多边形的内角和-文档资料

1、2021/3/291人教版八年级数学上册人教版八年级数学上册 11.3 11.3 多边形及其内角和多边形及其内角和2021/3/2921、在平面内，、在平面内，_ 叫做多边形。叫做多边形。、在多边形中、在多边形中_叫做多边形的对角线。叫做多边形的对角线。、一般地，从一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作边形的一个顶点出发，可以作 _ 条对角线它们将条对角线它们将n边形分为边形分为_个三角形。个三角形。由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形连接多边形不相邻的两个顶点的线段连接多边形不相邻的两个顶点的线段（n-3）(n-2)2021/3/293长方形的内角和是长方

2、形的内角和是多少？为什么？多少？为什么？如果是任意如果是任意四边形呢？四边形呢？二、解疑合探、探寻新知二、解疑合探、探寻新知 （一）多边形的内角和（一）多边形的内角和2021/3/294 讨论:任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？你能找到几种方法？ABCDABCDABCDFE(1)(2)(3)2021/3/295BADC四边形四边形ABCDABCD的内的内角和是多少？角和是多少？ 观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发，观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发，可以做可以做_条条对角线，它们将四边形分成对角线，它们将四边形分成_ 个三角形，所以四边形的内角和为个三角形，所以四边形的内角

3、和为_ 。1 2 3602021/3/296那么如何求此五边形的内角和呢那么如何求此五边形的内角和呢? ?3 180 =5400 说说你的探索思路？说说你的探索思路？2021/3/297ABCDE 三角形三角形 四边形四边形 五边形五边形 1800 2 180= 3600 3 180 =5400 ACBABCD2021/3/298六边形六边形 七边形七边形4 180 =7200 5 180 =9000 那么六边形、七边形的内角和呢？2021/3/299多边形多边形边边数数分成三分成三角形的角形的个数个数图形图形内角和内角和计算规律计算规律三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形七边形七

4、边形n边形边形3 34 45 56 67 7n n1 1n n-2-22 23 34 45 5180180360360540540720720900900( (n n2) 1802) 180( (n n- -2) 1802) 1805 5 1801804 4 1801803 3 1801802 2 1801801 1 1801802021/3/2910 n边形内角和等于最终结论最终结论（n2） 1802021/3/2911.是解决多边形问题的常用辅助线是解决多边形问题的常用辅助线 对角线对角线多边形问题多边形问题 三角形问题三角形问题转化转化（未知）（未知）（已知）（已知）2021/3/291

5、22021/3/2913那么正五边形、正六边形、正八边形、正那么正五边形、正六边形、正八边形、正n边形边形的每个内角分别是多少度呢？的每个内角分别是多少度呢？ 正正n边形边形（5-2）180 5 =108（6-2）180 6 =120（8-2）180 8 =135（n-2）180 n（2）正多边形的内角）正多边形的内角2021/3/2914小试牛刀小试牛刀l1.八边形的内角和等于多少度？十边形呢？八边形的内角和等于多少度？十边形呢？解：（82) 180= 1080（102) 180= 14402021/3/2915 2、已知一个多边形的内角和等于、已知一个多边形的内角和等于1440,求它的边数

6、。求它的边数。解：设这个多边形的边数为解：设这个多边形的边数为n,根据题根据题意可得：意可得：（n-2）180=1440 解得：解得： n=10 答：这个多边形是十边形答：这个多边形是十边形练习练习2021/3/2916求下列图形中求下列图形中 x 的值的值 .（1）（2）巩固练习2x+140+90=360360-80-120-75=180-xx=65x=952021/3/29172、一个多边形的各内角都等于、一个多边形的各内角都等于120，它，它是几边形？是几边形？l解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：l l (n2) 180=120nl l 解得：n=6 l l答：这个多边形是六边形

7、六边形。2021/3/2918ABCD0180CA00360180)24(DCBA因为：这就是说，如果这就是说，如果00180)(360:CADB所以典型例题典型例题2021/3/29192021/3/2920A B CD12345多边形外角：多边多边形外角：多边形的形的边边与它的邻边与它的邻边的延长线组成的角。的延长线组成的角。外角外角678910（3 3）多边形的外角和）多边形的外角和多边形外角：多边多边形外角：多边形的形的边边与它的与它的邻边邻边的延长线的延长线组成的角。组成的角。2021/3/2921如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外

8、角，这些外角的和叫做角的和叫做六边形的外角和六边形的外角和. . 六边形的外角和等于多少六边形的外角和等于多少度？度？解：如图，六边形ABCDEF中， 1+7=180 ，2+8=180 ， 3+9=180 ，4+10=180 ， 5+11=180 ，6+12=180 . 7+ 8+9+ 10 +11+ 12 =（62）180 = 720, 结论：结论：多边形的外角和等于多边形的外角和等于360. 1+ 2+3+ 4 +5+ 6 = 6180 720 = 360.对于对于 n 边形，结论仍然成立！边形，结论仍然成立！例题讲解2021/3/29221 12 23 31 12 23 34 41 12

9、 23 34 45 51 12 23 34 45 56 62021/3/2923从上表中得到了什么结论？从上表中得到了什么结论？结论：结论：任何多边形的外角和为任何多边形的外角和为3603602021/3/2924练习练习1 1： 已知一个多边形，它的内角和等已知一个多边形，它的内角和等于外角和的于外角和的2 2倍，求这个多边形的边数。倍，求这个多边形的边数。 解：解： 设多边形的边数为设多边形的边数为n n 它的内角和等于它的内角和等于 (n-2)(n-2)180180， 多边形外角和等于多边形外角和等于360360， (n-2)(n-2)180180=2=2 360 360。 解得解得:

