平面向量易错题解析

1、平面向量易错题解析1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）2你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用、运算性质和运算的几何意义吗?2|a |2 = a ； |a.<：x2 - y2 ）3你知道解决向量问题有哪两种途径?（向量运算；向量的坐标运算）xi y2 - x2yi 二 0 问题:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？4你弄清"a _ b ：二 x-i x2y! y2 =0 ”与"a/ b 二了吗?(1)在实数中：若a十0，且ab=O,则b=0,但在向量的数量积中，若a=0，且a*b = 0，不能推T T 出 b =0 (2)已知

2、实数a,b,c, （b=o），且ab二be，则a=c,但在向量的数量积中没有ab = bc= a = c.(3)在实数中有（a *b）c = a *（b *c），但是在向量的数量积中（ab）c = a（bc）,这是因为TT左边是与c共线的向量，而右边是与 a共线的向量5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注 . 意不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移）。如已知A （ 1,2 ）, B （4,2 ），则把向量 AB 量a =（

3、- 1,3 ）平移后得到的向量是 （答：（3,0 ）长度为0的向量叫零向量，记作： 0，注意零向量的方向是任意的；:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是 AB）；-|AB|零向量:(3)单位向量按向(4)(5)相等向量平行向量a的相反向量是一a。（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。如下列命题：（1）若a =|b，则a=b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3） 若 石，则_ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则o （6）若ab,bc，贝yac。其中正确的是（答: （4）2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭

4、头的有向线段表示，如 （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量则 AB = DC o ( 5)若 a 二b'b c ,(5)a , b , c 等；（3）i , j为基底，则平面内的任一向量AB，注意起点在前，终点在后； 坐标表示法：在平面内建立直角*a可表示为a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在a =xi - yj =：x, y，称 x, y 为向量a的坐标， 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3. 平面向量的基本定理：如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a ,有且只有

5、一对实数 1 >' 2，使a = ei + 2 e2o1寸 3(答：a b )； (2)下列向量组中，能作为2 2平面内所有向量基底的是A. 0 =(0,0),佥=(1,_2) B. 0 =(1,2)© =(5,7) C. 8 =(3,5),=(6,10)D. ； =(2, _3),；=(丄,一3 (答:B) ; ( 3 )已知 AD,"BE分 别是AABC的边BC, AC上的中线，且24BC可用向量a,b表示为如(1)若 a =(1,1),b =(1,_1),c = (_1,2)，则 C 二zD=a,BE=b,则(答：-4b )；(4)已知 MBC中，点D在

6、BC边上,33且 CD = 2DB, C=r A+saC，则 r+s 的值是(答：0)4. 实数与向量的积 ：实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下：硏a, (2)当丸>0时，k a的方向与a的方向相同，当 九<0时，& a的方向与a的方向相反，当観鳥,盒b, aob“ = 0 时， a = 0 ,注意：，a 丰 0。 5.平面向量的数量积：(1) 两个向量的夹角：对于非零向量a , b，作b-*r-fc-*冗0 _二_ 称为向量a , b的夹角，当= 0时，a , b同向，当二=二时，a , b反向，当二=-时, a , b垂直。(2) 平面向量的数

7、量积：如果两个非零向量 a , b，它们的夹角为v ,我们把数量|a|b|cosr叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作：a * b，即ab = a b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,则 AB BC =(答：-9);不再是一个向量。如(1) ABC中，| AB |=3 , | AC |=4 , | BC 戶 5 ,11(2)已知 a =(1, ),b (0,),c = a kb,d = a -b，c与 d 的夹角为一，.,. l2.2.4ji则k等于=2,；b =5,两个非零向量，且a| =(答：1)； (3)已知|=：一6'，则a与a+b的夹角为

