【精品】人教版中考数学《相似》专题及答案详解

1、【精品】人教版中考数学相似专题及答案 （详解50题）、选择题1 .如图，将图形用放大镜放大，应该属于A.平移变换B .相似变换C.旋转变换D.对称变换【答案】B.【解析】由相似图形的定义，得用放大镜将图形放大，图形的形状相同，大小不相同，所以属 于相似变换，故选B.【知识点】几何变换2.如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即RtAACB ）中截取一个正方形 CDEF,点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF : AC = 1: 3,则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）D. 100cm2A. 200cm2B. 170cm2C. 150cm2【答案】D【解析】

2、设AF = x,则AC=3x,.四边形CDEF为正方形，：EF = CF=2x, EF/BC,V EF II BC ,. AEFsABC ,.EF AF 1 一 ,BC AC 3：BC = 6x,在 RtAABC 中，AB 一，(3x)2 +(6x) 2 - 3V5x ,：3v5x=30,解得 x = 2v5, ：AC = 6v5 BC = 12v5,;剩余部分的面积 =1 X6v5 X12v5 - (4v5) 2=100 (cm2).故选：D.【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用3.如图，在 ABC中，点D为BC边上的一点.且AD=AB=2 , AD ±AB ,过点D作DEXA

3、D ,DE交AC于点F.若DE=1 ,则4 ABC的面积为()A, 42B, 4C.2#D, 8第10题图【答案】B【解析】: ABAD, AD IDE, . Z BAD = Z ADE =90° , d DE II AB , ： / CED = / CAB ,. / C=/ C, .CEDsCAB, DE = 1, AB =2,即 DE ： AB=1 ： 2, /.SADEC : SAACB1= 1：4, ： S 四边形 ABDE ： $ ACB = 3：4, S 四边形 ABDE = SABD+S ADE 2 2X12 2 2X 1= 2+1= 3,SAACB=4,故选 B.4

4、.如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6,绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为()243212.3420 . 34A. 5 b. 5 C. 17 D. 17【答案】A【解析】如图所示：设 DM=x,则CM =8-x,根据题意得：上(8-x+8) >4=34X5,解得：x = 4, ： DM =6,./D=90°,由勾股定理得：BM =1BD2DM 2 <4232 =5,过点 B 作 BH，AH , vZ HBA+ / ABM = / ABM+ / ABM = 90HBA+ =

5、Z ABM ,所以RtAABH s' MBD ,BH BDBH. AB BM ,即 82424,解得BH= 5 ,即水面高度为 5 .5.如图，在 ABC中，点D,E分别在AB和AC边上,B , C重合）连接AM交DE干点N ,则AD ANA. AN AEBDB. MNMNCEDNC.BM(NEMCDE II BC , M为BC边上一点（不与点 ）DND. MCNEBM【解析】根据 DE II BC,可得 ADN sabm与 ANEs amc ,再应用相似三角形的性质可得结论. DN II BM ,NE ANDNDN.ADN ABM , ：. BMNEMC .故选C.ANAM，: NE

6、 II MC，: ANEamc ,6如图,面积为1,A. 20在等腰三角形 ABC的面积为B . 22ABC中，AB=AC,图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的42,则四边形DBCE的面积是（C. 24D. 26C【答案】D【解析】二.图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1, AABC的面积为42, 最小的三角形与1ABC 的相似比为 42, . ADEsabC,SVADE 168 SVABC = 42 = 21 ,SvADEDE- SVABCBCSAADE = 21 X42= 16,：四边形 DBCE 的面积=$ ABC $ ADE =26,7如图，将图形用放大镜放大，应该属于

7、（DE,B BC =4x故选项D正确.A.平移变换B .相似变换C.旋转变换D.对称变换【答案】B【解析】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选： B.8 .如图，将 ABC沿BC边上的中线 AD平移到 A'B'C'的位置，已知 ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为 9,若AA = 1,则A'D等于A.2B.3C.43【答案】B【解析】由平移可得 ,ABCs a'mn,设相似比为 k, SA ABC = 16,SAA'MN =9,：k2=16:9,：k= 4:3，因为 AD和A'D分别为两个三角形的中线 ，：AD:A'D

