第六章离散时间系统的时域分析

1、第六章第六章 离散时间系统离散时间系统的时域分析的时域分析本章的本章的内容内容1.离散时间信号离散时间信号-序列序列2.离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型3.常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应离散时间系统的单位样值（冲激）响应5.卷积卷积6.反卷积反卷积第一节第一节前言前言一、离散时间系统研究的发展史一、离散时间系统研究的发展史离散时间系统研究的历史历史：17世纪的经典数值分析技术经典数值分析技术奠定它的数学基础。20世纪40和50年代的研究抽样数据控制系统抽样数据控制系统60年代计算机科学的发展计算机科学的发展与应用是离散时间系统

2、的理论研究和实践进入一个新阶段。1965年库利（J.W.Cooley)和图基(J.W.Tukey)发明FFT快速傅里叶变换快速傅里叶变换。同时，超大规模集成电路超大规模集成电路研制的进展使得体积小、重量轻、成本低的离散时间系统得以实现。用数字信号处理的观点来认识和分析数字信号处理的观点来认识和分析各种问题。20世纪未，数字信号处理技术数字信号处理技术迅速发展。如通信、雷达、控制、航空与航天、遥感、声纳、生物医学、地震学、核物理学、微电子学。二、离散时间系统、连续时间系二、离散时间系统、连续时间系统时域分析对比统时域分析对比时域经典求解方法：时域经典求解方法：相同。先求齐次解，再求特解相同。先求

3、齐次解，再求特解。对于连续时间系统连续时间系统离散时间系统离散时间系统数学模型：数学模型：微分方程描述微分方程描述差分方程描述差分方程描述时域卷积（和）求解方法时域卷积（和）求解方法：相同，重要相同，重要。变换域求解方法：变换域求解方法：拉普拉斯变换与傅里叶变换法拉普拉斯变换与傅里叶变换法 z z变换与序列傅里叶变换、变换与序列傅里叶变换、 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 运用系统函数的概念：运用系统函数的概念：处理各种问题处理各种问题。三、离散、连续时间系统研究的三、离散、连续时间系统研究的差异差异研究二者差异主要方面：研究二者差异主要方面：1 1、数学模型的建立与求解、数学模型的建立与求解2

4、 2、系统性能分析、系统性能分析3 3、系统实现原理、系统实现原理4 4、连续时间系统注重研究一维变量的研究，、连续时间系统注重研究一维变量的研究， 离散时间系统更注重二维、三维或多维技术的研究。离散时间系统更注重二维、三维或多维技术的研究。离散时间系统的优点：离散时间系统的优点：1 1、精度高，便于实现大规模集成、精度高，便于实现大规模集成2 2、重量轻、体积小、重量轻、体积小3 3、灵活，通用性、灵活，通用性四、离散时间系统研究四、离散时间系统研究离散时间系统数字信号处理；数字化；模拟与数字系统结合离散时间信号连续时间信号抽样；计算机的输入、输出；时间序列（时钟信号）第二节第二节离散时间信

5、号离散时间信号序列序列一一、 离散时间信号离散时间信号概念概念()x nTn：信号的时间函数只在某些离散瞬时 有定义值,即T序列,0, 1, 2,TnTn 其中 为均匀的离散时刻之间隔;称函数的宗量( )x n：离散信号处理的非实时性样值表示序列n称某序号 的函数值=在第 个样点的nx(n)“样值”n其中 表示各函数值在序列中出现的序号( )( 1)(1)(2)(0)xx nxxx 指针表示法：离散信号概念离散信号概念各线段的长短各序列值的大小。 x(n)图解表示： n n横坐标并取整数;纵坐标; 表示原点位置表示原点位置 离散信号的运算离散信号的运算( )( )( )z nx ny n1）相

6、加：( )( )( )z nx ny n2）相乘：逐项对应相加两序列的样值 =新序列逐项对应相乘两序列的样值=新序列( )()z nx nm3）延时：m逐项依次左移或右移 位原序列=新序列二二、离散信号的运算离散信号的运算离散信号的运离散信号的运算算( )()z nxn4）反褶：相 对 纵 轴 反 折 波 形原 序 列 = 新 序 列( )()z nx an5）尺度变换：()a需按规律去除某些点压缩时 无法除尽的样点 ， 或补足相应的零值 （扩展时多出的样点）n轴上压缩或扩展原序列的波形 =新序列x(n)6.1x(2n)x(n/2)波形如例图所示,分别画出、的波形举例举例6.10126n)(n

