第十二章全等三角形

1、第十二章全等三角形1.理解和掌握全等三角形的概念,明确对应边、对应角、对应顶点等相关概念.2.掌握两个三角形全等,对应边相等、对应角相等的性质.3.探索并掌握两个三角形全等的条件,并能根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”判定两个三角形全等.4.能够画已知角的平分线并掌握角平分线的性质定理和判定定理.1.通过观察、试验、归纳、类比、推理获得数学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性,感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.2.在教学中,注重所学内容与现实生活的联系;注重学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程.1.让学生通过动手操作,感受知识的形成过程,树立认真学习的

2、态度,激发学生的学习热情.2.利用小组合作的学习方法,让学生多进行交流,多种感官参与教学,使学生主动探索、发现规律、归纳概括、形成能力,养成学数学、爱数学的情感.中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似,本章将以三角形为例研究全等.全等三角形研究的问题和研究方法将为后面学习相似提供思路,而且全等是一种特殊的相似,全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础.本章还将借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力,主要包括用分析法分析条件与结论的关系,用综合法书写证明格式,以及掌握证明几何命题的一般过程.由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等,所以本章的内容也是学习等腰三角

3、形、四边形、圆等内容的基础.本章分为三节,主要介绍了全等三角形的概念、性质、判定方法,以及如何利用三角形全等进行证明.第12.1节首先介绍了现实世界中的全等现象,然后从“重合”的角度引入了全等形的概念,在此基础上给出了全等三角形的概念,接着由全等三角形的概念导出了全等三角形的性质.第12.2节由图形的性质与判定在命题陈述上的互逆关系出发,引出判定两个三角形全等的方法.第12.3节首先由平分角的仪器的工作原理引出了作一个角的平分线的尺规作图,然后探究并证明了角的平分线的性质,同时总结了证明一个几何命题的一般步骤,最后给出了角的平分线的性质定理的逆定理.本章将重点研究三角形全等的判定方法,并在其中

4、渗透了研究几何图形的基本方法.本章既有直接利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等的问题,又有通过证明两个三角形全等推出线段相等或角相等的问题,在问题的设计中还融入了平行线的性质与判定、三角形中边和角的等量关系、折纸情境等内容,推理论证的难度比三角形一章增大了.【重点】1.全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法.2.角平分线的性质及判定.3.证明的基本过程.【难点】1.根据不同条件合理选用三角形全等的判定方法,特别是对“SSA”不能判定三角形全等的认识.2.角平分线的性质和判定的正确运用.3.用综合法证明的格式.1.用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学.学生在前面的几何学习中研究

5、了相交线与平行线、三角形等几何图形,对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一定的认识,本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法,用几何思想贯穿全章的教学.2.让学生充分经历探究过程.本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究活动,包括探究的目标、探究的思路和分阶段的探究活动.教学中可以让学生充分经历这个探究过程,在明确探究目标、形成探究思路的前提下,按计划逐步探索两个三角形全等的条件.本章在编排中将画图与探究三角形全等的条件结合起来, 既有用尺规画一个三角形与已知三角形全等,又有用技术手段根据已知数据画三角形.教学中要充分利用探索画图方法的过程对形成结论的价值,让

6、学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解释作图依据等,在活动中发现结论.3.重视对学生推理论证能力的培养.本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要章节,主要包括证明两个三角形全等,通过证明三角形全等,进而证得两条线段或两个角相等.教学中要在学生已有推理论证经验的基础上,利用三角形全等的证明,进一步培养学生推理论证的能力. 按照整套教科书对推理能力培养的循序渐进的目标,本章的教学重点是引导学生分析条件与结论的关系,书写严谨的证明格式,从具体问题的证明中总结出证明的一般步骤.12.1全等三角形1课时12.2三角形全等的判定4课时12.3角的平分线的性质1课时单元复习1课时12.1全等三角形1.掌握好全

7、等形及全等三角形的定义.2.理解对应顶点、对应边、对应角的含义.3.掌握全等三角形的性质.1.教学时结合实际图片或学生自己动手制作的图片,使学生更加容易接受本节的知识,也能从中体会到数学的乐趣及数学与生活实际的联系.2.通过对一个图形的平移、翻折、旋转等动态变换,使学生的思维更具动态,形成空间观念,对以后的图形观察与总结具有更好的指引作用.1.在全等形的引入中,通过一些实际生活的图片,让学生感受到数学来源于生活实际,又反作用于生活实际.2.在学习中,同学之间以及小组之间相互研讨,可促进学生的团队意识,以及认识合作的价值.【重点】掌握好全等三角形的定义及利用全等三角形的性质解决问题.【难点】全等

