全国优质课一等奖反证法（课堂PPT）

1、2021/3/2912021/3/292 古时候有个人叫王戎，古时候有个人叫王戎，7岁那年岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：有王戎站着没动。他说：“李子是李子是苦的苦的,我不吃。我不吃。”小伙伴摘来一尝，小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。李子果然苦的没法吃。小故事2021/3/293小小伙伴伙伴问王戎问王戎: :“这就怪了这就怪了! !你又你又没有吃没有吃, ,怎么知道李子是苦的啊怎么知道李子是苦的啊? ?”王戎说王戎说

2、: :“如果李子是甜的如果李子是甜的, ,树长在路边树长在路边, ,李子早就没了！李子早就没了！李子现在还那么多李子现在还那么多, ,所以啊所以啊, ,肯定李子是苦的，不好吃肯定李子是苦的，不好吃! !”2021/3/294将将9个球分别染成红色或白色无论怎样个球分别染成红色或白色无论怎样染色，至少有染色，至少有5个球一个球一 定是同色的。正定是同色的。正确吗？确吗？ 球染色问题球染色问题2021/3/2950, 0,. 221, 1, 0, 0. 1中至少有一个大于求证：不全为零，一个不大于中至少有求证：cbacbacbabababa数学中常见实例分析：2021/3/296 先假设结论的反面

3、是正确先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确成立，从而得到原结论正确这种证明方法叫做这种证明方法叫做2021/3/2972021/3/298间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法是不同于直接证明的又一类证明方法.反证法是一种常用的间接证明方法反证法是一种常用的间接证明方法.肯定条件肯定条件p否定结论否定结论 q 导致逻辑矛盾导致逻辑矛盾 “q”为假为假 “q”为真为真 正确的推理正确的推理 归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件

4、矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。一、探究定义一、探究定义反证法反证法:先先假设假设命题不成立命题不成立,从这样的假设出发从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定或者与定义义,公理公理,定理等矛盾定理等矛盾,从而得出从而得出假设命题不成立，是错误的假设命题不成立，是错误的,即所求证的命题正确即所求证的命题正确.这样的证明方法叫做反证法这样的证明方法叫做反证法2021/3/299常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式：至少有一个至少有一个至少有三个至少有

5、三个至少有至少有n个个最多有一个最多有一个一个也没有一个也没有至多有两个至多有两个至多有至多有(n-1)个个至少有两个至少有两个1133nn112021/3/2910原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立准确地作出反设准确地作出反设( (即否定结论即否定结论) )是非常重要的，是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式. . 不是不是不都是

6、不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x,成立成立不等于不等于某个某个2021/3/2911写出下列结论的反面情况：写出下列结论的反面情况：（1）ab；（3）x是负数；是负数；（4）ab；（5）A是锐角；是锐角；（2）AB=CD；2021/3/2912（6）三角形的外角中，至少）三角形的外角中，至少 有两个钝角有两个钝角.写出下列结论的反面情况：写出下列结论的反面情况：（7）三角形中最多有一个角）三角形中最多有一个角 是直角是直角.2021/3/2913 试一

7、试试一试 求证：在一个三角形中，求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等至少有一个内角小于或等于于60.ABC2021/3/2914证明：假设结论不成立，即：证明：假设结论不成立，即：A_ 60, B _ 60,C _ 60,则则A+B+C180 .这与这与_相矛盾相矛盾.所以所以_不成立，所求证的不成立，所求证的结论成立结论成立.三角形内角和等于三角形内角和等于180 假设假设2021/3/2915试一试试一试: 证明：假设所求的结论不成立，即证明：假设所求的结论不成立，即 A_ 60 , B_60 , C _60 则则A+ B+ C180 这与这与_相矛盾相矛盾 所以所以_不成立，不成

8、立， 所求证的结论成立所求证的结论成立 “三角形的三个内角之和等于三角形的三个内角之和等于180 ”假设假设ABC用反证法证明用反证法证明(填空填空):在三角形的内角中在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于至少有一个角大于或等于60 已知已知:A ,B ,C是是ABC的内角（如图）的内角（如图）求证求证:A , B , C中至少有一个角中至少有一个角大于或等于大于或等于60 2021/3/2916试一试试一试已知：如图，直线已知：如图，直线a,b被直线被直线c所截，所截， 1 2求证：求证：ababc121=2 (两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等)这与已知的这与已知的12矛盾矛盾假

9、设不成立假设不成立证明：假设结论不成立，则证明：假设结论不成立，则abab2021/3/2917所以假设错误，故原命题所以假设错误，故原命题成立成立ba 证明证明: 假设假设a不大于不大于b则则a 0,b0所以所以(1)若 a bab（2）若 a =ba = b，0,abab例1 证明：如果则0ab与已知矛盾0ab与已知矛盾二、应用新知二、应用新知否定要全面2021/3/2918反证法的一般步骤：反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立； 从这个假设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾； (3)

10、由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。 反设反设归谬归谬结论结论2021/3/2919四、巩固新知四、巩固新知1 1、试说出下列命题的反面：、试说出下列命题的反面：（1 1）a a是实数。是实数。（2)a2)a大于大于2 2。（3 3）a a小于小于2 2。 （4 4）至少有）至少有2 2个个（5 5）最多有一个）最多有一个 （6 6）两条直线平行。）两条直线平行。2 2、用反证法证明、用反证法证明“若若a a2 2 b b2 2, ,则则a a b b”的第一步是的第一步是。3 3、用反证法证明、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等

11、的角，那么如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形这个三角形不是等腰三角形”的第一步的第一步。a a不是实数不是实数a a小于或等于小于或等于a a大于或等于大于或等于没有两个没有两个一个也没有一个也没有两直线不平行两直线不平行假设假设a=ba=b假设这个三角形是等腰三角形假设这个三角形是等腰三角形2021/3/2920大家议一议！ 通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法 ？ 我来告诉你（我来告诉你（经验之谈经验之谈） （1）以否定性判断作为结论的命题；）以否定性判断作为结论的命题；（2）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形等形式陈述的命题；式陈

12、述的命题；（3）关于）关于“唯一性唯一性”结论的命题；结论的命题；2021/3/2921注意注意:用反证法证题时用反证法证题时,应注意的事项应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项，防止）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。错误的。2021/3/2922 反证法常常是解决某些反证法常常

13、是解决某些“疑难疑难”问题的有问题的有力工具，英国近代数学家哈代这样赞美他：力工具，英国近代数学家哈代这样赞美他：“归谬法（反证法）是数学家最有力的一归谬法（反证法）是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，他还要高明。象棋对弈者优势的让棋法，他还要高明。象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方。全局拱手让予对方。”数学史上有很多经典证明数学史上有很多经典证明（如质数有无限多个的证明）（如质数有无限多个的证明）就采用了反证法。就采用了反证法。2021/3/2923 求证：求证

14、： 是无理数。是无理数。2 2证证：假假设设2 2是是有有理理数数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）2 22 22 22 2从从而而有有4 4k k = = 2 2n n ，即即n n = = 2 2k k2 2n n 也也是是偶偶数数，这这与与m m，n n互互质质矛矛盾盾！所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。例例 2 22021/3/2924 -德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法反证法，就象禁止拳击家使用拳头。 同学们，学了这节课，你们有何体会？ 反思与收获反思与收获 1 1、你能谈谈举反例与反证法、你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？的联系和区别吗？2021/3/2925总结提炼总结提炼1 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么用反证法证明命题的一般步骤是什么? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以用反证法在归谬中所导