7、x1 2 3 354630126n)2(nx1 2 3 354618121042012n)2( nx3264(1)( )x nx nx n6）差分：前向差分 2( )( )( )(1)( )2 (1)(2)( )x nxx nxnnxx nx nx nn 后向差分 序列样值与其后面相邻的样值相减离散信号的运离散信号的运算算序列样值与其前面相邻的样值相减 2nx nE8）能量：( )( )nkz nx k7）累加：n累加至第 样点原序列中所有样值 = 新序列绝 对 值 平 方 和序 列 中 所 有 样 值 =能 量离散信号的运离散信号的运算算典型离散信号离散信号）单位样值序列（单位冲激序列）：n

8、it Sample /Unit Impulse()10ninnii100)0(nnn三三、典型离散信号离散信号012n)(n31 012n)(in 31 i2）单位阶跃序列：()10ninu nii100)0(u nnn典型离散信离散信号号0( )()( )( )(1)ku nnknu nu nn=0,其其值值=10123 4 5n)(nu1 2 3 01in)(inu 1 2 3 3）矩形序列：( )( )()NRnu nu nN1010),(0NRnnNnnN 典型离散信离散信号号0121 NNn)(nRN1 2 3 典型离散信离散信号号4）斜变序列：(0( )00)nu nnnnnx01

9、21 NNn)(nRN1 2 3 11aa当时序列是发散的；当时序列是收敛的。5)指数序列：0( )0)0(nnanna uxnn典型离散信离散信号号0123 4 5n)(nx1 2 3 1 a)(nx0123 4 5n1 2 3 1 a6）正弦信号：0000022222TT当为时 ；当为时不为有理数有理 ；当时 非整数 数周期性。0( )sin()x nn0其中称正弦序列频率典型离散信离散信号号0123 4 5n)(nx1 2 3 000( )cos()sin()jnxenjnn7)复指数序列：典型离散信离散信号号复序列可用极坐标表示：)(arg)()(nxjenxnx 1)( nxnwnx

10、0)(arg 离散信号的分离散信号的分解解常用分解法：延 迟将 任 意 序 列 表 示 为、的 单 位 样 值加 权信 号 之 和 。( )( )mxnmx mn( )() ()0 x nmnx mnmmn其中 四四、离散信号的分解离散信号的分解作业v下册vP36v7-1，7-2，7-4。第三节第三节离散时间系统的离散时间系统的数学模型数学模型一、 离散时间系统数学模型数学模型数学模型( )( )x ny n：激励信号为一序列， 响应为另一序离统列散时间系离散时间系统x(n)y(n)二、 线性、时不变系统的基本特性LTI基本特基本特性性线性时不变离散系统满足：均匀性和叠加性均匀性和叠加性。11

11、2212112122( )( ),( )( )( )( )( )( )x ny n x ny nx nxnycnncc yc（1）：设两对激励与响 应 线性性 则 离散时间系统2( )x n2( )y n离散时间系统1( )x n1( )y n离散时间系统1 122( )( )c x nc x n1 122( )( )c y nc y n二、 线性、时不变系统的基本特性LTI基本特基本特性性离散时间系统x(n-N)y(n-N)012n)(Nnx 3012n)(Nny 3012n)(nx3离散时间系统x(n)y(n)012n)(ny3( )( )()()x nnxynnNyN：设激励与响应 则时

12、不变性基本单基本单元元三、离散时间系统的基本单元基本单元 :1E（单延时元件位延时）)(ny)1( nyE1相加器)(nx)()(nynx )(ny 乘法器)(ny)(naya)(ny)(naya)(ny)(naya6.4某离散时间系统的模拟方框图如例图所示，写出其差分方程( )( )(1)y nx nay n解：围绕图中相加器可写出举例举例6.2)(nx)(ny)1( ny aE1)(ny)() 1()(nxnayny 整理得：常系数线性差分方程：（递归关系式）0101M( )(1)()( )(1)(M)Na y na y na y nNb x nb x nb x n00()()NMkrkr

13、a y nkb x nr或数学模数学模型型()()()x nxy nnknyr其中等式左端由响应序列及其移位序列等构成； 右端由激励序列及其延时序列等构成； 阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值差。()注：一般因果系统用形后式向右移的向差分方程四、离散时间系统的数学模型数学模型差分方程与微分方程：( ),(),y ttnTy nTT对连续若在各点取样值且 足够小1)(ynTy nTdTty td则离散、连续模型之间联离散、连续模型之间联系系五、离散、时间系统的数学模型联数学模型联系系举例3-5v假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔子要隔一个月才具有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔

