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文档简介
1、初中数学竞赛题典数的整除 题l 所有四位数中,有()个数能同时被入3,5,7和11整除? (A)l(B)2(C)3(D)4 题2 设n是 100到 200之间的自然数,则满足7n2是5的倍数的。共有()个题3一个六位数能被12整除,这样的六位数共有多少个 (A)4 (B)(C)8(D)12 题4 已知7241可被40至50之间的两个整数整除,这两个整数是(), 题6 n是一个两位数,它的数码之和为a当n分别乘以3,5,79以后得到4个乘积如果其每一个积的数码之和仍为a,那么,这样的两位数n有() 题8设某个n位正整数的n个数宇是1,2,n的一个排列,如果它的前k个数字所组成的整数能被k整除,其
2、中k1,2,n,那么就这个n位数为一个“好数”例如,321就是一个三位“好数”,因为1整除3,2整除32,3整除321那么六位“好数”的个数为()题9能被11整除的最小的九位数是题12在自然数1,2,3,1990,1991中不能披7整除的数有()个题13将自然数N接写在任意一个自然数的右面(例如,将2接写在35的右面得352),如果得到的新数都能被N整除,那么N称为魔术数,在小于l30的自然数中,魔术数的个数为()题14在所有的五位数中,各位数字之和等于43且能被11整除的数是()。题15定义:如果n个不同的正整数,对其中的任意两个数,这两数的积能被这两数的和整除那么,叫这组数为n个数的祖冲之
3、数组。例如:60,120,180这三个数就构成一个三个数的祖冲之数组,(因(60×120)÷(60120),(60×180)÷(60180),(120×180)÷(120180)都是整数)请你写出一组四个数的祖冲之数组题16 设a、b、c为整数,且ab和ab均可被c整除,求怔:a3b3可被c2整除题17 设a、b、c为正整数,求证:a3(bc)b3(ca)c3(ab)可被abc整除题19 一个魔方是由自然数组成的正方形网格。它有如下性质:每一行,每一列及两条对角线上的数的和都相同,这个值称为魔方和。求证:每一个3×3大小的魔
4、方的魔方和都能被3整除。题20 求证:如果两个不可约分数的和是整数,那么这两个分数的分母相同。题21 设a和b为自然数,使得a2ab1可被b2ba1整除,求证:ab。题22 自然数a、b、c、d都可以被abcd整除,其中abcd0。求证:abcd1。题23 使求出所有这样的自然数n,使得n33可被n3整除。题26 圆上有9个数码,已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下,得到一个9位数并且能被27整除。求证:如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话,那么所得的一个9位数也能被27整除。题27 任意给定一个自然数A,把A的各位数字按逆序写出来,形成一个新的自然数A。试证:AA是9的倍数。题
5、28 设n是正奇数,试证:1n2n9n3(1n6n8n)能被18整除。题29 求证:被1001整除。题30 求证:7|(2222555555552222)。题31 求证:对任何自然数,数(2n1)n3都可被2n3整除。题33 给定自然数a,b和n,已知对任何自然数k(k0),数akn能被bk整除,证明:abn。题34 设k为正奇数,证明12n整除(1k2knk)。题35 求证:467|512367537203。题36 已知最简分数可以表示成。试证:分子m是质数1993的倍数。题37 设p与q是自然数,满足。求证:p可被质数1979整除。题38 设p为奇质数,求证:的分子a是p的倍数。题39 给
6、定,其中是不可约分数,试证:m能被5整除。题40 试证:将和写成一个最简分数时,m不会是5的倍数。题41 设n是正偶数,求证:(2n1)不整除(3n1)。题42 试证:对每一个自然数n,数1199721997n1997不能被n2整除。题46 一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b,如果a恰是b的3被,我们称a是一个“希望数”。(1)请举例说明:“希望数”一定存在。(2)请证明:如果a,b都是“希望数”,则一定有729|ab。题47 求证:对任何自然数n,都有120|n55n34n。题48 求证:n(n21)(n25n26)可以被120整除。题49 试证:n2(n21)(n24)可
7、以被360整除。题50 设n是任意自然数,求证:是整数。题51 若干个整数的和能被6整除,求证:这些数的立方和也能被6整除。题52 今有6根金属棒,每根的长度都是1m,能否将它们锯成10根27cm长、12根15cm长和25根6cm长的短棒?(锯棒时的损耗可忽略不计)题53 柯楼南契大蛇有1000个头。神话中的大力士能一次用剑看去1,17,21或33个头,但是大蛇又相应地生出10,14,0或48个头。问大力士能战胜柯楼南契大蛇吗?题54 一天我发现了如下的魔术钱币机:如果我放入一枚一分的硬币,出来一枚5分硬币和一枚一角硬币;如果我放进一枚5分硬币,机器给出四角硬币,而如果我放如一枚一角硬币,我取
8、回3枚一分的硬币我用一枚一分的硬币开始,反复进行以上过程,能出现我刚好有一美元硬币的机会吗?验证答案题55 是否存在两个不等于0的整数a和b,其中之一可被它们的和整除,另一个可被它们的差整除?题56 一个凸n边形被划分成黑、白两色的若干个三角形,使得任意两个三角形要么有公共的边(这时它们染不同颜色),要么有公共顶点,要么没有公共顶点。而多边形的每条边都是某个黑色三角形的边。证明:3|n。题57 求证:不存在整数a、b、c、d,使当x19时,ax3bx2cxd1,以及当x62时,ax3bx2cxd2。题58 公共汽车票的号码是一个六位数,若一张车票的号码的前三个数字之和等于后三个数字之和,刚称这张车票是幸运的试证:所有幸运车票号码的和能被13整除,题59 某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四
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