水产养殖生物统计3

1、乘法法则乘法法则 对于两事件A、B 若P（A）0，则有P（AB）=P（A）P（B/A） 若P（B）0，则有P（AB）=P（B）P（A/B） P（B/A）称为事件A发生条件下事件B的条件概率 P（A/B）称为事件B发生条件下事件A的条件概率 若事件A与事件B相互独立，则有P（AB）=P（A）P（B） 例例3.2 在10尾鱼中有3尾雌鱼，7尾雄鱼。按不放回抽样从中抽取2尾，每次抽取1尾，求“第一次抽得雄鱼，第二次抽得雌鱼”的概率。解：设A表示“第一次抽得雄鱼”，B表示“第二次抽得雌鱼”，则 73P(A) P(B A)10973P(AB)0.231 0 9 若按放回抽样从中抽取2尾，每次1尾，则“第

2、一次抽得雄鱼，第二次抽得雌鱼”的概率为： 73P(AB)0.211010全概率公式全概率公式 设事件A1，A2，An两两互斥，且A1+A2+An=，P（Ai）0，事件B仅当任意Ai发生时才能发生，则有 1BBABABAP(B)P(A )P(B A ) P(A )P(B A )P(A ) P(B A )P(A)P(B/A)12n1122nnniii例例3 3.3 某鱼池中草鱼、鲢鱼、鲫鱼所占比例分别为50%、30%、20%，其病鱼率分别为1%，2%，4%。求从该鱼池中任意取出1尾是病鱼的概率。 解：设B表示“任意取出1尾是病鱼”，A1表示“取出的鱼是草鱼”，A2表示“取出的鱼是鲢鱼”，A3表示“

3、取出的鱼是鲫鱼”，显然A1、A2、A3两两互斥，且A1+A2+A3=。依题意知：P（A1）=0.5，P（A2）=0.3，P（A3）= 0.2123P(B A )0.01P(B A )0.02P(B A )0.04，根据全概率公式得：P(B)P(A )P(B A ) P(A )P(B A )P(A ) P(B A )0.5 0.01 0.3 0.020.2 0.040.019112233贝叶斯公式贝叶斯公式 设事件A1，A2，An两两互斥，且A1+A2+An=，P（Ai）0，事件B仅当任意Ai发生时才能发生，且P（B）0，有 iiiiii1P(A B)P(A )P(B A )P(A B) i=1

4、 2nP(B)P(A )P(B A ) ni（， ， ）例例3.4 在例2.3，若任取一尾鱼是病鱼，问此此病鱼来自草鱼、链鱼、鲫鱼的概率分别为多大？解：111222333P(A )P(B A )0.5 0.01P(AB)0.263P(B)0.019P(A )P(B A )0.3 0.02P(AB)0.316P(B)0.019P(A )P(B A )0.2 0.04P(AB)0.421P(B)0.0193.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 Xx1x2xiP（X= xi）p1p2piq离散型随机变量离散型随机变量 若一随机变量X的可能取值为有限个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。 离散型

5、随机变量X各个xi的概率公式 P（X=xi）= pi （1,2,） 此公式称为离散型随机变量X的概率分布或分布律 ，也可用分布表示q概念概念 设E为一随机试验，为其本空间。如果对于中的每个样本点，都有一个确定的实数X（）与之对应，则称X（）为随机变量，简记为X。 随机变量通常用大写拉丁字母X、Y、Z等表示，而小写字母x、y、z等则表示随机变量相应于每个样本点的值，称为随机变量的观察值。离散型随机变量的离散型随机变量的性质性质1P(Y0)41P(Y1)21P(Y2)4Y的概率分布： Y01/412P（Y=yi） 1/2 1/4解：由题意知，2尾鱼共4种组合，即（雄、雄）、（雄、雌）、（雌、雄）、

6、（雌、雌），则Y的可能有取值为0，1，2，各个可能取值的概率为： 例例3.5 一鱼缸中养有雄鱼、雌鱼各5尾，按放回方式从中任取2尾，每次一尾。用Y表示所取2尾中雌鱼的数量，写出Y的概率分布。11iip pi0 （i=1，2，） 离散型随机变量的平均数与方差离散型随机变量的平均数与方差 1iiix p1E(X)iiix p1iiix p若 绝对收敛，则 称为X的平均数或数学期望，记作或E（X），即21()iiixp22221D(X)()E()E( )iiixpxx 为X的方差，记作2或D（X），即 q连续型随机变量连续型随机变量 在任一固定点取值的概率都为零 ，通常考虑是在某一区间取值的概率，其