8、 = k= 4:3, v AD = AA'+A'D, AA':A'D = 1:3,AA' = 1,则 A'D = 3,故选 B.9 .如图，在 ABC中，AC = 2, BC = 4, D为BC边上的一点，且/ CAD = Z B.若ADC的 面积为a ,则4ABD的面积为（）57A. 2aB. 2C. 3aD. 2【答案】C._ 一一一一 一 BC 一【解析】在ABAC和4ADC中，:/C是公共角，/CAD = / B.,：ABACsADC,: 2,ACS/ABC , BC、2.=()4, 乂 ,ADC的面积为a , /. ABC的面积为4a,

9、.ABD的面积为3a.QAPSVDAC 八C10.如图，丫 ABCD,F为BC中点，延长AD至E,使DE:AD =1:3，连接EF交DC于点G,则S DEG:SACFG=()B.3:2C.9:4D.4:9A.2:3【解析】因为 DE:AD =1:3,F为BC中点，所以DE:CF = 2:3, Y ABCD中,DE/CF,所以 DEG s CFG,相似比为11.把边长分别为2:3，所以 SA DEG:SCFG = 4:9.故选 D.1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（1A. 61B. 31C. 51D. 4H【解析】二四边形ABCD与四边形CE第8题答图CEFG都是正方形

10、，：AD=DC=1AD DH ADHsECF, ： CE CH , 16 ,故选A.DH,CE=2, AD/CE, ：111 DH ,解得DH= 3，:阴影部分面积为2x3x1 =12.如图，在边长为，''3的菱形abcd中,B 30 ,过点A作AE BC于点E现将 ABE沿直线AE翻折至 AFE的位置，AF与CD交于点G .则CG等于（）1.3A. ”3 1 B.1C, 2 D,2【解析】AE12 3ABE C9题图BC , AEB=90 ° ,菱形 abcd 的边长为 ,3 , B 30AE= 2 AB=BE=CF= VAB2 AE2 =1.5, BF=3, CF

11、=BF-BC=3-用,< AD II CF, ： AGD FGC,：DG AD 3 CG .3CG CF , ： CG 3后,解得CG=第1 ,故选A.13 .如图，在 ABC中，D在AC边上，AD ： DC = 1 ： 2, O是BD的中点，连接 A0并延长交BC 于 E, M BE ： EC= ( )A. 1 ： 2 B. 1 ： 3 C. 1 ： 4 D. 2 ： 3【答案】BBE BO【解析】过点D作DF II AE ,则EF OD BE : EC=1 ： 3.故选 B.EF AD 11y轴上的点C反射后，经过点 B (1, 0),则点C,FC CD 2 , : BE ： EF

12、： FC=1 ： 1 ： 2,14.如图，一束光线从点 A (4, 的坐标是C. (0, 1)D. (0, 2)B.(0,12)A. (0,45)【答案】B【解析】解：过点A作AD ±y轴于点D, V Z ADC= Z COB=90 °OCDAC，: OBDCADOC14 OC,/ ACD= / BCO , ： OBA44,解得：OC=5 , .点C (0, 5),故选 B.15 .如图，在菱形 ABCD中已知AB=4, / ABC=60 ° , / EAF=60 °，点E在CB的延长线上， 点F在DC的延长线上，有下列结论： BE=CF,/ EAB=/

13、CEF; ABEsefc,若 /BAE=15° ,则点F至UBC的距离为2点 2 则其中正确结论的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D, 4个【答案】B【解析】连接AC，在菱形ABCD中，AB=BC , Z ABC=60 ° , ： ABC是等边三角形，：AB=AC , / BAC=60 ， / EAF=60 ，:/ EAB+ / BAF= / CAF+ / BAF=60 ，即/ EAB= / CAF , 二 Z ABE= Z ACF=120 ° , ： ABEA ACF , ： BE=CF ,故正确；由 ABE ACF ,可得 AE=AF ,/ EAF=60