14、，求第n个月兔子对的数目是多少？解：设解：设第n个月兔子对的数目为y(n)。可知：y(0)=0,y(1)=1,y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5可以想到：第n个月时，应有y(n-2)对兔子具有生育能力，因而从y(n-2)对变成2y(n-2)对；另外，还有y(n-1)- y(n-2)对兔子没有生育能力；（新生的）即其差分方程为： y(n)=2y(n-2)+ y(n-1)-y(n-2)整理得： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0 费班纳西（Fibonacci）数列作业vP37v7-5，7-8，7-9，7-10第四节常系数线性差分方程的求解 差分方程的求解差分方程的求解方法

15、方法求解方法求解方法：Z代入边界条件迭代法时域经典法零输入与手算逐次代入：仅得数值解利用计算机：先求齐次解与特解=求系数（求解过程麻烦）：利用齐次解得零输入响应，利用卷积和求零状态响应：利用 变变换域法换法（简便有效）零状态求法一、求解常系数线性差分方程的方法时域经典求解：0101M( )(1)()( )(1)(M)Na y na y na y nNb x nb x nb x n设LTI离散系统的常系数线性差分方程( )()hpy ny nyn则 00()()NMkrkra y nKb x nr或差分方程的时域经典差分方程的时域经典求解求解二、时域经典求解112201011()00)( )nN

16、kkNNNNnNNinhacy nKaaay ncac当齐次方程的特征方程时（，齐次解无重根 ；12111211(),( )KnKnnKhKc nc nycn当特征方程有时齐次 次解重根；()当特征方程有时，齐次解可共轭根正 余为各形式的弦序列。差分方程的求差分方程的求解解1、齐次解差分方程的求差分方程的求解解0knknknD nDaaDa特解由差分方程右端的函数形式来决定如 形式特解选； 形式（ 不为特征根）特解选自由项2、特解无重根情况下完全解代入构成一组联立方程为( )( )0,1,.,1kkVYNCkD矩阵形式为 ，(0), (1), (1)NNyyy N 阶差分方程应给定 个边界条件

17、，如1212121211112(0)(1)(1)(0)(1)(1)NNNNNNNNCCCCCCyDDyCy NNCDC差分方程的求差分方程的求解解3、完全解矩阵形式1( )( )0,1,.,DVkkNYCk求得系数 ，1112211112N()1CCCCNNNNNV V其中（）称范德莫特 逆 矩阵（特征根）11 V=，差分方程的求差分方程的求解解差分方程的求差分方程的求解解1111242111234312341()()132:4TijijjnnnniAAAnaAAA余子式ij nnijiji+jijij-1注：逆矩阵求解转置如=-设A=(a ) ,通常M 表示划去a 所在行和列下的阶子式,用A

18、 =(-1) M 表示 的1A =A叫代数余子式做 的伴随矩阵完全响应的分解：11( )( )Nnkkky nnDC hp强迫自由响应 y (响应 n)y)n(（）112( )( )NNnnzikkkkkzsky nnDCC zszi零状态响应 y (n)零输入响应 y (n)（ ）差分方程的求差分方程的求解解3、完全响应的分解( 1), ()( 1),()(0),()1zikzizziziziiCyyNyyNykyyN迭代其中是由零输入条件下边界值求得， 由起始状态 初始条件；( 1),()0(0),(1)(zskzszszzszssCyyNyyyNk迭代是由零状态条件下边界值求得， 由零状

19、态条件 初始条件。差分方程的求差分方程的求解解举例举例3.6:3.6:( )(1)(2)( )y ny ny ny n已知费班纳西数列 y(0)=0, y(1)=1, 求解( )(1)(2)0y ny ny n解：二阶齐次差分方程21210,1515,22 特特征方程根得征其121515( )22nny nCC齐次解举例举例3.6:3.6:22215151()()2215CCC 111将y(0)=0, y(1)=1代入方程,得到一组联立方程式0=CC解得:C全解:115115( )2255nny n 1( )( )( )0CVY kD kD k用矩阵求解 系数 ，1111151522V其中15