8、三角形性质的应用.【教师准备】全等的三角形纸板.【学生准备】剪刀、三角形纸板.导入一:(老师手拿两个全等的三角形纸板,可先分开操作,然后把两个三角形进行重合操作,目的是让学生看出这两个三角形是能够完全重合在一起的)【师】同学们,你能发现这两个三角形有什么关系吗?【生】这两个三角形是完全重合的. 【师】这就是我们今天要学习的全等形中的一种,全等三角形.(同时教师手写板书)设计意图本节的内容,对于学生来说还是比较容易接受的,所以此设计比较简捷,单刀直入,可以节省时间,直入主题.导入二:【师】同学们,这节课我们先做个游戏,把你们准备好的剪刀与三角形纸板拿出来,先取一张纸,将准备好的三角形纸板按在纸上

9、,画下图形,照图形裁下来,观察一下,有什么特点?同桌之间互相配合完成,再一起讨论得到的三角形与原三角形之间的关系.设计意图同桌之间通过互相帮助,动手探索,既能增强他们的合作意识、团队精神,又能在动手操作中感受到数学的乐趣,增强对全等三角形的认知与理解.导入三:(老师拿出一块硬纸板)同学们请看,每组的两个图形有什么特点?它们的形状、大小一样吗?它们能互相重合吗?设计意图这两个问题和实际生活的联系比较密切,引起了学生认知的需要,激发了学生的求知欲,使之在思维情境中进入最佳的学习状态.这就为学生认识和探索全等三角形的性质做了铺垫.一、全等三角形的相关概念过渡语刚才同学们都看到了,两个三角形可以在形状

10、、大小方面完全相同,放在一起能够完全重合,在实际生活中,你还能举出类似的例子吗?1.全等形的概念思路一【师生活动一】多找一些学生举例子.(此过程中,有些学生举的例子是不正确的,如有的学生可能会说“双胞胎”,可先让学生说说此例子是否正确,让学生们一起讨论,然后老师给出正确的指引及错误的原因,对学生的不同回答,只要合理,就给予认可)设计意图帮助学生准确地理解定义,以及感受数学知识的严谨性.【师生活动二】(1)上面同学们举的这些例子,有什么共同的特征?(2)有人用“全等形”一词描述上面的图形,你认为这个词是什么含义?同学们畅所欲言,最后老师给出全等形及全等三角形的定义,为了加深理解,可通过列举反例强

11、调定义的条件.全等形的定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.思路二【学生活动一】把一块三角形样板按在纸板上,画下图形,照图形裁下来.【问题思考】裁下来的纸板和样板的形状、大小完全一样吗?把样板和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗?用同一张底片冲洗出来的两张照片上的图形,放在一起也能够完全重合吗? 【学生回答后总结】能够完全重合的两个图形叫做全等形.设计意图从学生熟悉的图形和例子引出全等形的概念,可以排除学生对几何的畏惧心理,增强他们的自信心,在教学过程中要强调“重合”的重要性,使全等形的概念的引入显得更加自然.【学生活动二】观察黑板上的

12、两个三角形DEF和ABC.【思考】如果把DEF放到ABC上,两个三角形可以重合吗?可以重合的三角形称为什么?【生答】全等三角形.设计意图通过这个活动及时巩固全等形的概念,同时也为后面的内容做铺垫,起承上启下的作用.拓展延伸两个三角形全等指的是两个三角形的形状和大小完全相同,和位置无关.2.全等三角形的相关定义过渡语实际生活中,全等形是非常多的,在初中阶段,我们重点研究全等三角形,你能构造一对全等三角形吗?你是如何构造的呢?看下面的例子.【师生活动一】老师演示以下三种情况:(1)将ABC沿直线BC平移得到DEF;(2)将ABC沿BC翻折180°得到DBC;(3)将ABC绕点A旋转180

13、°得到AED.【议一议】各图中的两个三角形全等吗?它们能完全重合,我们就说它们是全等三角形,其中能重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.如上图中的甲,ABC与DEF全等,我们就记作ABCDEF,符号“”读作“全等于”,当两个三角形全等时,我们就用它来表示.其中点A与点D,点B与点E,点C与点F是对应顶点;AB与DE,BC与EF,AC与DF是对应边;A和D,B和E,C和F是对应角.同学们,能不能对上述的图乙,图丙,分别说出它们的记法、读法,以及其中的对应顶点、对应边、对应角.当学生回答两个三角形全等的书写时,教师注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上.【师

14、生活动二】【师】由上述的演示可以看出,一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.在上述三种变换中,怎么能快速地找到对应顶点、对应边、对应角呢?请同学们讨论.设计意图学生进行讨论,各抒己见,此过程中学生说的不一定对,在互相的讨论、交流中,学生慢慢地纠正自己的错误,接受别人的好的方法,这样能更加深入地了解与掌握找全等三角形的对应点、对应边、对应角的方法.【师最后总结】在全等三角形中,找出对应角和对应边,关键是先找出对应顶点,然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等,再按顺序写出对应边和对应角.