14、° ,.AEF 是等边三角形，：/ AEF=60 ° , . . Z AEB+ ZCEF=60° , V Z AEB+ Z EAB=60 °/ CEF=/EAB ,故正确；在 ABE 中，/AEBv60°，/ECF=60° , :错误；过点A作AGBC于点G,过点F作FHEC于点H, < / EAB=15 ° , / ABC=60 ° , ：/ AEB=45 ° ,在 RtAAGB 中，/ ABC=60 ° , AB=4 ,1：BG= 2 AB=2 , AG=4 BG= 273 ,在 Rt

15、AAEG 中，/ AEG= / EAG=45 ° , ： AG=GE= 2页, .EB=EG-BG= 2 3-2, / BAC= / EAF=60 ° , ： / BAE= / CAF , / ABC= / ACD=60 ° , ABE= Z ACF=120 °EAB = FAC AB =AC在AEB 和AFC 中，ABE = ACF =120，: AEB AFC , ： AE=AF , EB=CF= 2而-2 ,在 Rt CHF 中，./HCF=180° -/BCD=60° , CF=2-2, . FH=CF?sin60°

16、 = （2代-2）? 2 =3- ' 3.:点F到BC的距离为3-43.故错误.故选B.D15.下列命题是真命题的是（）A.如果两个三角形相似，相似比为B.如果两个三角形相似，相似比为C.如果两个三角形相似，相似比为D.如果两个三角形相似，相似比为 【答案】B4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9,那么这两个全角形的面积比为4:9,那么这两个三角形的面积比为2:34:92:34:9面积比是相似比的平方.4:9;面积比是相似比的平【解析】如果两个三角形相似，那么这两个三角形的周长比等于相似比,即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长

17、比为方，即16:81.故选B.17 .如图， ABOsCDO,若 BO=6, DO = 3, CD =2,则 AB 的长是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C.AB 6AB BO【解析】 ABOsCDO, ： CD DO , BO = 6, DO=3, CD = 2, ： 23 . : AB=4.故选C.二、填空题18 .在平面直角坐标系中， ABO三个顶点的坐标分别为 A （ 2, 4）, B （4, 0）, O （0, 0）.以2 原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的2 ,得到 CDO,则点A的对应点C的坐标是.【答案】（1, 2）或（1, 2）1111【解析】点A的对应点

18、C的坐标是（一2X 2 , 4X 2）或（2X （ 2）, 4X （ 2）, 即（一1, 2）或（1, 2）.19 .如图，？ ABCD的对角线 AC, BD交于点O, CE平分/ BCD交AB于点E,交BD于点F, 且/ABC =60° ,AB=2BC,连接 OE.下列结论： EO，AC;S AOD = 4SA OCF; AC: Bd = V21. 7；FB2=OF?DF.其中正确的结论有 .（填写所有正确结论的序 号）A E R【答案】【解析】在 Y ABCD 中，AB/DC, / ABC=60 ° , ： / BCD=120 ° , CE 平分/ BCD,

19、： / BCE=60 ° BCE 是等边三角形，：BE=BC=CE , / BEC=60 ° ./AB=2BC , ： AE=BE=CE ,EAC=/ACE=30 ° , ACB=90° .在 Y ABCD 中，AO=CO , BO=DO , . OE 是 ACB1的中位线，：OE/BC, a OEXAC,故正确；v OE是 ACB的中位线，：OE= 2 BC, 二OE/BC, ： OEFs BCF, ： OF: BF=OE : BC=1 : 2, ： $ AOD=S BOC=3S OCF,故错误；在RtAABCbc2 + Prc-BC +渴 BC上中，

20、AB=2BC，: AC= BC, . OC= 2 BC.在 RtABCO 中，OB=上 BC一-2, : BD= 7B bc , : AC : BD= # BC:巾 BC =衣1 : 7,故正确；OF: BF=1 : 2, ：BF=2OF, OB=3OF, OD=OB , ： DF=4OF , ： BF2= (2OF)2=4OF2,OF - DF=OF - 4OF=4OF2, ： BF2=OF - DF ,故正确.20.在口 ABCD中，E是AD上一点，且点 E将AD分为2 ： 3的两部分，连接BE、AC相交于F,则 SAAEF : SACBF 是.【答案】4: 25或9 ： 25【解析】在口

