).CCxyf zdzfi设表圆周求例例解解 222371C371( )2(371)( )2(67)(1)26(1)72 (136)Czzzf zd

31、izzzfzizfiiii在全平面上处处解析， 当 落在 内又故61例例. . 恒为常数。，则在复平面上解析且有界)()(zfzf证：在复平面上任取一点 有界，则。由于：做正向圆为半径，数为圆心，以任意大的整，以)(|z-z|CRz000zfRzCMzfdzzzzfizf| )(|)()(21)( 200，同时这里CCRMdsRMdszzzf220021| )(|21| )(zf|所以为常数。于是则 f(z) , 0)( ,0zfR62小结与思考小结与思考 高阶导数公式是复积分的重要公式高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明它表明了了解析函数的导数仍然是解析函数解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重这一异常重要的结论要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本同时表明了解析函数与实变函数的本质区别质区别. 判断被积函数的奇点，奇点数大于等于判断被积函数的奇点，奇点数大于等于2，则，则可利用复闭合定理，而后根据情况使用柯西公式可利用复闭合定理，而后根据情况使用柯西公式或高阶导数公式。或高阶导数公式。 Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(高阶导数公式高阶导数公式63例例. )( , 0d)( , )( 内解析在证明都有内任何一条简单闭曲线且对于内连续在单连通域设函数BzfzzfCBBzfC(More