15、全等三角形的面积一定相等,但是面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.知识拓展找对应元素的常用方法有两种:(一)从运动角度看1.翻转法:找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.2.旋转法:三角形绕某一点旋转一定角度后能与另一三角形重合,从而发现对应元素.3.平移法:沿某一方向平移使两三角形重合来找对应元素.(二)根据元素位置来推理1.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边.2.全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.3.公共边一定是对应边,公共角一定是对应角,对顶角一定是对应角.4.全等三角形中一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对

16、应角).二、全等三角形的性质过渡语我们现在已经知道了什么是全等三角形,并且能找到两个全等三角形的对应顶点、对应角、对应边,那么这些对应边与对应角又有什么关系呢?同学们拿出我们刚才自己制作的两个全等三角形,动手比较,看能得出什么结论?学生们纷纷发言,在此过程中,老师引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系,得到全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.知识拓展(1)全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等;(2)全等三角形的周长相等,面积相等;(3)平移、翻折、旋转前后的图形全等.三、例题讲解过渡语通过刚才同学们的探究,我们已经初步掌握了全等图形及全等三

17、角形的性质,这样我们就可以根据图形找到全等三角形的对应边、对应角和对应顶点了.如图所示,OCAOBD,C和B,A和D是对应顶点. (1)OCAOBD说明这两个三角形可以重合,那么通过怎样的变换可以使这两个三角形重合?(2)说出这两个三角形中相等的边和角.解:(1)将OCA翻折可以使OCA与OBD重合.(2)C=B,A=D,AOC=DOB;AC=DB,OA=OD,OC=OB.如图所示,已知ABEACD,ADE=AED,B=C,指出其他的对应边和对应角. 解析对应边和对应角只能从两个三角形中找,所以需将ABE和ACD从复杂的图形中分离出来.根据元素位置来找,有相等元素,它们就是对应元素,再依据已知

18、的对应元素找出其余的对应元素.解:对应角为BAE和CAD.对应边为AB与AC,AE与AD,BE与CD.1.能够完全重合的图形叫做全等形.能够完全重合的三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.全等三角形的对应边相等,对应角相等.2.找全等三角形对应元素的方法,注意挖掘图形中隐含的条件,如公共元素、对顶角等.3.在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式.1.如图所示,ABCDEF,则此图中相等的线段有() A.1对B.2对C.3对D.4对解析:因为ABCDEF,所以AB=DE,AC=DF,BC=EF,因为BC=EF,即BE+EC=CF+EC,所

19、以BE=CF,即有4对相等的线段.故选D.2.如图所示,ACBA'CB',A'CB=30°,ACB'=110°,则ACA'的度数是() A.20°B.30°C.35°D.40°解析:ACBA'CB',ACB=A'CB',ACB-A'CB=A'CB'-A'CB,即ACA'=BCB',A'CB=30°,ACB'=110°,ACA'=12(110°-30°)=

20、40°.故选D.3.如图所示,找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形. 解:三角形1和三角形2,三角形6和三角形7.4.如图所示,已知ABCADE,试找出对应边、对应角. 解析:方法1:可以发现A是公共角,在两个三角形中A的对边分别是BC和DE,所以BC和DE是一组对应边.而AB与AE显然不重合,所以AB与AD是一组对应边,剩下的AC与AE自然是一组对应边了.再根据对应边所对的角是对应角可得B与D是对应角,ACB与AED是对应角.所以对应边为AB与AD,AC与AE,BC与DE.对应角为A与A,B与D,ACB与AED.方法2:沿A与BC和DE的交点O的连线将ABC翻折180°后

21、,它正好和ADE重合,这时就可以找到对应边为AB与AD,AC与AE,BC与DE.对应角为A与A,B与D,ACB与AED.解:对应边为AB与AD,AC与AE,BC与DE.对应角为A与A,B与D,ACB与AED.12.1全等三角形一、全等三角形的相关概念二、全等三角形的性质例1例2一、教材作业【必做题】教材第32页练习第1,2题.【选做题】教材第33页习题12.1第3,4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各组图形中是全等图形的是()2.下列各组图形中,是全等形的是()A.对应钝角相等的两个等腰三角形B.两个含60°角的直角三角形C.边长为3和5的两个等腰三角形D.腰对应相等的两个直

