高中数学必修一函数大题(含详细解答)

1、高中函数大题专练2、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。 对任意的X 0, 1，总有f (x)0 ； 当 X-I0 ,X20, X-IX21时，总有f(mx2)f (x()f (x2)成立。2x函数g(x) x与h(x) a 21是定义在0, 1上的函数。(1 )试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；(2)假设函数h(x)是G函数，求实数a的值；(3 )在(2)的条件下，讨论方程g(2X 1) h(x) m (m 3.函数f (x)2X 丄.2 hi假设f (x)2，求x的值；假设2tf(2t) mf (t) 0对于t 2, 3恒成立，求实数R)解的个数情

2、况。(1)(2)m的取值范围.4.设函数f (x)是定义在R上的偶函数.假设当x 0时，f(x)x 0;0,x 0.(1)(2)(3)(4)求f(X)在(请你作出函数a,0)上的解析式. f (x)的大致图像.b时，假设f(a) f(b)，求ab的取值范围.0有7个不同实数解，求关于x的方程f2(x) bf (x) cb,c满足的条件.K5.函数f (x) a(x 0)。|x|(1) 假设函数f(x)是(0,)上的增函数，求实数 b的取值范围；(2) 当b 2时，假设不等式f (x) x在区间(1,)上恒成立，求实数 a的取值范围；(3) 对于函数g(x)假设存在区间m,n(m n)，使x m

3、,n时，函数g(x)的值域也是m,n，那么称g(x)是m, n上的闭函数。假设函数 f (x)是某区间上的闭函数，试探 求a,b应满足的条件。9.设定义在(0,)上的函数f(x)满足下面三个条件： 对于任意正实数 a、b，都有f(a b) f (a) f (b) 1； f(2)0 ； 当x 1时，总有f(x) 1.1(1 )求f(1)及f()的值；2(2)求证：f(X)在(0,)上是减函数1 310.函数f (x)是定义在2,2上的奇函数，当x 2,0)时，f(x) txX3 (t为2常数)。(1) 求函数f (x)的解析式；(2) 当t 2,6时，求f(x)在 2,0上的最小值，及取得最小值

4、时的x，并猜测f (x) 在0,2上的单调递增区间(不必证明)；(3) 当t 9时，证明：函数 y f (x)的图象上至少有一个点落在直线y 14上。11.记函数f x J 22的定义域为a，g x lg 2x b ax 1 b 0, a R的定义域为B，(1 )求 A :(2) 假设A B，求a、b的取值范围a 112、设 f x-1 a 0,a 1。1 ax(1 )求f x的反函数Lx :f 1 x在m,n上的值域是(2) 讨论f 1 x在1.上的单调性，并加以证明：(3 )令 g x 1 log a x，当 m, n 1, m n 时,g n ,g m ，求a的取值范围。13集合A是由具

5、备以下性质的函数f (x)组成的：(1) 函数f(x)的定义域是0,);(2) 函数f(x)的值域是2,4);(3) 函数f(x)在0,)上是增函数试分别探究以下两小题：(I)判断函数f/x)、兴2(x 0)，及f2(x) 4 6)x(x 0)是否属于集合 A?并简2要说明理由.f(x) (x 0)f(x) (x 0)(n)对于(I)中你认为属于集合 A的函数f(x)，不等式f(x) f(x 2) 2f(x 1), 是否对于任意的x 0总成立？假设不成立，为什么？假设成立，请证明你的结论.14、设函数 f(x)=ax 2+bx+1 (a,b 为实数),F(x)=(1 )假设f(-1)=0 且对

6、任意实数x均有f(x) 0成立，求F(x)表达式。(2) 在(1 )的条件下，当x 2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围。(3) (理)设 m>0,n<0且 m+n>0,a>0且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0 。15.函数 f(x)=xax b(a, b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有个解。(1) 求a、b的值;是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的x, f(x)+f(m )=4恒成立？为什么？在直角坐标系中，求定点 A( -3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。函数大题

7、专练答案2、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。 对任意的X 0, 1，总有f (x)0 ； 当 X-I0,X20, X-IX21 时，总有 f(mx2)f (x()f (x2)成立。2x函数g(x) x与h(x) a 21是定义在0, 1上的函数。(1 )试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；(2) 假设函数h(x)是G函数，求实数a的值；(3) 在(2)的条件下，讨论方程g(2X 1) h(x) m (m R)解的个数情况。 解: ( 1)当x 0,1时，总有g(x) x2 0 ,满足，当 X10 , X20 ,X1 x21 时，2 2 2 2g(x1

