高二数学竞赛试题及答案

1、高二年级学科知识竞赛数学试卷第I卷（选择题）、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.命题P：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题P成立的充分不必要条件是A. 3 m 5 B. m 1C. 1 m 52.已知集合A x|X2 X 20,BXIlOgI X 1 ,则 AI B (2)111A.(0,2)B. (0,1)C.(D .(J)3若数列 OI满足a15,an 12an 1I'ann N,则其前10项和为（)2 an2A. 200B. 150C.100D. 500,b0的离心率为2-L6,左顶点到一条渐近线的距离为22X4.已知双曲线a2 63,则该双曲3线的标准方程

2、为（）2 y4B.16C.116 122XD .125.设m, n是两条不同的直线,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）若 m ,/ / , n ,则 m n ；若m,n,m/ /n ,贝U/ ;若n, n, mA.BC.D.若m ,则m/a b 1 ,则下列恒成立的是（),则m6设 X y 0,07.已知函数f(x) ASin( X)(A 0 ,0 , 0解析式为（)A.f(X)2s in (2 X)3B.f (x). 2sin(2x )C.f(X)2si n(2x -)3D .f (x) 2sin(2 X)6精选范本A. XababX yX yB. x yC.a bD. a b-）的部

3、分图像如图所示，则函数f （X）的2&正方体ABCD AIBICIDI中，M是DDI的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱ABl上的任意点，则直线OP与直线AM所成的角为（）A. 45oB. 60oC. 90oD.与点P的位置有关9. 一只蚂蚁从正方体 ABCD AIBICIDI的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 CI位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A.BgC.D.精选范本10.函数y lncosx 2 X 2的图象是（）2 211设点F1,F2分别为椭圆 笃与 1 a b 0的左右焦点，I为右准线，若在椭圆上存在点 M ,使MFia

4、 bMF2 ,点M到I的距离d成等比数列，则椭圆的离心率e的取值范围是（）D.12.已知全集 U ( x, y) | x, y R,集合 A (x, y)xcos (y 4)sin1,02 ,集合A的补集CUA所对应区域的对称中心为M ,点P是线段X y8（x0, y 0）上的动点，点Q是X轴上的动点，贝U MPQ周长的最小值为（）A. 24B. 4-10C. 14D. 8 4 2第II卷（非选择题）、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量AB与AC的夹角为120°,且IABl = 2,I aC = 3.若AP= B+ AC 且AP BC 则 14.正数X, y

5、满足X2y 2 ,则X_8y的最小值为Xy15设Sn为等差数列an的前n项之和,S918,an 430 n 9 ,Sn 336 ,则 n16.对于函数f X任取X1, X20, f X 2kf X函数ySin x, X-f X 2 ,X2,都有f Xi2k kIn X 1对任意X 0 ,不等式f0,22,f X2N,对于一切有3个零点;X -恒成立.X,有下列4个命题:2恒成立;0, 恒成立;则其中所有真命题的序号是6小题，共70分）17.（ 10分）已知a设命题P :函数f XX2 2ax 1 2a在区间0,1上与X轴有两个不同的交点；命题q : g Xax有最小值若q是真命题，求实数 a的

6、取值范围18. （12分）如图所示，已知二面角 MN-的大小为60°,菱形ABCD在面内，A, B两点在棱 MN上, BAD = 60°, E是AB的中点，DO丄面垂足为 O.（1）证明：AB平面ODE ；（2）求异面直线BC与OD所成角的余弦值.19 . ( 12分)如图所示，在 ABC中，点D为BC边上一点，且BD 1,E为AC的中327点，AE ,CoSB, ADB27(1) 求AD的长；(2) 求 ADE的面积20.( 12分)设函数f X是定义域为1,1的奇函数；当X 1,0时，f X3x2 .(1) 当 X 0,1 时，求 f X ；2(2) 对任意的a 1,1