21、 ABCD 中，V AD B BC, ： AEFs CBF.如答图 1,当 AE ： DE=2 : 3 时，AE : AD=2 : 5, v AD=BC , ： AE : BC=2 : 5,. . SA AEF : SACBF=4 : 25;如答图 2,当 AE ： DE=3 : 2 时，AE : AD=3 : 5,v AD=BC , ： AE : BC=3 : 5,/.SAAEF : SACBF=9 : 25.故答案为 4 : 25 或 9 ： 25.（第16题图答图1）（第16题图答图2）21.如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90 AC 于点 E, DE=.AB=10 , BC=6

22、 , CD II AB , / ABC 的平分线 BD 交第1T睡窗【答案】9石.5【解析】: BD平分/ ABC , ：/ ABD= / CBD ,. AB / CD,D=Z ABD,CBD=/ D, ：CD=BD=6.在 RtAABC 中，AC=，A曰-BC2 =，1(2- 62=8. . AB / CD,： ABEsDCE,.CE DE CD63一=-=-=-=AEBE AB 10 5.CE=3AE, DE=3BE. 55即 CE=3ac=|x 8=3. 88在 RtA BCE 中，BE=，BG+ CE2 =，62 + 32 = 3V5.DE=3BE=-X 3v5=9v5. 55522.

23、如图，由两个长为2,宽为1的长方形组成“7字图形。(1)将一个"7字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7字图形ABCDEF,其中顶点AOB位于x轴上，顶点B, D位于y轴上，O为坐标原点，则 0A的值为.(2)在(1)的基础上，继续摆放第二个"7字图形得顶点F1,摆放第三个"7字图形得顶点F2.依此类推，摆放第n个"7字图形得顶点Fn-1则顶点F2019的坐标为.1 6062;5_【答案】（1） 2（5, 405瓶）【解析】（1）因为/ DBC+/BDC=90° , D DBC+/ OBA=90 °，/ DCB= / BOA=9

24、0 °，所以/1BDC=/OBA,所以 CDBsOBA,所以 OB:OA=CD:CB= 2 .52.5（2）因为 OB:OA=1:2,AB=1,由勾股定理得 OB= 5 ,OA= 5 .因为/ CDH= / ABO , / DHC二、52 5/BOA=90 ° ,CD=AB,所以 DHC/BOA,所以四边形 OACH 为矩形，DH= 5 ,HC= 5 ,3.56 5同理MAFsoba,由 AF=3 得，AM= 5 , fm= 5 ，在直角三角形 NCF 中，CN=AM二3.5 _5_2/55 ,CF= V2 ,NF= VcF2 CN2 = 5，在直角三角形 ABC中，AC=

25、 J5,F点的坐标为（53、553、56.5+ 5 ,而+ 5）；根据规律F1比F的横坐标增加 5单位、纵坐标增加 5 , F, F1点2,5 3,5_ 立3256.一的坐标为（5 + 5 *2,、后+5 X 2） ;F2比F1的横坐标增加 5单位，纵坐标增加 52、, 5 3 5,52 5 3 5单位，F2点的坐标为（5 + 5x3, J5+5 X3）;所以F2019的坐标为（5 + 5_ 在6062.5_X2020, 新+ 5 X 2020）,即（5, 405 石）.=三、解答题23. （9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫 做相似四边形.相似四边

26、形对应边的比叫做相似比.（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）.条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）两个大小不同的正方形相似.（命题）（2）如图 1,在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中，/ ABC= / A1B1C1 , / BCD= / B1C1D1 ,AB BC CDA1B1B1C1 C1D1 ,求证：四边形 ABCD与四边形A1B1C1D1相似.第24题图1第24题图2（3）如图2,四边形 ABCD中，AB II CD, AC与BD相交于点O,过点O作EF I

27、I AB分别交 AD, BC于点E, F.记四边形ABFE的面积为S1 ,四边形EFDE的面积为S2,若四S2边形ABFE与四边形EFCD相似，求S1的值.【解题过程】（1）解：（1）四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等； 三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例；两个大小不同的正方 形相似.是真命题.故答案为假，假，真.（2）如图,分别连接 BD、B1D1 ,BC CD. / BCD=Z B1C1D1B1C1C1D1 . BCDA B1C1D1BC BDBDB1D1CBD=/C1B1D1 , / CDB=/C1D1B1 , B1C1 B1Dl ,AB BC