8、 X2) X1 X2 2X1X2 X1 X2 g(xj g(X2)，满足(2)假设a 1时，h(0) a 10 不满足，所以不是 G函数；假设a 1时，h(x)在x 0,1上是增函数，那么h(x) 0,满足由 h(x1x2)h(x1) h(x2)，得 a2X1x21 a2X11 a2X21，所以当X1即 a1(2X11)(21)1，因为 X-I0 ,X20, X-I x20 2X11 10 2X2 11xX1 (2 1 1)(2 1 1)1_ 1)(2X1 1)X21X1与X2不同时等于10 (2X1 1)(2X1 1) 1X20 时，(-11知：1 1综合上述：a(3)根据(2)2X令2X(

9、2X1a=1，1,2，那么 m由图形可知：当当 m (,0)m(2,)min 1方程为4X 2Xx 0,121 2t t (t3 .函数f(x)2X0,2时，有一解; )时，方程无解。10 .2，求x的值；(1) 假设 f(x)(2) 假设 2tf (2t) mf (t)0 对于 t 2,3恒成立，求实数解(1)当x0 时，f(x)0时,f(x)2Xm的取值范围.1歹.由条件可知2X22x2 2X解得2X 12X 0 ,log 2 1(2)当 t 1,2时，2t 22tm 2t>即m22t124t 1 .22t10，m22t 1 .Qt2,3,1 22t 65, 17，故m的取值范围是1

10、7,).1 -4 .设函数f(x)是定义在R上的偶函数.假设当x 0时，f (x)x0,(1) 求f (x)在(，0)上的解析式.(2) 请你作出函数f(x)的大致图像.(3) 当0 a b时，假设f (a) f (b)，求ab的取值范围.(4) 假设关于x的方程f(X) bf (x) c 0有7个不同实数解，求x 0;x 0.b,c满足的条件.解(1)当 x (,0)时，f(x)(2)f(x)的大致图像如下：.f( x) 1 丄 1x(3),1,111abb2aba解得ab的取值范围是(1，(4)由(2)，对于方程f(X)a，当0时，方程有3个根；当0 a 1时，方程有4个根，当a 1时，方

11、程有2个根；当a 0时，方程无解.15分2所以，要使关于X的方程f (x) bf(x) c 0有7个不同实数解，关于f(x)的方程 f (x) bf(x) c 0有一个在区间(0,1)的正实数根和一个等于零的根。所以 c 0, f (x) b (0,1)，即 1 b 0,c0.$ 函数 f(x) a (x 0)。|x|(1)假设函数f(x)是(0,)上的增函数，求实数 b的取值范围;(2)当b 2时，假设不等式f(x) x在区间(1,)上恒成立，求实数 a的取值范围;(3)对于函数g(x)假设存在区间m,n(m n)，使x m,n时，函数g(x)的值域也是m, n，那么称g(x)是m, n上的

12、闭函数。假设函数 f (x)是某区间上的闭函数，试探(2)因为 f (x)ba -|x|的定义域是(,0) U(0,)，设f (x)是区间m, n上的闭函求a,b应满足的条件。解：(1)当 x (0,)时，f(x) a -x设 Xi, X2(0,)且 XiX2，由f(x)是(0,)上的增函数，那么f(G f (X2)f(xj f (X2)b( X1X2)0X-|X2由 XiX2 ,Xi,X2 (0,)知 Xix20,x-|X20,所以b0,即b(0,)(2)当 b2 时，f(x) aX 在 X (1,)上恒成立，即aX2|x|X2因为x -2.2，当 x 即 x'、2时取等号,xX2

13、(1,)，所以X 在X (1,)上的最小、值为2、2。那么a2.2x数，贝V mn(3) 假设0当b 0时,f (x) a盒是(0,)上的增函数，那么f(m) f(n)所以方程a-x 在(0,x)上有两不等实根,即 x2 axb 0在(0,)上有两不等实根,所以a2 4b 0x-i x2 a 0，即 ax-i x2 b 00,b0且 a2 4b当 b 0 时，f (x) ab|x|(0,)上递减，f (m) n 飾那么，即f (n) mbamna 0，所以a 0,b0bmnbamn假设m n 0当 b 0 时，f(x)abab是(,0)上的减函数，所以f(m) n，即|x|xf (n) mba