8、=-3，则a+b'等于(答：30 )(答：J23 ); (4)已知 a,b是(3) b在a上的投影为|b|cosr，它是一个实数，但不一定大于0。如已知|a 1=3 , | b 5，且12a b =12，则向量a在向量b上的投影为(答： 一)5 .(4) a *b的几何意义：数量积a *b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。(曾 向量数量积的性质：设两个非零向量 a, b，其夹角为则：4 4彳2*+耳2|彳12- -a *b = a b，特别地，a =aa=|a；，禺=*a ；当a与b反向时，a b = a b a b =0 ;当a , b同向时，a"b ；当二为锐角时，a

9、 * b >0,且a、b不同向，a b 0是二为锐角的必要非充分条件 ；当二为钝角时，a *b v0，且a、b不反向，a b 0是二为钝角的必要非充分条件 ；a «b非零向量a , b夹角二的计算公式：cos -=41(答：二或o且二)；(2)；|ab闫a |b |。如(1)已知a =(丸,2丸),fT >b = (3，,2),如果a与b的夹角为锐角，贝U 1的取值范围是1 3J J已知 OFQ的面积为S，且OF FQ =1，若1 ： S 3，则OF , FQ夹角二的取值范围是2 2JI JI(答：(一， );(3 ) 已知a=(c oxs ,)s丄In ) , y (

10、ay与b之间有关系式a kb，其中k >0 ,用k表示a b ；求a b的最小值，并求此时a与b的夹角日的大小(答： k2 | 11+ a b二-(k 0)；最小值为一，二-60 )4k26.向量的运算：(1)几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB二a, BC二b，那么向量 AC叫做a与b的和，即呻寸 r t a b = AB BC = AC; 向量的减法：用“三角形法则”点指向被减向量的终点。 ab_ad_dC=,、形ABCD的边长为1, AB:设AB =a, AC =b,那么a -b

11、= AB - AC =CA，由减向量的终 女口( 1)化简： A + B+C=;AD ;CB ;0 ); (2)若正方.(答: 2 貶);(3)若 O是 L ABCO-OC1 OB+OC2OA，则L ABC的形状为(答：直角三角形)；(4)若D为 ABC的边BC的中点， ABC所在平面内有一点 P，满足PA BP0，设仏里，一IPDI4则入的值为(答：2) ( 5)若点O是厶ABC的外心，且 OA + OB+CO= 0 ,贝U ABC的内角C为(答: 120 ); 彳 彳(2)坐标运算：设 a *x1y),b =(x2, y2)，则：向量的加减法运算：abN _X2 , % 一丫2)。女口(

12、1)已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若 A?=AB+ACr)，则当、一时，点p在第一、三象限的角平分线上(答：-)；(2)已知2兀亠 兀(答：一或 )；(3)已知作.6 2注意：此处减向量与被减向量的起点相同。T I:(AB CD) _(AC _BD) = (答：= a,BC =b,AC =C ,贝U |a + b+C| =所在平面内一点，且满足LAPIH TL=(sin xcos y> , x,y(,)，贝y x+y =2 2用在点A(1,1)的三个力F1 =(3,4), F2 =(2, -5)丘=(3,1)，则合力F = F1 F2 F3的终点坐标是 (答:

13、 (9,1 )呻 实数与向量的积：a ='为，。 若A(xi, yj, B(X2, y2)，则AB二,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线1 段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3), B( -1,5)，且AC AB ,3冷=3議则C D的坐标分别是11 (答：(1-),( -7,9);3 呻r,平面向量数量积：ax1x2y1 y2。如已知向量 a =( sinx , cosx) , b =( sinx , sinx ) , cTlif=(1, 0)。(1)若x=，求向量a、c的夹角；(2)若x 3为 1，求，的值(答：(1)150;(2) 1 或 _、2 -1);2 . 2，函

14、数f (x)二 a七的最大值T向量的模：|a|= Jx2 y2,a- =|a|x2 y2。如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么 |a+3b| = (答:届)；两点间的距离：若A x1,y1 ,B x2, y2 ，则2 2卜；X2 - X1 j亠y2 - y1。如如图，在平面斜坐标系斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若则P点斜坐标为(x, y)。(1)若点P的斜坐标为(2, 2), 1为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程。(答：(1) 2； (2)一、4 447.向量的运算律 ：(1 )交换律：a亠b=b亠a，门.a - a , ab=ba4444444呻 寸 -*444a bc=a b