20、112111512151522举例举例3.6:3.6:1151015211515152C 115115( )2255nny n举例举例3.6:3.6:( )2 (1)2 (2)2 (3)(4)0(1)1, (2)0, (3)1, (5)1( )y ny ny ny ny nyyyyy n已知差分方程，求解43222123422210(1) (1)01, jj 解： 其特征方程 特征根 1234( )()(1)( )()nnny nC nCCjCj齐次解 2221234jnenjjjC nCC eC e 写为模和相位形式举例举例3.8:3.8:123434( )cossin22,()nny nC

21、 nCPQPCCQj CC则其中121212121,102,213,315,5CCQnCCPnCCQnCCQn代入边界条件得联立方程举例举例3.8:3.8:120,1,1,0CCPQ得系数解( )1cos(2ny n 等幅余弦序列）举例举例3.8:3.8:( )0.9 (1)0.05 ( ),( 1)1,y ny nu nY已知系统的差分方程为若边界条件求系统的完全响应解：（1）零状态响应 (0)0.05 (0)0.9( 1)0.05zszsyuy 迭代法( )0.9(1)0.05 ( )( 1)0zszszsynynu ny举例举例3.10:3.10:( )0.9(1)zshzshynyn齐

22、次解 （1）零状态响应 ( )(0.9)nzshzshynC0.900.9举例举例3.10:3.10:( )0.5ynDD 代入方程zsp特解设( )( )( )(0.9)0.5nzshynynynczszshzsp( )0.45(0.9)0.5nzsyn (0)0.050.45zshyc 代入上式由举例举例3.10:3.10:（2）零输入响应 zizizi( )0.9(1)0( 1)1ynyny()类似起始无储能的一阶低通网络之阶跃响应zi( )0.9 (0.9)nynzi( )(0.9)nziynCzi( 1)10.9ziyC 代入上式举例举例3.10:3.10:( )0.45 (0.9)

23、0.50.9 (0.9)nny n 完全响应()类似起始有储能的一阶网络在较低幅度阶跃下的响应0.45 (0.9)0.5n作业vP38v7-12，7-14，7-17,7-23第五节离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应单位样值响应单位样值响应( )( )nh n：单位样值作为激励而产生的 系统零状态单应响应位样值响( )(0)( )( )hhh nnn 等效求解齐次方程求：单位样值作用起始条件解的闭式解( )0,0( )nh nnh nM因果系统的充要条件稳定系统的充要 条件： ：( )5 (1)6 (2)( )3 (2)y ny ny nx nx n已知求此系统的单位样值响应1( )( )x

24、 nh n 求出解：先仅考虑右端11111( )5 (1)(2)0(0)1,( 1)0( )h nh nh nhhn作用等效2125603,2112( )32nnh nCC举例举例6.6:6.6:1112(0)1,( 1)03,2hhCC 代入上式解： 111( )32,0nnh nn23 (2)( )x nh n 求出再仅考虑右端作用121111( )( )( )(32) ( )3(32) (2)nnnnh nh nh nu nu n1121( )3 (2)3 (32),2nnh nh nn 举例举例6.6:6.6:作业vP40v7-32，7-33第六节卷积（卷积和）一、卷积和1. 1. 卷

25、积和方法求响卷积和方法求响应应：对应离散信号的每个样值激励， 系统得到每一响应仍为离散序列， 叠加 这些序列的即得到零卷积和状态响应。( )()( )mxynhmnmzs则系统零状态响应 ( )()()()mnxmnnxnhm设任意激励 系统对的响应为( )( )( )( ) ()mmy nx nh nxh nm卷积：和：满足交换律、分配律、结合律、冲激性卷积性质、阶跃性( )( )( )( ), )( )(nmu nx nx mnx nx n如：换元反褶平移卷积和的图解程相乘过取和p.3注：72附录四中“几何级数的求值公式表”卷积和方法求响卷积和方法求响应应举例举例4.154.15： zs,

26、01,y (n)u nau nu nNn已知某系统的单位样值响应h(n)=a若激励为x(n)=，求其响应( )( )( )( ) ()zsmynh nx nx m h nm解： ( )()()n mmu mu mNau nm0121 NNn( )x n1 2 3 ( )h n0123 4 5n1 2 3 1 a举例举例4.154.15：n0( )()x mh nmzs(1)当时， 与无交叠 即 y (n)=0( 3)hm 01 2m1 2 3 0121 NNm( )x m1 2 3 1n1()()0Nx mh nmn(2)当0时，与在交叠非零(1)11n11nnaaNa00( )( )()()