28、AB又ABC=/A1B1C1 , A1B1 B1C1ABD= / A1B1D1 , A1B1AB AD.AB1 AD1 , / ADB= Z A1D1B1 , / DAB= / D1A1B1 ,ABBCCDAD. AB1 B1C1 C1D1 AD1 , /aBC= Z A1B1C1 , ZBCD= ZB1C1D1 , Z ADC= ZA1D1C1 , ZDAB= ZD1A1B1 ,：四边形ABCD与四边形 A1B1C1D1相似.DE EF丁四边形ABFE与四边形EFCD相似，：AE AB ,DE OE OF. EF=OE + OF, ： AEDEABOE DE OC OFAD AB AD AB

29、OF 2DE DFAB，: AD AE ,21ABV EF / AB / CD , .DE DE OE :AD AD AB. AD =DE +AE, ： DE AE AE ,皇1：2AE=DE +AE ,即 AE=DE , ： S224.如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90 , AC=BC.P 为ABC 内部一点，且ZAPB= / BPC=135 .(1)求证： PABA PBC;(2)求证：PA=2PC;(3)若点P到三角形的边 AB, BC, CA的距离分别为h1, h2, h3.求证：h12= h2 h3.ACB【解题过程】解：(1)证明：在 ABP 中，/APB=135

30、6;，:/ ABP+/ BAP=45 ° , 又 ABC为等腰直角三角形，/ ABC=45 ° ,即/ ABP+ZCBP=45° ,BAP=/CBP,又/ APB=/BPC=135° , /. PABA PBC; 4分PA PB AB f (2)由(1)知 PABspbC,所以 PB = PC = BC =42 ,PA PA PB于是，PC = pB PC =2,即 PA=2PC; 9 分(3)如图3,过点P作边AB, BC, CA的垂线，垂足分别为 Q, R, S,则PQ=h1 ,PRCP 1 a 1PR=h2, PS=h3,在 RtA CPR 中，C

31、R =tanZ PCR= AP = 2 , h3 = 2 ,即 h3=2 h2,ABhi又由 PABsPBC,且 BC =72 ,故 h2 = V2 ,即 hi =、，2a 2ac bc c h2,于是 h12=h2 - h3. 14 分A S ®Q3P R B1. (2019 重庆B卷)在DABCD中，BE平分/ ABC交AD于点E.(1)如图 1 ,若/ D=30° , AB= J6 ,求 ABE 的面积；(2)如图2,过点A作AFDC,交DC的延长线于点 F,分别交BE , BC于点G, H ,且AB=AF , 求证：ED-AG=FC.解：(1)过点E作ENLAB,交

32、BA延长线于点N,垂足为N,在DABCD 中，AD/BC, AD /CB, /D=/ABC=30° , ： / ABC= Z EAN=30 BE 平分/ ABC , ABE= / CBE, v AD II BC , ： / AEB= / CBE, ： / AEB= / ABE ,AB=AE=cos30在 RtAAEN 中，EFAEEF3.22S ABE1 -AB EF 216 3.23,32 122(2)延长BE交CD延长线于点 M ,设AG.在DABCD 中，AB /CD, AD / BC,且 CD= AB a,. AB=AF , AF= AB a, GF= a x,. AB /C

33、D, ：/ABM=/M, /CBE=/AEB,. BE 平分/ABC, ABM= / CBE, ： / ABM= / AEB , ： AE= AB a；./ AEB= / DEM , d / DEM= / M , ： DM= DEAG AB. AB II CD, ： FG FM ,. AF ±DC,F=90° , , _2 2_ 2:AFDFAD ,222,aa c a b ，222a2 2ac c2 2ab b2, , ，xa xAE a2aax a b c ,解得： 2a b c ； DE b, DF a c, AF a ,：AG+CF=2a b c2a b c 2a

34、b ca2 2ac bc c2a 2ac cbc 2abb2bc,“b DE2a b c2a b c2abc，: DE-AG=CF.25.如图，正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于 F,AP=FD.AF求AP的值;如图1,连接EC,在线段EC上取一点 M,使EM=EB,连接MF,求证:MF=PF;(3)如图2,过点E作ENLCD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQ=AP,连接BQ,BN,将4AQB 绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点 Q落在AD上.请判断点B旋转后的对应点B是否落在 线段BN上，并说明理由.第25题图【分析】(1)通过相似构造等量解得