15、c, abc=ab c, a b= ab=a b; ( 3| ABxOy中，.xOy二60；，平面上任一点P关于q,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量, 求P到O的距离| PO|； (2)2 2x y求以O为圆心,(2)结合律:分配律：i亠 打aa - ,a a b = - a b a ba *c b *c 。 如口 下 歹U 命2 a (b -c) = a b - a c; a (b c) = (a b) c :(a-b)-21 a | | b | |b |2: 若 a b =0，则 a =0或 b =0；若 a b*2 r 2=|a|题中：眾b,则；® T鳥2，字2 ；a a

16、(a b)2 =a b ;(a-b)2 =a -2a b b。其中正确的是提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、 两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约 去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的"乘法”不满足结合律，即a(bc) = (a b)c ,为什么？8. 向量平行(共线)的充要条件：44如(1)若向量 a =(x,1),b =(4, x)，当 x =T 44* T雪(1,1),b= (4x ) u * 2b ,PA =(k,12),PB =(4,5), PC

17、=(10,k),则 k =9. 向量垂直的充要条件：a _ b ：= a b = 0= | a b |=| a b |= x1x2 y1 y2 = 0 .特别地A CV(答：)2 2:a/b：= a = b：= (.b) j(|a|b|)二 Ny2丫必2 = 0。时a与b共线且方向相同(答：2) ； (2)已知+v =2a +b ,且 u/v ,贝U x = (答：4 )；( 3 )设_时，A,B£共线(答: 2 或 11)A。如(1)已知 OA = (-1,2), oB =(3, m)，若 OA_OB，则 m =A C(答:33 )( 2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角

18、三角形2(1,3)或(3, 1 ); ( 3)已知 n= (a, b),向量 n丄 m (b, -a)或(七,a)10.线段的定比分点：(1 )定比分点的概念OAB Z B =90 ,则点B的坐标是，且 n=m，贝U m的坐标是(答:(答:PP =PF2，则丸叫做点(2)的符号与分点(教材未有内容，适度补充):设点P是直线P1 P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数，使P分有向线段PP2所成的比，P的位置之间的关系的延长线上时= < 1;的比为，则点P分有向线段P点在线段P2 P1 IPR所成的比为P点叫做有向线段 PP2的以定比为的定比分点； :当P点在线段P 1P2上时>

19、;0;当P点在线段P的延长线上时二-1： ：0，若点P分有向线段PP2所成13一。如若点P分AB所成的比为-九41P2，则A分BP所成的比为(答: -7)3片 x2x 二2标公式时，应明确 应根据题设条件，特别地，当 = 1时，就得到线段 P,P2的中点公式力 y2。在使用定比分点的坐(x, y), (X1,yJ、(X2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时 灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 ，。如(1)若M( -3 , -2 ), r 17N( 6, -1 )，且 MP二MN,则点 P 的坐标为 (答:(-6, )； (2)已知 A(a,0), B

20、(3,2+a),3 31(答：2或4)直线y =_ax与线段AB交于M，且AM，=2MB，则a等于_211.向量中一些常用的结论：(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；(2) |a|_|b|_|a=b|a| |b |，特别地，当 a、b 同向或有 0 = | a b |=| a | b |4 44444彳T 呻 彳*444444工 | .1ab；当 a、b 反向或有 0 = |ab|=|a|+|b|a 卜 b；| 当 a、b 不共线= 旧 卜b鬧a±b <j a +1 b这些和实数比较类似).心的坐标为(3) 在 ABC 中，若 A X1,% ,B X2