7、 ,X 1,1 ,不等式f X 2cosasin1都成立，求的取值范围.21、(12分)已知椭圆的两个焦点为F11,0 ,F2 1,0 ,且椭圆与直线 y X . 3相切.求椭圆的方程；过F1作互相垂直的直线 h,2,与椭圆分别交于 P,Q及M , N ,求四边形PQMN面积的最大值和最小值 行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,a5,b5,b6,L ,求这个新数列的前 n项和Sn 22. (12分)已知数列a的前n项和为An ,对任意nN*满足JAn 1nAnn1 ,且311 ,数列bn满2足 bn 2 2bn 1 bn 0 nN* ,b35 ,其

8、前9项和为63.(1)求数列 an和bn的通项公式;(2)令 Cnb an n ,数列Cn的前n项和为Tn ,若对任意正整数 n ,都有Tna. bn2 n a ,求实数a的取值范围;(3)将数列 anbn的项按照“当n为奇数时,an放在前面；当n为偶数时,bn放在前面”的要求进参考答案2 A 解析：依题意A2,1 ,B0,-,故 AlB 0,2 2、选择题5m0y轴上的充要条件是m10,解得3 m 5 ,所以选项中1 . D解析：方程表示焦点在m15 m3 m 5的充分不必要条件的是4 m 5 ,故选D.3.D 解析：由已知an 1aneC6 a, a 、. 2b2 2Xy2 20.2yX4

9、. A解析：22,渐近线方程2bb,因此左顶点到一条渐近线的距离为Ial"3263a 2 2,b2,即该双曲线的标准方程为2X82L 14,选 A.5. D解析：对于，有可能 m,故错误；对于 ，可能相交，故错误所以选D.6 .D 解析：ax ay by7. D 解析：X 0时，y 1 ,代入验证，排除 A, B, C选项，故选D.8. C.解析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2 ,设P(x,0,0) , O(1,1,2),IUUIUlurM (0,2,1) , A(0,0,2) ,OP (X 1, 1, 2) , AM (0,2, 1),Um UlUU OP A

10、M (X 1) 0 1 2 ( 2) ( 1) 0,即 OP AM ,故夹角为一，故选 C.29. D 解析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形ABCC1B1A1A的对角线 AC1 (经过BB1 )、或矩形ABCCIDIDA的对角线AG (经过CD ),故视图为.10. A解析：由偶函数排除B、D, 0 CoSX 1, y 0,排除C.2 111.A 解析：由题意 MF2 IMFIl-IMF2 eMF2 MF1e2a MF21 e22,2 1 e 1MF212ae12.B 解析：T 点(0, 4)到直线 xcos (y 4)sin12 .2cos Sin1,直线 xcos (y 4)sinX2

11、y 4 21相切,集合A表示除圆x21以外所有的点组成的集合,集合CUA表示圆21 ,其对称中心M 0,4b)，1的距始终与如图所示：设M是点0,4关于直线线段X y 8(x0, y 0)的对称点，设 M (a,b 4彳则由-=1a 0 b 42 2求得84,可得 M (4, 8).8设M关于X轴的对称点为M(m,n)，易得M (4, -8)，贝U直线QM ,和线段的交点为P ,则此时,MPQ的周长为MP PQ QMPM PQ QM MQQM MQQM M M小值,二、填空题1213. 7 解析:由AP BC= (B+AC) (AC-AB)= B AC AB)2+ (AC)2-AC AB =

12、0,14. 9X 8y1818 x 2y1 10 16yX1 10 2 卩6乙9XyyXyX22Xy2YXy12得3 4 + 9+ 3 = 0,解得 = .解析:15.21解析:16.SIn aan2n a5 an 42n 2 30336 n 212【解析】：f XSin1 f X2x,x 0,21,所以2 ,X 2,的图象如图所示，> f （x）的最大值为1 ,最小值为任取X1,X20,都有ff X22 恒 成立，正确 ；1 f（2）2f(22) 4f11(4)6f(2216)8f(8),故不正确；如图所示,函数y f XIn X1有3个零点；由题意，可得，X (2k,2k1 k2)