14、n0ma，所以a 0,b0bmnba m n6、设f(x) ax2 bx，求满足以下条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f (x)的定义域和值域相同。解：(1 )假设a 0，那么对于每个正数 b， f (x)bx的定义域和值域都是0,)故a 0满足条件 K(2)假设a 0，那么对于正数b，f (x)ax2 bx的定义域为D, -0,a但f (x)的值域A0,，故D A，即a0不合条件；(3)假设a 0,那么对正数b ,定义域D 0,-(f (x)maxbJa2、af (x)的值域为0,bbba 0a 4,f2、aa 2、 a2 aa综上所述：a的值为0或4R ,纸凶)为函数的不动点。7

15、.对于函数f (x),假设存在x0使f(X。) X。成立，那么称点(1 )函数f (x) ax2bxb(a0)有不动点(1, 1)和(-3 , -3 )求a与b的值(2) 假设对于任意实数b，函数f (x) ax2 bx b(a 0)总有两个相异的不动点，求 a的 取值范围；(3) 假设定义在实数集 R上的奇函数g(x)存在(有限的)n个不动点，求证：n必为奇数。解：(1)由不动点的定义：f(x) x 0，二ax2 (b 1)x b 0代入x 1知a 1，又由x a 1 , b 3。(2)对任意实数b , f (x) ax2 bx b(a 0)总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b，方程f(

16、x)2- ax(b1)x b20 中(b 1)4ab0 ,即b2(4a2)b 10恒成立。故 1(4a2)240, 0 a 1。故当0 a1时，对任意的实数b ,方程f (x)总有两个相异的不动x 0总有两个相异的实数根。1点。(3) g(x)是R上的奇函数，贝V g(o) o,(0，0)是函数g(x)的不动点。假设g(x)有异于(o, o)的不动点(x0,x0),g(Xo) Xo。又 g( Xo)g(Xo)Xo，二(Xo, Xo)是函数g(x)的不动点。 g (x)的有限个不动点除原点外，都是成对出现的,所以有2k个(k N )，加上原点，共有 n 2k 1个。即n必为奇数18 设函数f (

17、X) X , (x 0)的图象为G、G关于点A (2, 1)X的对称的图象为C2 ,C2对应的函数为g(x).(1)求函数yg(x)的解析式;(2)假设直线yb与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标解.(1 )设p(u,v)是y X 上任意一点,X设P关于A(2,1)对称的点为Q(x, y),代入得2g(x) x4 x41-4(xx 4(2)联立(b6)2,4)(4,4 (4b9)x2b2(b4b)；6)x 4b 9o,o b o 或 b 4,9设定义在(0,)上的函数f(x)满足下面三个条件:对于任意正实数 a、b，都有f(a b) f(a) f (b) 1; f(2)0 ；当x 1时

18、，总有f(x) 1.(1)求f(1)及f)的值;2(2)求证：f(x )在(0,)上是减函数.那么 f (1) 2f (1) 1.故f (1) 1又 f(1) f(212)f(2) f1(2)1.且 f(2)0.得：f (丄)f (1)f(2)1 1 122(2)设 0X1X2 ,那么:f(X2)f(X1) f (竺X1)f(X1)f 浮)X1X1f (匹)1依0X-Ix2X2,可得丄1X1X1再依据当x1时九总有f(x)1成立，可得f (-纠1解(1)取 a=b=1，f(X1)X11f (xj即 f(x2)f(xj 0 成立，故 f (x)在(0,)上是减函数。10.函数f (x)是定义在2

19、,2上的奇函数,当 x 2,0)时,f(x)tx常数)。求函数当t 2,6时，求f(x)在 2,0上的最小值，及取得最小值时的 在0,2上的单调递增区间(不必证明)；当t 9时，证明：函数 y f (x)的图象上至少有一个点落在直线1 3 2,0，贝V f ( x) t( x) ( x)2(1)(2)(3)f (x)的解析式;解: (1) x 0,2 时，x数f (x)是定义在 2,2上的奇函数，即ff x，二 f xf(x) txx3，又可知f 020,.函数f (x)的解析式为f(x)X ,并猜测y14上。tx132X，tx1 3 x ,2tx13二 x ,.函即f(x)2,2 ;(2)