21、,y2 ,C X3,y3 ，则其重。如若NABC的三边的中点分别为(2, 1 )、(-3 , 4)、(-1 , -1 )，则G Xt X2 X3 y1 y2 y33ZABC的重心的坐标为仆 2 4(答：(一；，；)；3 3，一 _,P为CABC的重:a ：丿r r t T PG=1(PA PB PC)二 G 为 ABC 的重心，特别地 PA PB PC =0二3心；,-,T rT T r PA卩BPCPC PA = P为 ABC的垂心； 向量，(-AB=0)所在直线过 ABC的内心(是.BAC的角平分线所在直线)；驴acj-斗MP =MP MP2，特别地 P1+Z | AB|PC |BC| P

22、A |CA|PB =0 = P ABC 的内心；(3) 若P分有向线段PP2所成的比为，点M为平面内的任一点，贝UMP1 MP2为RF2的中点二MP -2 ；2(4)向量PA PB、PC中三终点A、B C共线=存在实数：使得PA" PB : PCM 二 -1 .如平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A(3,1) , B(-1,3),若点C满足(答：直线AB)0C二器0A 2 OB ,其中d'2，R且2=1,则点C的轨迹是例题1x,sin3x【二 fcossinX,且 xJ|0,- - 2 丿 1 2(1) a b 及 a +b ；-3 若f (x )=a b 2化a+b的

23、最小值是一，求实数丸的值.2错误分析：(1)求出a+b =丿2+2 cos2x后，而不知进一步化为 2 cosx,人为增加难度化为关于COSX的二次函数在 0,1 1的最值问题,不知对对称轴方程讨论答案：(1) 易求 a，b=cos2x, a+b=2cosx ；(2)f (x )=a b 2h a + b =cos2x 2九 2cosx = 2cos x 4九cosx 1=2 cos x -，- 2 -1x 0,cosx 0,111 2从而：当 <0时，f Xmin 1与题意矛盾，乞0不合题意；2 31当 0 £ 丸 £ 1 时，f(X hin = 2& 1

24、= 一一 二九=一;2 23 5当，_1时，f X min =1 -4,解得，不满足/ -1 ；281综合可得：实数的值为1.2例题2在：ABC中，已知AB =：2,3 , AC =1, k ,且:ABC的一个内角为直角，求实数k的值错误分析：是自以为是，凭直觉认为某个角度是直角，而忽视对诸情况的讨论答案：若.BAC =90 ,即 AB _ AC,2一 2故 AB AC = 0,从而 230,解得 k =3若.BCA =90 ,即 BC _ AC ,也就是 BC AC = 0 ,而 BC = AC - AB - - 1,k - 3 ,*3 十故-1 kk-3=0,解得"宁若.ABC

25、=90 ,即BC _ AB ,也就是BC AB =0,而 BC - -1,k -3 ,故 11-233 =0 ,解得 k 二一3综合上面讨论可知，k = -2或k = 3一丄3或k = 113例题4 已知向量 m=(1,1)，向量n与向量m夹角为冬:，且m'4n =-1，(1)求向量n ;若向量n'与向量q=(1,0)的夹角为'，22 c向量p=(cosA,2cos )，其中A、C为 ：ABC的内角，且 A、B、C依次成等差数列，试求 n + p的取值范围。解：(1)设 n =(x,y)则由 <m', n >=3二 得:4cos< m，>

26、=m = x y n >=于是有f( a*b)-f(c *d )=2m(cos 詁-sin %=2mcos2由 m n =_1 得 x+y=-1联立两式得*x =0或丿y =1X = 1y =0 n =(0,-1)或(-1,0).T T 兀 /白 T(2)- <n,q>=2得 n-q =0若 n =(1,0)则 n q=-1=0 故 n (-1,0) n =(0,-1)/ 2B=A+C A+B+C=B= C=_A332 cn + p =(cosA,2cos 1) =(cosA,cosC)2 R+胃 Hcos2 A +cos2 CJ+cos2A +1 +cos2C =V 22c