35、对应线段AF与FD的长度，来求解它们之间的比例；(2)通过连接PD,构造全等转化/ 3与/ 1相等,再利用第一问求得的 AP的长度得到EP= EC,从而得到/ 1 =/4，故转化/ 3 = /4,从而证明4 PFDW FMC;(3)构造三角形，通过证明相似，求得对应线段长 度,进行比较，从而得到结论.解：(1)设 AP = x,则 FD = x,AF =2 x,.在正方形 ABCD 中,AB / CD,.PAFsCDF,AF _ PF _ AP 2x_ x 2FD CF CD - x 2 x =4- 2x，一 ，,解得 xi = J5-1, x2 = - J5 - i ,AF =2- 班-1)

36、=好 1. x>0,. x= V5-1, . FD V5- 12(2)连接 DP, /PA=DF,Z PAD=Z ADC,AD =CD, ： PADFDC, ./ 3=Z 2,PD = FC.又 AB /CD,： / 1 = Z 2.又EC=遮，EB = EM = 1, ：MC=石-1 =FD=AP.PE = PA+AE=布-1+1 = = EC./ 1 = / 4,： / 4= / 3.又 FD= MC,PD = FC, ： PFDA FMC, ： PF= FM.(3)如图2,在AD上取一点 Q',使AQ'=AQ,在BN上取一点B',使AB' = AB,

37、连接B'Q',作B'GXAD于点G,交EN于点K,ftV tan / NBE = 2,AB = AB' = 2,= BB' =5高-2=t/5. BB'= v55 ,B'N = BN1V NB'K NBE, ： B'K = 5,kn = .B'G= 5,DG= 5 ,_213_.Q'G=3- 75 - 5 = 5 用66 - 25、5在RtA B'GQ'中，/ B'GQ' = 90° ,利用勾股定理可得 B'Q'=_266- 25 5而(5-1)?5

38、,. B'Q'WBQ, 点 B'不在 BN 上.26.如图，在 RHABC 中，/ C=90° , AC=6./BAC=60 , AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D ,过点 D 彳DE/AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE , AC于点F,G. (1)求CD的长。EF(2)若点M是线段AD的中点，求DF的值。(3)请问当DM的长满是什么条件时，在线段 DE上恰好只有一点P,使得/ CPG=60 ?解：(1) AD平分/ BAC, Z BAC=60 ,10AC= 2 / BAC=30 。2 分在RtADC 中，DC=AC ta

39、n30 =2 ,4 分(2)易得,BC=6出，BD=4出.5分由 DE II AC ,得/ EDA= / DAC , D DFM= / AGM. . AM=DM , ： DFM AGM ,：DF=AG.由 DE II AC.得 BFEA BGA ,EF BE BDAG = AB = BC ,7分EF EF BD 4,3 2. DF =AG= BC=6V3 = 3,.8(3);/ CPG=60 ,过C,P,G作外接圆，圆心为 Q.CQG是顶角为120°的等腰三角形。当。Q与DE相切时，如图1,过Q点作QHLAC,并延长HQ与DE交于点P,连接QC, QG。11_4 _设。Q的半径 QP

40、=r，则 QH= 2 r, r+ 2 r=2 3，解得 r= 3 J3 ,P只有一个.12分E分别在边AB, BC上，将O,求证：BD = 2DO.4CG= 3 73 x x/3 =4,ag=2.DM DF 4 DM 4易知 DFM s agm ,可得 AM = AG = 3，则 AD = 7。16.3DM= 7 .9当。Q经过点E时，如图2,过C点作CKAB ,垂足为K.设。Q的半径 QC=QE=r,则 QK=3 ' 3 -r.143在RtEQK中，12+ (3志-r) 2= r2,解得尸 9,14%3_ 14.CG= 9 乂芯=3 .14.3易知4口尸仙64八6吊，可得口吊= 5