10、n=6: n=6 这个多边形的边数为这个多边形的边数为6 6。2021/3/2925练习练习2 2：正五边形的每一个外角等于：正五边形的每一个外角等于_，每一个内角等于每一个内角等于_。5X=360X=7272108解：设正五边形的每一个外角度数为解：设正五边形的每一个外角度数为x，由，由多边形的外角和等于多边形的外角和等于360度可得：度可得：所以每一个内角度数为所以每一个内角度数为108 2021/3/2926练习练习3 3：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36求这个多边形的边数。 解：设一个外角为解：设一个外角为x， 则内角为（则内角为（x36） 根据题意得：根据题意得： x+x+36

11、180 x72 360725答：这个正多边形为正五边形。答：这个正多边形为正五边形。2021/3/29271.学会用三角形内角和定理证明多边形的内角学会用三角形内角和定理证明多边形的内角和与外角和；和与外角和；2.会利用多边形的内角和与外角和来解决相关会利用多边形的内角和与外角和来解决相关问题。问题。2021/3/2928问题问题 大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图按逆时针方向跑步的效果图. 请你观

12、察并请你观察并思考如下几个问题思考如下几个问题:(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们体转过的角是哪个角？在图中标出它们.ABCDE12345(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？(3)在上图中，你能求出在上图中，你能求出1+2+3+4+5的大小的大小吗？你是怎样得到的？吗？你是怎样得到的？2021/3/2929从多边形的一个顶点从多边形的一个顶点A A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点到点A.A.最后再转回出发时的方向。在行程中所

13、转的各个角的和，最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。就是多边形的外角和。2021/3/2930由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。转的各个角的和等于一个周角。即：即：多边形的外角和等于多边形的外角和等于3603602021/3/29312021/3/2932回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？l每个内角的度数是每个内角的度数是2180nn 每个外角的度数是每个外角的度数是360n（4 4）正多边形的外角）正多边形的外角2021/3/2933例2：一个正多边形

14、的一个内角为一个正多边形的一个内角为150150， 你知道它是几边形吗？你知道它是几边形吗？ 解：设这个多边形为n边形，根据题意得：（n2）18010n n12答：这个多边形是12边形。另解：由于多边形外角和等于360 而这个正多边形的每个外角都等于 18015030， 所以这个正 多边形的边数等于 3603012。典型例题典型例题2021/3/2934例例3、已知两个多边形的内角和为、已知两个多边形的内角和为1440，且两，且两多边形的边数之比为多边形的边数之比为13，求它们的边数分别，求它们的边数分别是多少？是多少？ 解解:设它们的边数分别是设它们的边数分别是x,y.由题意得：由题意得：

15、（x-2）180+（ y -2）180=1440 x : y=1 : 3 解之得解之得 x =3 y =9 答：它们的边数分别是答：它们的边数分别是3和和9。2021/3/2935 牛刀小试：牛刀小试：（1）八边形的内角和等于）八边形的内角和等于 。（2）已知一个多边形的内角和等于）已知一个多边形的内角和等于2340， 它的边数是它的边数是 。（3）小明在计算多边形的内角和时求得的）小明在计算多边形的内角和时求得的 度数是度数是1000，他的答案正确吗？为，他的答案正确吗？为 什么？什么？ 1080152021/3/2936（4）已知四边形）已知四边形4个内角的度数比是个内角的度数比是1234

16、， 那么这个四边形中最大角的度是那么这个四边形中最大角的度是 。（5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角 都是都是n，则，则n= 。（6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则 这个六边形的每个内角是这个六边形的每个内角是 。 （7）在四边形）在四边形ABCD中，中，A与与C互补，那么互补，那么B 与与D有什么关系呢？为什么？有什么关系呢？为什么？ 1441351202021/3/29371、求下列图形中、求下列图形中x的值：的值：01400 x0 x(1)0 x0150012002x(2)0 x01200

17、80075(3)C0 x0135ABDE0150060(4)ABCD三、随堂练习三、随堂练习2021/3/29382 2、一个多边形的每一个外角都是、一个多边形的每一个外角都是60600 0，这个多边，这个多边形是几边形？它的内角和等于多少度形是几边形？它的内角和等于多少度? ? 3 3、有没有这样的多边形，它的内角和是外角和、有没有这样的多边形，它的内角和是外角和的的3 3倍？倍？ 4 4、一个多边形的每一个外角都相等，且每一、一个多边形的每一个外角都相等，且每一个内角都比外角大个内角都比外角大90900 0，求这个多边形的边数和，求这个多边形的边数和每个内角的度数。每个内角的度数。 202

18、1/3/29398 8、两个多边形的边数比是、两个多边形的边数比是1:2,1:2,两个多边形的内两个多边形的内角和为角和为14401440度度, ,求这两个多边形的边数求这两个多边形的边数, ,7 7、一个多边形的每个内角都比相邻的外角、一个多边形的每个内角都比相邻的外角3 3倍倍多多2020度度, ,求这个多边形的边数求这个多边形的边数, ,6 6、四边形的四个内角的比是、四边形的四个内角的比是8:6:3:7,8:6:3:7,求它的四个内角求它的四个内角, ,5 5、一个多边形的内角和是外角和的、一个多边形的内角和是外角和的4 4倍倍, ,这是几边形这是几边形2021/3/29409、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生怎样变化？请画图说明。怎样变化？请画图说明。内角和减少内角和减少180O内角和不变内角和不变内角和增加内角和增加180O2021/3/294123)-nn（四、课堂小结四、课堂小结5. 5. 已知内角和求几边形已知内角和求几边形: :内角和内角和180+2180+26 6、正、正n n边形每个内角的度数是边形每个内角的度数是 7 7、正、正n n边形每个外角的度数是边形每个外