27、os2A cos2Ci,4兀cos 2 A cos(-2 A)3-12cos2A-cos2A- 3sin2A2+1 = ”1 3cos2A sin 2A2 212cos(2A )3_阳22A 二333 -1<cos(2A+)< -3 2/ 0<A< 0<2A< 33例题5已知函数f(x)=mx-1 (m R 且 m-0)设向量 a=(1,cos2v)， b =(2,1)， c =(4s in v,1)， d=(gsi n v,1),当丁 (0 ,)时，比较f( a «b )与f( c n + P (乎，弓)2 2d )的大小。 4解：a b =2+

28、cos2 耳 c *d =2sin仁2-cos2 vf( a *b )=m 1+cos=2mcos K f( c *d )=m1-cos2 <=2msin vn (0, 0)4 2 r(0,) cos2 ->02当 m0时，2mcos27>0,即 f( a *b )>f( c *d)当m0时，2mcos2子0,即 f( a *b )<f( c *d )例题6 已知.A、.B . C为.:ABC的内角，且 f(A、B)=sin 2A+cos 2B- . 3 sin2A-cos2B+2当f(A、B)取最小值时，求.C(2)当A+B二丄时，将函数f(A、B)按向量p&#

29、39;平移后得到函数f(A)=2cos2A求p' 2解： f(A 、B)=(sin mxa b =xmx -1x (mx-1) >01当m > 0时x<0或x m2A- . 3 sin2A+? )+(cos 22B-cos2B+丄)+144眉21 2=(si n2A-) +(si n2B- ) +12 2当sin2A=3 ,sin2B=-时取得最小值，2 2 A=30 或 60 , 2B=60 或 120C=180-B-A=120 或 90(2) f(A 、B)=sin 22A+cos22(A)- .3 sin2Acos2(A) 22 2sin 2 2 a 亠cos

30、2 2a ：；3sin 2a 亠cos 2a 亠22cos(2A ") 3 =2cos(2A 三)333p=(2k:,3)3例题7已知向量a =(mx2,-1),b1=(,x) (m为常数)mx-1，且a , b不共线，若向量a , b的夹角落a ,0b为锐角，求实数 x的取值范围.解：要满足 a , b 为锐角只须 a b >0且amx2 _mx2 xmx 1m<0时，x ( -mx+1) <0,x：或 x 0 m综上所述：x > 0时,时,时,1X ( _： ：,0)(，":i)mx 三(-：,0)1x 三(-：,)(0, -)m例题8 已知a=

31、 (cos asin a),b= (cos 3 ,sin 3 ), a 与 b 之间有关系 |k a+b|= J3 | a kb|，其中 k>0,(1 )用k表示a b;(2)求a b的最小值，并求此时 a b的夹角的大小。解 (1)要求用k表示a b,而已知|ka+b|= . 3 | a kb|，故采用两边平方，得2 K2|k a+b| =(3 | a kb|)2 2 2 2 2 2k a +b +2ka b=3( a +k b 2ka b)2 2 2 2 8k a b=(3 k ) a +(3k 1)ba b = (3-k2)a2 +(3k2 -1)b28k/ a=(cos a ,

32、sin a ), b=(cos 3 ,sin2 23 ) , a=1, b =1,2 2 2 3_k2+3k21 k2 十1 a b =-4k8k22k2 +1 2k(2)T k+1 > 2k,即卩 k1 > 仝4k 4k 21-b的最小值为一，2又T a b =| a | | b | cos , |a|=|b|=1 -=1x 1X cos 。2=60°，此时a与b的夹角为60°。错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同,有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有2 2 2 2 2 2| a+b| =|( a+b) |= a +b +2a b 或| a|

33、 +| b| +2a b。例题 9 已知向量 a = (cos,sin : ) , b = (cos : ,sin ：),(i)求 cos(-)的值;(n)若 0 ：250,且sin，求sint的值.213解(i) ； a 二 cos： ,sin = cos :,sin ：,ab 二 cos；：-cos :,sin -sin :cos： -cos . i 亠 isin： -sin ： ? = 55即 2 _2cos 0 - P )=电.；cos(a_P)=3.55(u) ： 0,0,. 0 ： ：- 一 ：二.2 2；cos ： - - 3 , . sin ： - - 4.5 5512.sin