7、所用工具是概率密度函数或概率分布函数 概念概念：对于随机变量X，若存在一个非负可积函数f（x）（-x+使得对于任意实数a、b（ab），都有 则称X为连续型随机变量，称f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数 性质：性质： f(x)0 满足性质和的函数f（x）一定可以作为某个连续型随机变量的概率密度函数。 P(X)( )baabf x dx( )1f x dx概率密度曲线：概率密度曲线： 由概率密度函数f（x）所作的曲线称为概率密度曲线，简称密度曲线。 密度曲线在x轴的上方，它与x轴之间的面积为1。 随机变量X的取值落入区间a，b的概率等于以a，b为底，f（x）为顶的曲边梯形的面积 若

8、记随机变量X的取值落入（-, x）的概率为F(x)，则 称F（x）为连续型随机变量X的分布函数。具有下列两条性质： F（x）为单调不减函数，右连续，即当x1x2时，F（x1）F（x2） F（-）=0，F（+）=1若要计算X的取值落入a，b的概率，用分布函数表示为 概率密度函数与分布函数都可用来描述连续型随机变量的概率分布，它们的关系是微分与积分的关系，即 F( )( )xxf x dxP()( )( ) =F(b)-F(a)baaxbf x dxf x dxF( )( )( )( )xxf xf x dxF x 平均数平均数 设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，若无穷积分 绝对收敛，则

9、称该积分为X的平均数或数学期望，记为 或E（X），即 方差方差 设连续型随机变量X的概率密度为f（x），则 为X的方差，记为2或D(X)，即 ( )xf x dx = E(X)=( )xf x dx2E(X)( )xf x dx22D(X)E( )( )xxf x dx例例3 3.6 设随机变量X的概率密度为 求X的数学期望 与方差解：解：22()21( )2xf xe2222222222()2()2()()22()21E(X)21()211()22()2xxxxxxedxxedxedxxedxe 22()221D(X)()2xxedxxu令2u222uedu223.3 抽样分布抽样分布 q统

10、计量的概念统计量的概念 统计推断中，建立的样本各种函数，包含有关总体信息，这种样本函数称为统计量 设（X1，X2，Xn）是来自总体X的一个样本，g（X1，X2，Xn）是不包含任何未知参数的样本函数，则称g（X1，X2，Xn）为统计量 统计量g（X1，X2，Xn）作为随机变量，也有自己的概率分布，我们常将统计量的概率分布称为抽样分布。当总体的分布已知时，抽样分布是确定的 q正态分布正态分布 概率密度函数概率密度函数 其中，为常数，且0，则称X服从参数为,2的正态分布，记为XN（,2）22()21( ) -x+ )2xf xe （特征特征 曲线为一个单峰钟形曲线，关于x=对称。 曲线在x=处，达到

11、最高点，然后往左右两个方向下降，无限逼近x轴。 曲线在x=1处各有一个拐点。 曲线以参数，2的不同而表现为一系列曲线。其中决定曲线在x轴上的位置； 2决定曲线的形状，2越小，曲线越陡峭，2越大，曲线越平坦。 标准正态分布及其概率计算标准正态分布及其概率计算 平均数=0，方差2 =1的正态分布，其概率密度用 表示，即分布函数用F（u）表示 一般正态分布一般正态分布 的标准化处理的标准化处理若随机变量XN（，2），则随机变量将一般正态变量转换成标准正态变量 221( )2uue( )u221F( )2uuueduXU N(0,1)例例3.7 （1）设U N（0，1），求P（U1.64），P（U2.

12、32），P（|U|1.96）与P（|U|2.58）； （2）设X N(,2)，求P(| X|1)，P(| X|2)与P(| X|3） 。解: (1) P（U1.64）=F（1.64）=0.05 P（U2.32）=1P（U2.32）=1F（2.32）=10.9898=0.01 P（|U|1.96）=P（U1.96）+P（U1.96）=2P（U1.96） =2F（1.96）=20.025=0.05 P（|U|2.58）=P（2.58U2.58） =F（2.58）F（2.58）=0.995060.00494=0.99 (2)XP(|X| 1 )P(| 1|)P ( 11) F(1)F( 1)0.84134 0.158660.6827XP(|X| 2 )P(| 2)P( 2U2) F(2)F( 2)0.97725 0.022750.9545P(|X| 3 )U XP(| 3)P( 3U3) F(3)F( 3)0.99865 0.001350.9973 例例3.8 某场养殖扇贝，其壳长符合正态分布，具有平均数60mm，标准差8mm。若规定壳长在604mm之间的扇贝为合格品，求：扇贝的合格率；取出3只扇贝，至少有1只是不合格的概率。解: 设扇贝的壳长为随机变量X，则X N（60，82）。因此，扇贝的合格率为： = P（|U|0.5） =P（0.5U0