5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切导学案(1)-人教A版高中数学必修第一册

1、第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式学习目标1. 了解两角差的余弦公式的推导过程.2. 掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式.3. 会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、讣算等.4. 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.重点难点重点：了解两角差的余弦公式的推导过程.难点：会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等却识梳理1两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(a Qcos(ay9) =a,阻R两角

2、和的余弦公式cos(a+® =a, “WR2两角和与差的正眩公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(a®sin(a+B) =g阻R两角差的正弦S(a-Qsin(a0)=久阻R3两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(aStan(a+0) =a,马伙WZ)且 tan a tan两角差的正切T(a-®taii(ay9)a, B、a马(*WZ) 且 tan a tan洋一1学习过程问题探处1 两角差的余弦公式如果已知任意角*卩的正弦、余弦，能由此推岀a + p, a-p的正弦、余弦吗？余弦之间的关系卜而，我们来探究cos(ap)与角a, 0的正弦

3、.&终边 才卩终迥'A(LO)-r典例解析图 5.5-1不妨令kG乙 如图5.5.L设单位圆与轴的正半轴相交于点A ( 1 , 0),以 X轴非负半轴为始边作角a, P，aT，它们的终边分别与单位圆相交于点4i(cosa, srna), P(cosp, snip) , P(cos(aP), sm(aP).任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性 质叫做圆的旋转对称性.连接AlPl, AP.若把扇形OAP,绕着点O旋转0角，则点A, P分别与点毎, 5重合.根据圆的旋转对称性可知， 乔与石耳重合，从而，所以AP=1P1根据两点间的距离公式，得cos(a B) I2

4、+sin(a /?)2=(cosa cos/?)2+(sina sinjff)2,化简得:当a = 2k;r4-卩(kWZ)时，容易证明上式仍然成立.所以，对于任意角a, 0有 cos(a /?)=cosacos+sina sinp ( C (a0)此公式给岀了任意角a, 0的正弦、余弦与其差角a-0的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式，简记作C(a-p).例1利用公式cos(a /?)证明:(1 ) cos(a)=sina ；(2 ) cos(7r-a)= cosa典例解析例2 C知sina = a W(?7r), cos/?=-备“是第三象限角，求cos(a -/?)的值.由公式cos(a

5、-/?)出发,你能推导出两角和与差的三角函数的英他公式吗？下而以公式cos(a - /?)为基础来推导其他公式.例如,比较cos(a-/?)与cos(a+/?)，并注意到a +卩与a _ B之间的联系:a + B=a- (- /?则由公式cos(a -/?),有cos(a + /?)=cosa (/?) =cosa cos(“)+sinasfn(/?)=cosacosb sinasm/?于是得到了两角和的余弦公式，简记作c (a + P ).cos(a + /?)=cosa cosp sina sinp 问题探究上而得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、 余弦

6、的互化.你能根据c (a + 卩)，C ( a - P )及诱导公式五(或六)，推导 出用任意角a , p的正弦、余弦表示sin ( a +卩)，sin ( a - p )的公式吗？ 通过推导，可以得到：s in(a + /?) = sinacos/? + cosasm/?»(S (a + p )s in(a /?) = sinacos/ cosasin ；( S (a p )你能根拯正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从C(a±p) , S(a±p)出发，推导出用任意角a ,卩的正切表示tan(a + /?), tan(a /?)的公式吗？通过推导，可以得到:t

7、an (a + /?)=tan a+tan/?1- tan atanfiT(a + p)tan (a /?)=tan a-tan(i1+ tan atanfiT(a 一 p )和(差)角公式中,0都是任意角如果令a为某些特殊角就能得到许多有用的公式你能从和(差)角公式出发推导岀诱导公式吗？你还能得到哪些等式公式S (a + p) , C(a + 0) , T(a + p)给岀了任意角a , 0的三角函数值与其和角a +卩的三角函数值之间的关系为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式 类似地，S(a - p) , C(a -卩)，T(a 卩)都叫做差角公式.例3.已知sina = |»

8、; a是第四象限角，求$讯（扌一 a）,cos（& +a'tan （a -扌）的值.由以上解答可以看到，在本题条件下有smg-a） =cos（ + a）.那么对于任意角a ,此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？ 例4 利用和（差）角公式计算下列齐式的值:(1 ) sin72°cos42° cos72°sin42°(2 ) cos20°cos70°- sin20°sin70°l+tanl5°达标检测1 cos 65°cos 35°+sm 65°sm 3

9、5。等于()A. cos 100° B. sm 100°C.芈D. |2已知a是锐角，sina = |,则cos(扌+a)等于()D.A.3s3.己知锐角 a, 0 满足 cosa=p cos(a+0)=yp 则 cos0 等于()A.3365D.54-754.呂羽一tan 15。_ 计算1+心如15。=求 a-fi.5. 已知a, “均为锐角，sina=誓，cos0=¥,课堂小结让我们回顾半巧课的学习过程，看看主要的收获有哪些?知识上：两角和差公式思想方法上：整体代换思想，转化思想。参考答案：一、知识梳理1. cos acos y$+sin asmpcos ac

10、os 3一sin asmB2. sill acos “+cos asmp sm acos 0cos asiny9tail a+tan Btan atan R* 1 tan atan B1 + tan atan R二、学习过程典例解析cosa cos 丹os o+sin 対 n"in*0+ lxsina=sina.(2)cos(7r-a)= cosjt cos a+sin7r sin sina=(-1 )xcosa + o例 2 怦:rllsina =|» aG(?7r),得cosa = fl sina2 = Jl _ (护=| 又由cos/?=-詈，"是第三象限角

11、，得sin" =_J1 _ cos/?2 =_ (-善)2 = _骨354丄 °33所以cos(a p)=cosa cos/?+sina“7i/?=() x( -)+(-) x()=513 51365例3.解:由sma = -|, a是第西彖限角.得 cosa = Vl sina所以 tana = -'a cosa于是右 sin (f a) = sin cos a cosfsin a = Fx?Jx(售)=詈;cos C+ a) = cosJsa-sisina = 2?x 兰一空X (-勺更; 4/44252 v 510tan (a -=例4分析:tana-tan-

12、 tana-1«rr = = g = /1+ tan atan- 1+ tan a1+()和、差角公式把a±0的三角函数式转化成了 a ,0的三角函数式如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简由公式S (a P ),得sin72°cos42°cos72°sin42°=Sin(720 一 42°)=sin30°4 (2)由公式C (a+p ),得 cos20°cos70° sin20°sin70°= cos(200+70°)=cos90°=0

13、1+ tan 15°_tan45e+tan 15*1-87115° tan45°-tanl5°(3)由公式 T (a+p )及tan45° = 1» 得=tan(45c + 15°)=tan 60°=v3三、达标检测1. 【解析】 原式=cos(65°35°)=cos 30°=-.【答案】C2. 【解析】 因为a是锐角，sma=|.所以cos a=|,所以cos(扌+a)=芈岭¥岭=需故选B.【答案】B3. 【解析】 因为a, 8为锐角，cos a=|, cos(a+®=-看，417所以 sin a=§, sm(a+Q)=百.3血10所以 cos“=cos(a+®a=cos(a+Q cos a + sin(a+Q sin