34、, cos.1313.sin ： =sin:一：=sin |*cos ： cosi x sin :4 12 3 f 5 335 13 5 J 13丿 65例题10已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1 ,0）、（ 1,0），动点A、M N满足|KE|=m|EF|(m>1), MN 东 =0, ON= (OA+OF) , AM / ME . 2(I)求点M的轨迹W的方程；（n）点p（ , y°）在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q,且PF - 'FQ'，若1 < < 2，求实数m的范围.1解：（I）：MN AF -0 , ON (OA OF),2

35、MN垂直平分 AF.又AM/ME，点M在AE上,|AM| |ME|=|AE5|K=2m, |MA冃 MF | ,|ME | |MF | = 2m | EF | ,点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴a =m，半焦距c=1 ,b2 = a2 -c2 = m2 -1 .2 2点M的轨迹W的方程为J 三 1 （ m 1）.m m -1(n)设 Q(X1, y1)PFP(2,y0)，m1 W(X T),y。二 y1.片1 if),J h21y1y。.L k由点P、Q均在椭圆W上,J2l+4=i,4 m-11mt 2('1) m222，札厂1.消去y并整理，得2 /m -m 1-1m m

36、 +1由 1 <2 w 2 及 m . 1，解得 1 m w 2 .m -1基础练习题1.设平面向量a=（ 2, 1） , b=（入，一1），若a与b的夹角为钝角，贝U入的取值范围是（1A、（- ,2）（2cj）B、（2,=）211C、（厂）D、（-：,）22答案：A点评：易误选C,错因：忽视a与b反向的情况。2.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足 -AB ACOP =0A （）, 0：），则 P的轨迹一定通过厶 ABC的（）I AB| |AC|（A）外心 （B） 内心 （C） 重心 （D） 垂心正确答案：B。-ABACAB错误原因：对OP =OA -Aj),

37、 0, V)理解不够。不清楚 -AB-|AB|AC|AB|AC与/ BAC的角平分线有关。I AC |3.若向量 a=(cos : ,sin :),b = cos :, sin ： , a与b不共线，则a与b 一定满足（A. a与b的夹角等于:-B. a / b正确答案：C 错因：学生不能把 a、b的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。C. ( a + b) _( a - b )D.O(0,0) , A(3, 0) , B(0 , 3)，是 P 线段 AB上且 AP =t AB (0 w t w 1)4.已知O A、B三点的坐标分别为则OA OP的最大值为（）B.6C. 9D.

38、12正确答案：C错因：学生不能借助数形结合直观得到当OPcos、£最大时，OA OP即为最大。5.在二ABC 中，a = 5,b = 8,C = 60 ,则 BC CA 的值为 ()A 20-20 C20 . 3 D一 203由题意可知= 120 ,* * 故 BC CA = BC匸冲 cos BC,CA"5 8- -20T-TF6.已知向量 a =(2cos :, 2sin )，门三(,二),2b=（0,-1），则a与b的夹角为（）A.B.-+22D.错误分析：错误认为 BC,CA二C =60 ,从而出错.答案：B略解:正确答案：A 错因：学生忽略考虑 a与b夹角的取值范

39、围在0,二。7.如果a二ac,且仁0，那么Jrc- LRb.4C-LRbC . b_c D . b,c在a方向上的投影相等正确答案：Db8.已知向量 OB=(2,0), OC =(2, 2),CA=(迈cosa, ,2错误原因：对向量数量积的性质理解不够。sin a）则向量OA,OB的夹角范围是（）A、 n /12 , 5n /12 B 、 0 , n /4 C 、 n 14 , 5n /12 D 、5 n /12 , n /2正确答案：A错因：不注意数形结合在解题中的应用。9.设a =（x 1, yj , b =（x2, y2），则下列a与b共线的充要条件的有（） 存在一个实数入，使a =