27、01nn mzsmynu mu mNau nmnN即0nn mma举例举例4.154.15：0121 NNm( )x m1 2 3 1(3)hm01 2m1 2 31n1( )()Nx mh nm(3)当时，与有交叠非零11n11NnaaNa10( )( )(1()()Nn mzsmnNynu mu mNau nm即N-10n mma举例举例4.154.15：0121 NNm( )x m1 2 3 1(3)hm01 2m1N31 1423 ,152 ,y(n)=nnnnnnn1212已知x (n)=2x (n)=3求卷积x (n)*x (n)12解： 指针表示 x(n)= 2 1 4 1x (

28、n)= 3 1 5举例举例4.164.16：举例举例6.76.7：解：利用“对位相乘求和”方法来求卷积12 按右端对齐 x(n)：2 1 4 1x (n)： 3 1 5 10 5 20 56 3 12 3 2 1 4 1 y(n)= 6 5 23 12 21 5作业vP41v7-31第七节解卷积（反卷积）2. 2. 解卷积求激励或冲激解卷积求激励或冲激响应响应( )( ) ( )( ) ( )y nx nh nh nx n：卷积和的 即已知响应和激励或求单位样值响应或系统辨识:已知x(n),y(n)求h(n).即给定输入输出寻找逆运系解 积算卷统模型.0( )( )()nmh nyh nmxx

29、 mnn：设卷积和 因果解系运算）卷积统1010()(0( )( )( )(0)( )( )()nmnmh nmhhxnhnx mnmx mxy ny n则解卷积 或 (0)(1)(0)(2)(0(0)(1)(2(0)(1)(0)(2)(1)()( )01)xxxxyyyhhhhhxhx即逐次反求，如： 解卷积求激励或冲激解卷积求激励或冲激响应响应实际应用：解决地震信号处理，地质或石油勘探等问题( )( )()( ),)TRr ne nh nhnh nh n如雷达探测系统如图所示 求待测目标( )( )( )( )()(TRh te nhnnhnnn求出求出求出解：待测目标的输入x(n); r

30、与解卷积待测目标的输出y(n); x与y解卷积待测目标。解卷积求激励或冲激解卷积求激励或冲激响应响应)(thT)(thR)(th发射天线目标接收天线( )e t)(tr( )x n( )y n复习1.离散时间信号离散时间信号-序列序列2.离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型3.常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应离散时间系统的单位样值（冲激）响应5.卷积卷积6.反卷积反卷积()x nTn：信号的时间函数只在某些离散瞬时 有定义值,即T序列1.离散时间信号离散时间信号-序列序列( )x n：离散信号处理的非实时性样值表示序列( )( 1)

31、(1)(2)(0)xx nxxx 指针表示法：各线段的长短各序列值的大小。 x(n)图解表示： n n横坐标并取整数;纵坐标; 表示原点位置表示原点位置离散信号的运算离散信号的运算( )( )( )z nx ny n1）相加：( )( )( )z nx ny n2）相乘：( )()z nx nm3）延时：( )()z nxn4）反褶：( )()z nx an5）尺度变换：(1)( )x nx nx n6）差分：前向差分 2nx nE8）能量：( )( )nkz nx k7）累加：）单位样值序列（单位冲激序列）()10ninnii100)0(nnn典型离散信号典型离散信号2）单位阶跃序列：()1

32、0ninu nii100)0(u nnn3）矩形序列：( )( )()NRnu nu nN4）斜变序列：(0( )00)nu nnnnnx5)指数序列：0( )0)0(nnanna uxnn6）正弦信号：0( )sin()x nn000( )cos()sin()jnxenjnn7）复指数序列： 离散信号的分解离散信号的分解常用分解法：( )( )mxnmx mn( )() ()0 x nmnx mnmmn其中 线性时不变离散系统满足：均匀性和叠加性均匀性和叠加性。2.2.离散时间系统数学模型离散时间系统数学模型( )( )()()x ny nnNnNxy：设激励与响应 (2) 不变则时性112212112122( )( ),( )( )( )( )( )( )x ny n x ny nx nxnycnncc yc：设两对激励与响应 （1）线性性 则基本单元 :1E（单延时元件位延时）相加器乘法器离散时间系统的基本单元)(ny)1( nyE1)(ny)(naya)(nx)()(nynx )(ny 常系数线性差分方程：（递归关系式）0101M( )(1)()( )(1)(M)Na y na y na