20、f x x t 1x222,0 , t22 2 . 1 2x x t x21x型， x2 t Jx2,272即x2 ?x弓£2,0时，嗚甘tJ 。3339(3)t9时，任取2x1x22 ,丄12f x1f x2x1xtx1x1x22f猜测fx在0,2上的单调递增区间为0,1 。3f x在 2,2上单调递增，即f x fX220 ,2 , f 2 ，即 f x4 2t,2t4 , t 9 , 4 2t 14,2t414,1442t,2t4，当 t 9 时，函数 yf x的图象上至少有一个点落在直线y 14 上。11.记函数f x 2-7的定义域为 A，g x lg 2x b ax 1

21、b 0, a R的定x2(2)2xbax10,由1bBa2x12、设f xa1 x a0, a1a(1)求fx的反函数f 1 x义域为B，1 求 A :2假设A B，求a、b的取值范围x 7解:( 1)A x2 0xx30,23,x2A B得a0,那么xb -orx-，即2ab1032a12 。200b 6a(2) 讨论f 1 x在1.上的单调性，并加以证明:(3) 令 g xg n ,g m解: ( 1) f 1 x(2 )设 1Xi1 log a x，当 m, n，求a的取值范围。x 1 log a xx 1.人11X2 ,1, m n 时,1 x 在 m,n上的值域是0 af 1 X1

22、(3 )当 0f 1 m f 1 n1时，f X2，1时，TX11X11x21X211X2在1.在1.，由x 1 loga-x可知方程的两个根均大于1，即f 11 a2a1.上是增函数，2 x-ix21x11 x2 f 1 x 在 上是增函数。上是减函数,./曰xlog a x 得一1.上是减函数：ax，即 axamnanamnam1 时， f1 (舍去)上，得0 a 3 2.,2 。13集合A是由具备以下性质的函数f (x)组成的：(1) 函数f(x)的定义域是0,)；(2) 函数f(x)的值域是2,4)；(3) 函数f(x)在0,)上是增函数试分别探究以下两小题:(I)判断函数f1(x).

23、x2( x0)，及f2(x)4 6 ()X(x0)是否属于集合A?并简2要说明理由.(n)对于(I)中你认为属于集合 A的函数f(x)，不等式f(x) f(x 2) 2f(x 1),是否对于任意的x 0总成立？假设不成立，为什么？假设成立，请证明你的结论.解：(1)函数f,x)x 2不属于集合A.因为fdx)的值域是2,),所以函数f'x).x 2不属于集合A.(或Q当x 49 0时，仏49) 5 4，不满足条件.)1 Xf2(x)46()X(x 0)在集合A中，因为： 函数f2(x)的定义域是0,): 函2数f2(x)的值域是2,4): 函数f2(x)在0,)上是增函数.(2) f(

24、x) f(x 2) 2f(x 1) 6 (-2)x( 1) 0,不等式f (x) f(x 2) 2f (x 1)对于任意的x 0总成立14、设函数 f(x)=ax 2+bx+1 (a,b 为实数)，F(x)=f(x) (x 0)f(x) (x 0)(1 )假设f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)表达式。(2)在(1 )的条件下，当x 2,2时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数，求实数k的取值范围。(3)(理)设 m>0,n<0且 m+n>0,a>0且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0 。解：(1)f(-1)=0 b a 1

25、由 f(x) 0 恒成立 知厶=b2 -4a=(a+1) 2 -4a=(a-1)2 02(x 1)(x0) a=1 从而 f(x)=x 2 +2x+1 F(x)=2,(x 1)2(x0)(2)由(1)可知 f(x)=x 2 +2x+1 g(x)=f(x)-kx=x 2+(2-k)x+1 ，由于 g(x)在 2,2 上是2 k2 k单调函数，知-2或-2，得k -2或k 6 ,2 2(3) f(x)是偶函数， f(x)=f(x)，而a>0. f(x)在0, 上为增函数对 于 F(x),当 x>0 时-x<0 ,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x),当 x<0

26、时-x>0 ,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x), F(x)是奇函数且F(x)在0,上为增函数，m>0,n<0，由 m>-n>0 知 F(m)>F(-n) F(m)>-F(n) F(m)+F( n)>0。X15.函数f(x)=(a, b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。ax b(1) 求a、b的值；(2) 是否存在实常数 m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m <)=4恒成立？为什么？(3) 在直角坐标系中，求定点A( £,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。x解(1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0 一定是方程=x的解，ax b1所以=