22、角三角形3.如图所示,ABCBAD,点A和点B,点C和点D是对应顶点,如果AB=6 cm,BD=5 cm,AD=4 cm,那么AC的长是() A.6 cmB.5 cmC.4 cmD.无法确定4.如图所示,RtABCRtDEF,则D的度数为() A.30°B.45°C.60°D.90°【能力提升】5.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ABCBAD.求证: (1)OA=OB;(2)OCD=ODC.6.如图所示,ABCAEC,B和E是对应顶点,B=30°,ACB=85°,求AEC各内角的度数. 【拓展探究】7.如图所示,

23、已知ABDACE,且点E在BD上,CE交AB于点F,若CAB=20°,求DEF的度数. 【答案与解析】1.B(解析:根据全等图形的定义可得.)2.D3.B(解析:ABCBAD,点A与点B,点C与点D是对应顶点,AC=BD,又BD=5 cm(已知),AC=5 cm.故选B.)4.A(解析:RtABCRtDEF,D=A.在RtABC中,A+B=90°,且B=60°,A=30°,D=30°.故选A.)5.证明:(1)ABCBAD,CAB=DBA,OA=OB.(2)ABCBAD,AC=BD,又OA=OB,AC-OA=BD-OB,即OC=OD,OCD=O

24、DC.6.解:ABCAEC,ACE=ACB,EAC=BAC,E=B,又B=30°,ACB=85°,E=30°,ACE=85°,EAC=65°.7.解析:根据全等三角形的性质求出C=B,再根据三角形内角和定理和对顶角相等求出BEF=CAB=20°,代入DEF=180°-BEF即可求出DEF.解:ABDACE,C=B,BFE=CFA,CAF=180°-C-CFA,BEF=180°-B-BFE,CAB=20°,BEF=CAB=20°,DEF=180°-BEF=180°-2

25、0°=160°.本节内容与图形是紧密相连的,图形也是学生非常喜欢的,所以本节课的引入,重点以图形为主,既让学生感受到学数学的乐趣,又引发了学生学习本节课的信心,并且对学生更加热爱生活、找到数学与生活实际的联系起到了非常重要的作用.本节课的另外一个特点是图形的平移、翻折与旋转,要求学生具有空间想象能力,这既是数学的美,也是一些学生感到吃力的地方,为了突破难点,在教学设计上,引入了几何画板,进行动态演示,让学生能在非常生动、精彩的课件中找到自信,另外,也为他们日后的学习起到了重要的铺垫作用.本节课中,全等形、全等三角形的定义都是比较浅显的,学生们非常容易接受,本节的难点是全等三

26、角形的书写及找出对应边、对应角,在突破难点上,讲解没有达到非常生动.让学生在非常欢乐的气氛中达到难点突破是我们的教学目标.为了能突破难点,在设计上可先让学生拿着自己制作好的两个全等三角形进行平移、翻折与旋转,观察前后的变化,同时写出每次变换后的对应边、对应角,可同桌之间互相考察,也可一名学生指派另一名学生答题,然后老师再用几何画板进行动态演示,把实际操作逐步变为头脑中的印象,最后达到不用任何辅助手段就能在头脑中达到上述目的.练习(教材第32页)1.解:图(2)中,AB和DB,BC和BC,AC和DC是对应边;A和D,ABC和DBC,ACB和DCB是对应角.图(3)中,AB和AD,BC和DE,AC

27、和AE是对应边;BAC和DAE,B和D,C和E是对应角.2.解:相等的边:AC=DB,OA=OD,OC=OB;相等的角:A=D,C=B,AOC=DOB.习题12.1(教材第33页)1.解:AC和CA是对应边;B和D,BAC和DCA,BCA和DAC是对应角.2.解:其他对应边:AN和AM,BN和CM,其他对应角:ANB和AMC,BAN和CAM.3.解:三角形内角和为180°,a所对的角为180°-60°-54°=66°,又两个三角形全等,1=66°.4.解:(1)其他对应边:EF和NM,FG和MH,EG和NH;其他对应角:E和N,FGE