40、b或b= a ；| a b |=| a| | b | ；（a + b）/（ a 一 b）x2y2A、1个 B 、2个 C 、3个D 、4个答案：C点评：正确，易错选Db10.以原点O及点A （5, 2）为顶点作等腰直角三角形OAB使N A =90 则AB的坐标为（A、（ 2, -5 ）B、（ -2 , 5）或（2, -5 ）C 、（ -2 , 5）D、（ 7, -3 ）或（3, 7）正解：B设 AB =（x,y），则由 |OA|=|ABF 52 22 二.x2 y2 由联立得 x =2, y - 一5或x - -2,5。.AB=（2,-5）或（一2,5）误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组

41、解。X iy i11.设向量a =任，yj, b = （x2, y2），则是a / b的（）条件。X2 yA、充要B、必要不充分C充分不必要D、既不充分也不必要正解：C卄 x1y1右一 一则x1yx2y1 =0, a/b，若a b，有可能x?或 y为0，故选G X2y?误解：ab= x°2 -x2y一 =0= 乞=_y一，此式是否成立，未考虑，选aX2 y212.在.：OAB中，OA = (2cos ,2sin ： ),OB = (5cos ： ,5sin ：)，若 OA OB = -5，则 S OAB =()A、3B、C、53D5、3、 22正解：D。/ OA OB-5 |OA|

42、|OB| cosV - -5（LV为OA与OB的夹角）cos。予 +(2sina)2 J(5cos0)2 +(5sin P 予 cosV = -5 cosV =丄 si nV 二二 S oab =丄 |OA| |OB | si nV2 2 2 2误解：C。将面积公式记错，误记为 SOAB =|OA| |OB| si nV13. 设平面向量a =（-2,1）,b= （'1）,（' R），若a与b的夹角为钝角，贝的取值范围是（A）111A、（，2）（2, ：） B 、（ 2，+-） C 、（_ ，：） D、（ -：，-222错解：C错因：忽视使用a b ：0时，其中包含了两向量反向

43、的情况正解：A14. 设a, b, c是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：!tt!屯 tfe-(ab)c - cab= 0b c a 一 c a b不与C垂直其中正确命题的个数是A 1个 B 、2个 C 、3个正确答案：(B)错误原因：本题所述问题不能全部搞清。15.若向量 a = x, 2x ， b = ：；：3x,2，且 a若a _b,则a b与c不平行( )D 、4个b的夹角为钝角，贝y x的取值范围是错误分析：只由a,b的夹角为钝角得到a b : 0,而忽视了 a b ： 0不是a,b夹角为钝角的充要条件正确解法：幕a , b的夹角为钝角.a b = x - 3x 2x 2

44、- -3x2 4x ： 0因为a,b的夹角为180时也有a b : 0,从而扩大x的范围，导致错误.(1)4 解得x 0或x3_ - 1又由a,b共线且反向可得x3由得x的范围是答案：叫丄,0 iJ 4严1<3丿i 3丿<3丿16. 已知平面上三点 A B、C满足| AB|=3,|BC |=4 ,| CA| = 5,则AB BC BC CA CA AB的值等于(C )A. 25B. 24C. 25D. 24217. 已知AB是抛物线x =2py(p 0)的任一弦，F为抛物线的焦点，I为准线.m是过点A且以向量v = (0,-1)为方向向量的直线.(1) 若过点A的抛物线的切线与 y

45、轴相交于点C,求证：|AF|=|CF| ;(2) 若OA OB p2 =0(A,B异于原点)，直线OB与m相交于点P,求点P的轨迹方程；(3) 若AB过焦点F,分别过A, B的抛物线两切线相交于点T,求证：AT _ BT,且T在直线l上.解：()设A (捲，yj，因为导数y =仝,所以kAc二互,PP则直线AC的方程：y - y1 =互(x - xj,令x = 0得:C(0,-y1).P由抛物线定义知，|AF|= yj + P，又 |CF|= 2 ( y1 ) =y1+B，故 |AF|=|CF|. 2 2 2(2) 设 A(x1, y1), B(x2, y2 )，P(x, y),由 OA OB p2 = 0,