41、.1分当。Q经过点D时，如图3,此时点M与点G重合，且给好在点A处, 可得DM=481份16、. 314、3_:综上所述，当DM= 7或5 <DM<4J3时，满足条件的点27.如图，在等腰 RtA ABC 中，/ ACB = 90°, AB=14。2,点 D, 线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF.(1)如图1 ,若AD =BD ,点E与点C重合，AF与DC相交于点 (2)已知点G为AF的中点.如图2,若AD=BD, CE=2,求DG的长.若 AD = 6BD,是否存在点 E,使得 DEG是 直角三角形？若存在，求 CE的长；若不存在，试说明理由.AA图

42、2A图3（第24题图）解：（1）由旋转的性质得：CD = CF, / DCF =90°, ABC是等腰直角三角形， AD = BD ,./ADO =90°, CD = BD=AD.DCF = Z ADC .在 ADO和 FCO中AODFOC,ADOFCO,AD FC： ADO FCO.,.DO = CO.BD = CD = 2 DO.（2）如答图1,连结BF,分别过点 D, F作DNLBC于点N, FMLBC于点M . DNE = Z EMF=90°.又NDE = / MEF, DE = EF, DNEAEMF . ：DN=EM.答图1又BD：7应，/ ABC =

43、45°, ：DN = EM=7, ：BM = BC-ME-EC =5, A MF = NE = NC- EC = 5. ：BF = 5无点D, G分别为AB, AF的中点.1 5 .2 . DG = 2 BF = 2.过点D作DH，BC于点H. AD =6BD , AB= 14 应，：BD = 2 RI）当/ DEG=90°时，有如答图2, 3两种情况，设 CE = t. . / DEF =90°, Z= DEG ,:点E在线段AF上.：BH = DH=2, BE=14t, HE = BE - BH = 12-t. DHEsECA, EC = CA ,即 t =

44、14 ,解得 t = 6±2行， ：CE=6+2 无或 CE=6 2 夜.AAn)当DG II BC时，如答图4.过点F作FK，BC于点K,延长DG交AC于点N ,延长AC并截取MN = NA,连结FM .则 NC= DH=2, MC = 10.设 GN=t,则 FM = 2t, BK=142t.,. DHEAEKF. ：KE = DH = 2, /. KF= HE=14-2t. MC = FK, ： 142t=10, t = 2. GN = EC = 2, GN II EC,：四边形GECN是平行四边形.而/ ACB =90°,：四边形GECN是矩形.EGN = 90&#

45、176;.:当 EC=2 时，有/ DGE = 90°.答图4田)当/ EDG=90°时，如答图5.过点G, F分别作AC的垂线，交射线 AC于点N, M,过点E作EKXFM于点K,过点D作 GN的垂线，交NG的延长线于点P.则 PN=HC = BC-HB = 12.设 GN=t,则 FM = 2t,PG=PN-GN = 12-t.由 DHEEKF 可得 FK= 2, .CE = KM =2t-2. .HE = HC-CE=12- (2t2) = 14 2t, .EK=HE=14-2t,AM =AC + CM=AC + EK=14+142t = 28 2t,.11 .MN

46、= 2 am = 14t, NC = MN -CM =t.2 .PD=t-2.PG PD 12 t t 2由 GPD-A DHE 可得 HD = HE ,即 2 = 14 2t ,解得 t1 = 10 ", t2=10+ 国(舍去)，：CE=2t-2 = 18-2田4.所以，CE的长为6 + 2夜，6 2夜，2或18 2房.答图528. (1)如图1, E是正方形ABCD边AB上一点，连接 BD、DE,将/ BDE绕点D逆时针旋 转90° ,旋转后角的两边分别与射线 BC交于点F和点G.线段DB和DG的数量关系是；写出线段BE, BF和DB之间的数量关系.(2)当四边形 A

47、BCD是菱形，/ ADC=60。，点E是菱形ABCD边AB所在直线上一点，连 接BD、DE,将/ BDE绕点D逆时针旋转120° ,旋转后角的两边分别与射线 BC交于点F和 点G.如图2,点E在线段AB上时，请探究线段 BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出 证明；如图3,点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M ,若BE=1,AB=2 ,直接写出线 段GM的长度.G解：（1）答案：DB=DG./ BDE绕点D逆时针旋转90°得到/ GDF,Z EDF= Z GDB=90 ° , /BDE=/GDF,.四边形ABCD是正方形， 1：/ DBC= /