28、和MHN.(2)因为EFGNMH,所以NM=EF=2.1 cm,EG=NH=3.3 cm,所以HG=EG-EH=3.3-1.1=2.2(cm),所以线段NM的长度是2.1 cm,线段HG的长度是2.2 cm.5.解:ACD和BCE相等.因为ABCDEC,所以ACB=DCE.又因为ACB=ACE+BCE,DCE=ACD+ACE,所以ACD=BCE.6.解:(1)对应边:AE和AD,AC和AB,EC和DB;对应角:A和A,AEC和ADB,ACE和ABD.(2)因为AECADB,所以ACE=ABD.又因为1=2,所以ACE+2=ABD+1,即ACB=ABC,所以ABC=12×(180

29、76;-A)=65°,所以1=ABC-ABD=65°-39°=26°.如图所示,EFGNHM,在EFG中,FG是最长的边,在NHM中,MH是最长的边,F和NHM是对应角,且EF=2.4 cm,FH=1.9 cm,HM=3.5 cm. (1)写出对应相等的边及对应相等的角;(2)求线段GN及线段HG的长度.解析(1)由于EFGNHM,根据两个三角形的最长边是对应边可知FG与MH对应相等,又F和NHM是对应角,所以FGE和HMN对应相等,剩下的一对角E和N也就对应相等了;进而根据对应顶点的关系可得到EF与HN对应相等,EG与MN对应相等;(2)由HM=3.5

30、 cm可得它的对应边FG=3.5 cm,根据FH=1.9 cm可求得HG=FG-FH=1.6 cm;又由EF=2.4 cm可得它的对应边HN的长也是2.4 cm,则GN=2.4-1.6=0.8(cm).解:(1)对应相等的边有:FG=MH,EF=HN,EG=NM;对应相等的角有:F=NHM,E=N,EGF=M.(2)根据全等三角形的性质,得HN=EF=2.4 cm,HG=FG-FH=HM-FH=3.5-1.9=1.6(cm),GN=HN-HG=2.4-1.6=0.8(cm).如图所示,A,D,E三点在同一直线上,且BADACE. (1)试说明BD=DE+CE;(2)ABD满足什么条件时,BDC

31、E?解析(1)要说明BD=DE+CE,由于BADACE,所以BD和AE相等,因此我们只需说明AE=DE+CE即可,又AE=AD+DE,所以本题只需说明AD=CE即可,而这对线段恰好是全等三角形的对应边.(2)要使BDCE,则必须有BDE=E,根据全等三角形的对应角相等可知ADB=E,所以需要条件ADB=90°.解:(1)BADACE,BD=AE,AD=CE,AE=AD+DE,BD=DE+CE.(2)当ABD满足ADB=90°时,BDCE.解题策略证明形如“BD=DE+CE”的问题有两种思路:思路一是将BD拆成两段,证明这两段分别等于DE和CE;思路二是找一条等于DE+CE的

32、线段,然后证明该线段等于BD.12.2三角形全等的判定1.熟练掌握“边边边”定理、“边角边”定理、“角边角”定理、“角角边”定理、“斜边直角边”定理.2.会用这些判定方法判定两个三角形全等.1.让学生通过分类讨论和作图的方法探索三角形全等的判定定理,并让学生用运动变换的方法证实.2.在探索全等三角形的判定方法的过程中,渗透分类讨论的思想.3.培养学生观察、概括、归纳的能力.1.让学生体验分类的思想,培养学生的合作精神.2.培养学生学习数学的兴趣,体会研究问题的思想和方法.【重点】全等三角形的判定方法.【难点】能用全等三角形的判定方法判定两个三角形全等.第课时1.掌握“边边边”定理的内容.2.能

33、初步应用“边边边”定理判定两个三角形全等.3.会作一个角等于已知角. 让学生探索三角形全等的条件,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质,以及发现问题的能力.【重点】“边边边”定理.【难点】探索三角形全等的条件.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习全等三角形的性质,准备直尺和圆规.导入一:【提出问题】(1)全等三角形相等,相等. (2)已知AOCBOD,则A=B,C=,AC=,=OB,=OD. 设计意图通过复习让学生进一步掌握全等三角形的性质,为下一步学习全等三角形的判定打下基础.导入二:

34、通过前面的学习我们知道,如果两个三角形具备三条边和三个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等.但是要想画一个三角形与已知的三角形全等一定需要六个条件吗?条件能否尽可能地少呢?一个条件行吗?两个条件呢?过渡语我们掌握了全等三角形的性质,那么怎样判定三角形全等呢?一、探究三角形全等的条件【学生活动一】(1)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时,画出的三角形一定全等吗?(2)如果给出两个条件呢?给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?学生讨论有几种可能的情况,然后按照下面条件画一画:三角形一个内角是30°,一条边是3 cm;三角形两个内角分别是30