13、, f (X) maxk 5 ()min2 X.证 k 1明1k 121k，即证明2kk 1 ,又 2kk 1, (k 1),11所以k ,所以对任意Xk 12k0 ,不等X 2恒成立正确.故答案：XP1=( J八rx小_ *O-1y三、解答题k式f（X）恒成立，所以对任意X 0 ,不等式X17.解析：若Pq是真命题，则P为假命题且q为真命题分别求出p, q为真时，参数a的范围，取其0,2 a2a1 0,试题解析:若P真，则0a 1,即0a1,、2 1 a f0 0,12a0,2f1 0,24a0,1a :X a, Xa,若q真，g X.Q a0 1 a0 ,1aX a,xa,补集即得P为假时

14、，参数a的范围，取交集即得实数 a的取值范围即g X在 ，a上是单调递减的，要使g X有最小值，则g X在a,上单调递增或为常数,即 1 a O , 0 a 1.若 P q是真命题，则P为假命题且q为真命题,实数a的取值范围为12,21.2精选范本O AB? O 所以 DO 丄 AB.因为 DO丄18.解:(1)证明：如图，连接BD,由题设知， ABD是正三角形，又 E是AB的中点，所以 DE丄AB.而DO DE = D ,故 AB丄平面ODE.(2)因为BC/ AD ,所以BC与OD所成的角等于 AD与OD所成的角，即 ADO是BC与OD所成的 角.由(1)知, AB平面ODE ,所以AB丄

15、OE.又DE丄AB,于是 DEO是二面角O-MN- 的平面角，从而 DEO = 60° .不妨设AB = 2,贝U AD = 2,易知DE = J3.3在 RtA DOE 中，DO = DE Sin 60°=连接AO,在RtAAoD中,DOcos ADO = AD19. (1)在 ABD 中,Q COSB0,Sin Bcos2 B217Sin BAD SinADB.21Vg122114AD由正弦定理Sin BBD ,知 AD Sin BADBDSinBAD217*21142.(2)由(1)知 AD2 ,依题意得AC2AE3,在ACD 中,由余弦定理得AC2AD2 DC22A

16、DgCDCOSADC ,即 94DC222 CDCOSyDC22DC 50 ,解得DC(负值舍去)S ADIADgDC Sin ADC从而 SADISADC.3 3 220. (1)设 X 0,1,则X1,0,所以f xX 3x2(2)由(1)知,23x I XC 23x J X1,0，所以f X0 1max因为f2cos2asi n1,1都成立，即2cos2asi nX max即 2cos2a Sin所以2cos22cosSinSin所以Sin 0，21.设椭圆的方程为2 y_ b21,1恒成立，2s in2Sin02si n2Sin0,所以的取值范围为IIk ,k Za b0 ;a即Z12

17、X联立 a22厶1b2得X .3b22、3a2x 3a2a2b20有唯一根;所以V2 Ga2 2b2 a22 23a a b 0得b2又 a2 b21,所以a22,b21 ,所以椭圆的方程为:y2 1若PQ的斜率不存在或为0时,SPQMNPQ MN2若PQ的斜率存在，设为 k,则MN的斜率为直线PQ的方程为ykxk ,设P X1, y1 ,Q X2,y2联立2X2yy21得kx k2k21 X22 24k X 2k 20 ,贝U PQ1 k2X1X22.2 1 k221 2k同理MNk22 ,2%精选范本所以SPQMN1.2PQIMN 4 k4 2k2 14 1 于 =4 I 122k4 5k

18、2 22 2k4 5k2 22244k 10 k2因为4k2 与 8 ,当k2k1时取等号，所以1244k2 102k20,21244k2 10 k,所以四边形PQMN面积的最小值为16最大值为22. (1)An 1An1,数列AL是首项为11,公差为一的等差数列,n 1n2n2 ALArn1 -1 1 _n _,即Ann n 1*nN,n22 22n1 n 2n n1*an1 AnIAI2H n 1n N又 a11 , an n n Nbn 22bn 1bn0 ,数列bn是等差数列,设bn的前n项和为Bn ,B99 b3b763 且 b35 ,9 ,bn的公差为S b37 31,bnn 2 n N(2)由(1)知 Cnbn a* n 2 nanbnn n 2