48、 DBA= 2/ABC=45 .vZ BDG=90 ° ,DBG= / G=45° .：DB=DG.线段BE, BF和DB关系为：BF+BE=v2BD,理由如下: vZ EDB= / FDG , DB=DG, / DBE= / G, . EDBAFDG.：BE=GF.故答案为DB=DG.在 RtA BDG 中，vZ DBG=45 ° ,cos/DBG=BD=, BG 2 , 即 BG=v2BD,又 BG=BF+FG=BF+BE,：BF+BE= v2BD.(2)线段BE, BF和DB关系为：BF+BE=v3BD,理由如下:/ BDE绕点D逆时针旋转120°

49、得到/ GDF,EDF=/GDB=120° , /BDE=/GDF,四边形ABCD是菱形，：/ ABC= / ADC=60 ° , BD 平分/ ABC,1EBD=/DBG=1/ABC=30 , 2，：/G=180° - Z DBG- Z BDG=30 ° ,G=Z DBG ,：BD=GD ,vZ EDB= / FDG , DB=DG, / DBE= / G, . DBEADGF,：BE=GF, ：BG=BF+GF=BF+BE.过D作DH，BG于H ,又 DB=DG, _1：BH =1BG, 2，在 RtA BDH 中,/ DBG=30 ° ,

50、.cosZHBD= .BH=立BD, 2，又 BH =；BG,BG= v3BD.又 BG=BF+BE ,：BF+BE= v3BD.(2) GM=y,理由如下：由旋转可知，/ BDF=1200,又ABC=600,四边形 ABCD为菱形， CDB= Z CBD=1Z ABC=300 ,2：/ FDC= / BDF- / BDC=900 ,在 RtACDF 中，/ DCF=1800-Z BCD=600 ,.匚一CD2FC-COT. AB / CD,CDMA BEM_ BD 2,CM _ CD _ 2''Bm" = bE =彳，.-cm=|bc=4. 33由（2）可知， BD

51、EAFDG, .GF=BE=1.：GM=FG+FC+CM=1+4+ 4=.3 3,DB平分/ ADC ,过点B作BM / CD交AD于M .连接CM29.如图,/ ABD= / BCD =90 交DB于N.（1）求证：BD2 =AD CD;CD=6, AD=8 ,求 MN的长.D3解：（1）DBC ,证明：V BD 平分/ADC, ： / ADB= / BDC , v Z ABD= Z BCD=90 , /. DABABD ADcd.:CD = BD，： BD2=AD（2）由（1）可知：BD2=ADBD=4 也又AD=8 ,ZBDC= ZABD=30 °AD2 BD2 . 82 4

52、3 2：AB=,又/ ABD= / BCD =90CD. V CD=6,AD=8 ,：.1A AB= 2 AD, ADB =30° ,，:/ A=/ DBC =60/ MBD =30,A ABM = / ABD- / MBD =60，: ABM是等边三角形，故/ CD, BDC= BM=AB=4 ,AB DB ABDA BCD, ： BC CD ,AB BC=CDDB4 6-=2 . 34.3,BM II CD,CBM =180 °-/ BCD =90°MN MB :CN CD，:CM=加2 CB2422.3 22、.7V BM II CD, ：BMN sDCN

53、,：CN=1.5MN23,CN+MN=CM= 2730.在 ABC中，已知D是BC边的中点，G 于点E、F.是 ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC(1)(2)BE如图，当EF II BC时，求证：AECF 1AF如图，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是 否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 (3)如图，当点E在AB的延长线上或点 如果成立，请给出证明；如果不成立,F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立?请说明理由 . DG 1解：(1) G 是 ABC 重心， AG 2,BE DG 1 CF DG又 EF II BC, AE AG 2, AF AG(2) (1)中结论成立，理由如下：如图，过点1 BE CF 11. 12,则 AE AF 2 2A作AN II BC交EF的延长线于点N ,FEBECB的延长线相交于点M ,则AEBM CF CMAN AF ANBE CF BM CM BM CMAE AF AN ANAN又 BM CM