35、°和50°三角形的两条边分别是4 cm和6 cm.学生分组讨论、画图、探索、归纳,最后以组为单位出示结果.【结果展示】(1)只给定一条边时.只给定一个角时.(2)给出的两个条件可能是:一边一内角、两内角、两边.可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.【议一议】如果给出三个条件画三角形时,你能说出有几种情况吗?(三条边,两条边一个角,一条边两个角,三个角)在刚才的探索过程中,我们已经发现已知三内角不能保证两个三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.(这节课只讨论第一种情况)【学生活动二】拼一拼.用你们准备的4 cm,5 cm,7 cm长的三根细木棒拼一个三角

36、形,与其他同学拼成的三角形比较,它们一定全等吗?你又发现了什么?以小组为单位,把拼好的三角形画在纸上并剪下来,再把剪下的三角形重叠在一起,发现都能够重合,这说明这些三角形都是全等的.二、探究运用“SSS”判定两个三角形全等思路一过渡语我们也可以换一种方法,先在一张纸上任意画一个三角形,然后在旁边再画一个三角形,使得三边对应相等,我们看画出的这两个三角形全等吗?【出示问题】先任意画一个ABC,再画一个A'B'C',使得A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,把画出的A'B'C'剪下来,放在AB

37、C上,看它们能完全重合吗?(即全等吗?)【学生活动】拿出直尺和圆规,按上面的要求作图并验证.画法:(1)画B'C'=BC;(2)分别以点B',C'为圆心,线段AB,AC的长为半径画弧,两弧相交于点A'(3)连接A'B',A'C'.【教师活动】巡视、指导、引入课题,这个作图的结果反映了什么规律?【学生活动】在思考、实践的基础上,归纳出判定三角形全等的方法.【教师板演】三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).设计意图通过学生画图、观察、比较、思考等活动,一步一步地探索出结论,感悟基本事实的正确性,在概

38、括基本事实的过程中,引导学生透过现象看本质,锻炼学生用数学语言概括结论的能力,同时也增加了学生的数学体验,让他们充分感受到成功的喜悦.思路二(1)用一根长13 cm 的细铁丝,折成一个边长分别是3 cm,4 cm,6 cm 的三角形.把你做的三角形和其他同学做的三角形进行比较,它们能重合吗? (提示:能重合)(2)用同一根细铁丝,余下1 cm,用其余部分折成一个边长分别是3 cm,4 cm, 5 cm的三角形,再和其他同学做的三角形进行比较,它们能重合吗? (提示:能重合) (3)先任意画出一个ABC,再画一个A'B'C',使A'B'=AB,B'

39、C'=BC,C'A'=CA.把画好的A'B'C'剪下,放到ABC上,它们全等吗?画一个A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC的画法:画线段B'C'=BC;分别以B',C'为圆心,线段AB,AC为半径画弧,两弧交于点A'连接A'B',A'C'.【归纳总结定理】如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等.文字符号图形三边对应相等的两个三角形全等如果AB=A'B'

40、,BC=B'C',AC=A'C',那么ABCA'B'C'过渡语学习了三角形全等的判定方法,我们就可以利用它解决一些生活中的实际问题.(教材例1)在如图所示的三角形钢架中,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证ABDACD. 解析要证ABDACD,只需说明这两个三角形的三条边对应相等.证明:D是BC的中点,BD=CD.在ABD和ACD中,AB=AC,BD=CD,AD=AD,ABDACD(SSS).注意:题目中的隐含条件是AD是公共边.方法技巧证明三角形全等的书写格式可分为三部分:第一部分是全等条件的证明;第二部分是罗列两个三角形

41、全等的条件;第三部分是下三角形全等的结论.这里要求注明判定方法.三、作一个角等于已知角· 如图所示,已知:AOB,求作:A'O'B',使A'O'B'=AOB.·作法:如图所示,(1)作射线O'A'(2)以O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D ;(3)以O'为圆心,以OC的长为半径画弧,交O'A'于点C'(4)以点C'为圆心,以CD的长为半径画弧,交前弧于点D'(5)过D'作射线O'B' 则A'O'B

42、9;就是所求作的角.作图后学生讨论:作一个角等于已知角的依据是什么?设计意图让学生运用“SSS”定理进行尺规作图,同时体会作图的合理性,增强作图技能.如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等,称为“边边边”定理,利用两三角形全等可进行一些相关计算和证明.1.如图所示,在ABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可以判定() A.ABDACDB.BDECDEC.ABEACED.以上都不对解析:AE为公共边,AB=AC,BE=CE,则ABEACE(SSS).故选C.2.如图所示,点B,C,D,E在一条直线上,且BC=DE,AC=FD,AE=FB,则BD=,ACE,理由是. 

43、;解析:BC=BD+CD,DE=EC+CD,BC=DE,BD=EC.又AC=FD,AE=FB,ACEFDB(SSS).答案:ECFDBSSS3.如图所示,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,BE=CF,请添加一个条件:,使ABCDEF(SSS). 解析:添加AC=DF.BE=CF,BC=EF.在ABC和DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF,ABCDEF(SSS).故填AC=DF.4.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.求证B=D. 解析:连接AC,由于AB=AD,CB=CD,AC=AC,利用“SSS”可证得ABCADC,于是B=D.解:如图所示,连接A

44、C,在ABC和ADC中,AB=AD,CB=CD,AC=AC,ABCADC(SSS),B=D.第1课时一、 探究三角形全等的条件二、探究运用“SSS”判定两个三角形全等例1三、作一个角等于已知角一、教材作业【必做题】教材第37页练习第1,2题.【选做题】教材第43页习题12.2第1题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,已知点A,D,B,F在一条直线上,AC=EF,AD=FB,要使ABCFDE,还需添加一个条件,这个条件可以是.(只需填一个即可) 2.如图所示,AC=DB,AB=DC,可以直接由“SSS”判定全等的三角形是. 3.如图所示,已知AD=CB,若利用“SSS”来

45、判定ABCCDA,则添加直接条件是. 4.如图所示,已知AB=DC,AD=BC.求证A=C. 5.如图所示,PA=PB,PC是PAB的中线,A=55°,求B的度数. 解:PC是AB边上的中线,AC=(中线的定义). 在中, AC=BC,PC=PC,PA=PB,(), A=B().A=55°(已知),B=. 【能力提升】6.如图所示,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE. 求证A=B.7.如图所示,在ABC和EFD中,AB=EF,AC=ED,点B,D,C,F在一条直线上. (1)请你添加一个条件,由“SSS”可判定ABCEF

46、D;(2)在(1)的基础上,求证ABEF.【拓展探究】8.如图(1)所示,AB=CD,AD=BC,O为AC中点,过O点的直线分别与AD,BC相交于点M,N,那么1与2有什么关系?请说明理由.若过O点的直线旋转至图(2),图(3)的情况,其余条件不变,那么图(1)中的1与2的关系还成立吗?请说明理由.【答案与解析】1.BC=DE(解析:由AD=FB可得AB=DF,又AC=EF,BC=DE,ABCFDE(SSS).答案不唯一.)2.ABD和DCAABC和DCB(解析:可以直接由“SSS”判定全等的三角形是ABD和DCA,ABC和DCB.在ABD和DCA中,AD=AD,DB=AC,AB=CD,ABD

47、DCA(SSS).在ABC和DCB中,AB=DC,AC=DB,BC=CB,ABCDCB(SSS).)3.AB=CD(解析:要利用“SSS”判定两三角形全等,现有AD=CB,AC=CA,则再添加AB=CD即满足条件.故填AB=CD.)4.证明:连接BD,在ABD和CDB中,AB=DC,BD=DB,AD=BC,ABDCDB(SSS),A=C.5.BCACP和BCPACPBCPSSS全等三角形的对应角相等55°6.解析:根据中点定义可得AC=BC,然后利用“SSS”证明ACD和BCE全等,再根据全等三角形对应角相等证明即可.证明:C是AB的中点,AC=BC.在ACD和BCE中,AC=BC,

48、AD=BE,CD=CE,ACDBCE(SSS),A=B.7.(1)解:当FC=BD时,ABCEFD.理由:FC=BD,FC+CD=BD+CD,即DF=BC.在ABC和EFD中,BC=DF,AB=EF,AC=ED,ABCEFD(SSS)(答案不唯一).(2)证明:由(1)知ABCEFD,B=F,ABEF.8.解:1与2相等.理由如下:在ADC和CBA中,AD=BC,CD=AB,AC=CA,ADCCBA(SSS),DAC=BCA,DABC,1=2.图形(2)(3)中同理可证得ADCCBA,则DAC=BCA,DABC,1=2.教学中教师引导学生观察、操作贯穿教学的始终,让学生感受“边边边”定理的得出

49、过程,并通过学生的自主交流,让学生总结出“如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等”这一判定方法.通过画一画、动一动、剪一剪等方法,极大地调动了学生的好奇心和积极性,有利于学生对知识的掌握.1.没能更大限度地给学生创造展示自己的空间,学生的思想的闪光点没有得到充分体现.2.对例题的讲解没有完全放手让学生自己去解决和操作. 在课堂教学设计中,尽量为学生提供“做中学”的条件,不放过任何一个发展学生智力的契机,让学生在“做”的过程中,借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构、发展能力、完善人格,从而使课堂教学真正落实到学生的发展上.教学细节需进一步改进,教学时应多关注学生.练习(教

50、材第37页)1.证明:因为C是AB的中点,所以AC=CB.在ACD和CBE中,AC=CB,AD=CE,CD=BE,所以ACDCBE(SSS).2.解:在OMC和ONC中,OM=ON,OC=OC(公共边),MC=NC,所以OMCONC(SSS),所以MOC=NOC,即射线OC是AOB的平分线.如图所示,已知AC,BD相交于点O,且AB=DC,AC=BD,能得到A=D吗?为什么? 解析要得到A=D,可证明它们所在的三角形全等,但缺少条件,所以不能直接得到,而AB=DC,AC=BD,若连接BC,则可证得ABCDCB,问题得解.解:A=D.理由如下:如图所示,连接BC,在ABC和DCB中,AB=DC,

51、BC=CB,AC=DB,ABCDCB(SSS),A=D(全等三角形的对应角相等).如图所示,已知AB= DC,AC= BD.求证ABO=DCO. 解析BC是ABC和DCB的公共边,直接利用“SSS”证全等.证明:在ABC与DCB中,AB=DC,AC=DB,BC=CB,ABCDCB(SSS),ABC=DCB,ACB=DBC,ABO=DCO.第课时1.掌握“边角边”定理的内容.2.能初步应用“边角边”判定两个三角形全等.让学生探索三角形全等的条件,体验操作、归纳得出数学结论的过程.通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生观察分析图形的能力及运算能力,培养学生乐于探索的良好品质,以及发现问题的能力.

52、【重点】“边角边”定理的理解和应用.【难点】指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.【教师准备】多媒体课件,直尺、圆规和剪刀. 【学生准备】直尺、圆规和剪刀.导入一:【提出问题】(1)怎样的两个三角形是全等三角形?全等三角形的性质是什么?三角形全等的判定方法“SSS”的内容是什么?(2)如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等吗?此时应该有两种情况,一种是角夹在两条边的中间,形成两边一夹角,一种是角不夹在两边的中间,形成两边一对角,如图所示.设计意图复旧导新,激发学生的学习兴趣,为下面学习做好铺垫,让学生感知“两边一角”的两种情况,建立分类讨论的思想.导入二:如

53、图所示,在湖泊的岸边有A,B两点,难以直接量出A,B两点间的距离.你能设计一种量出A,B两点之间距离的方案吗?说明你的设计理由. 设计意图这样设计既交代了本节课要研究和学习的主要问题,将数学问题与实际生活相结合,又能较好地激发学生求知与探索的欲望.同时让学生知道数学知识无处不在,应用数学无时不有.符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求.导入三:某同学不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成两块(如图所示),现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃.如果只准带一块碎片,那么应该带哪一块去?能试着说明理由吗? 利用今天要学的“边角边”知识可知带黑色的那块.因为它完整地保留了两边及其夹角,一个三角形两

54、条边的长度和夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定下来了.设计意图通过现实生活中的实际问题,让学生感受数学知识在生活中的应用,从而产生探索知识的欲望,增强学生学习数学的兴趣,树立爱数学、学数学的良好情感.过渡语(导入一)刚才通过讨论我们知道两边一角有两种情况,首先我们先研究其中的两边一夹角.一、“边角边”定理的探究思路一1.先任意画一个ABC,再画一个A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,A'=A.(即两边和它们的夹角相等)点拨:要画三角形,首先要确定三角形的三个顶点.解:如图所示,(1)画DA'E=A;

55、(2)在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC;(3)连接B'C'.肯定学生中好的画法,并让学生与教材中的画法进行比较,确定正确的画法.(进一步学习三角形的画法,从实践中体会两个三角形全等的条件)2.引导学生剪下三角形,看是不是与原三角形全等.【得出结论】两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”.也就是说,三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定了.用符号语言表示为:在ABC与A'B'C'中,AC=A'C',A=A',AB=A'B',ABCA'B'C'(SAS).易错提示“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.3.问题:如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其邻角分别相等”,即“两边及其中一边的对角相等”,那么这两个三角形还全等吗?根据学生的讨论,教师应该及时点拨,必要时可以画反例图形.通过反例说明“已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”不一定成立.(让学生了解推翻一个结论可以通过举反例说明)思路二1.