2013年高考全真适应性考试理科数学试题(含答案)

1、大连八中 2013 年高考全真适应性考试理科数学试题 命题、校对：大连八中高三数学备课组 第I卷（选择题 共 60 分） 、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 （2）已知i是虚数单位，且z a bi（a （A）第一象限 （B）第二象限 1 0,b 0），则复数1所对应的点位于（ z （C）第三象限 （D）第四象限 （1 ）已知全集U x N | x2 7x 0，集合A 影部分表示的集合为 ( ) (A) 3, 4 (B) 034,7 (C) 1,2,5,6 (D) 0,125,6,7 1,2,3,4 , B 3,4

2、,5,6，则图中阴 (A)- (B)- 2 (C) (D)或 c 3 6 3 3 3 (4)已知 a= (1,2)，b= (2， 3). 若向量 c满足（c+ a） / b， c(a+ b)，贝 U c =( ) （3）在厶 ABC 中，已知a2 b2 c2 be，则角 A 为（ ) 77 77 77 77 （A）（ 9，3）（B）（ 3，- 9）（c）（ 3，9）（D）（ 9，- 3） 43 (A)亍 53 2 3 (B ) 3 (C ) 3 (D ) 2 (6) 若 cos( 2x) 2,则 3 cos( 4x) ( ) 1 7 5 4 (A) - (B) (C) (D)- 9 9 9 9

3、 （5）如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是（ ） （7）如图 3 给出的是计算111 1的值的一个 2 4 6 川 20 程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） (A) i 12? (B) i 11? (C) i 10? (D) i 9? （8） 已知 定义在 R 上 的函数f （x） 是奇函数 且满足 3 f( x) f(x)， f( 2) 3，数列an 满足a1 1，且 2 为an的前n项和）。则f（a5） f（a6）（） n 2 2 X y （9）曲线2 1（a 0,b 0）的一个焦点为F ,点P为曲线C上任意一点，点P到 a b m 1 两条渐近线的距离之积为 m，点F到渐近

4、线的距离的平方为 n，若 ，则曲线C n 3 的离心率为（ ） (A) 2 (B) .3 (C) 2 (D) 5 (10)若直线ax by 2 0(a0, b0)被圆 2 X y2 2x 4y 1 0截得的弦长为 4, 则1 1 的最小值为 （ ) a b 3 A.- .2 B. . 2 C. 1 3 D.- 2,2 2 4 2 （11）将标号为 123,4,5,6 的 6 个乒乓球，放入 3 个不同的筒中，若每个筒放 2 个，其中标 号为 1,2 的球放入同一筒中，则不同的放法共有 （ ） A . 12 种 B . 18 种 C. 36 种 D . 54 种 (12) 设函数f(x) sin

5、 3 .3 cos 2 tan ,其中 5 0 ，则导数f (1)的 12 x x 3 2 取值范围是（ ) A. - 2,2 B- -2, ：3 c.3, 2 D. ；2, 2 第U卷（共 90 分） 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在答题卡相应的位置. 13 如图，E、F 分别是三棱锥 P-ABC 的棱 AP、BC 的中点，PC=10, AB=6, EF=7,则异面直线 AB 与 PC 所成的角为 _ 14.已知向量a （2,1）,b （1,k），且a与b的夹角为锐角, 则实数k的取值范围是 _(A) 3 (B) 2 ( C)2 (D)3 15 已知a

6、,b是正数，且满足2 a 2b 4. 那么a2 b2的取值区间为 _ 16.下列 4 个命题： 设Sn是公差不为 0 的等差数列an的前n项和，且SI,5,S4成等比数列，则 电等于 3. ai 已知函数y f(x)在 ， 上为减函数，对任意实数x，f(4 x) f(x) 6恒成立, 若 x-i x2 4，贝y f (x-i) f (x2) 6。 2 若 3x2 t dx 10,则常数t =2. 0 已知i, j是 x,y 轴正方向的单位向量，设 a = (x . 3)i yj , b =(x . 3)i yj , 2 且满足|a|+|b |=4.则点 P(x,y)的轨迹 C 的方程为 乞 y

7、2 1. 4 其中正确命题的序号为： _ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应 位置. 17.(小题满分 12 分) 己知函数f (x) 2 sin(2x ) 2sin2 x. 6 (1)求函数f (x)的最小正周期。(2)记厶ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 c, 若, 1 、 b=1、 c= .3 ，求 a 的值. 18.某学校为了研究学情， 从高三年级中抽取了 20 名学生三次测试的数学成绩和物理成绩, 计算出了他们三次成绩的平均名次如下表： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数平均名次 1.3 12.3 2

8、5.7 36.7 50.3 67.7 49.0 52.0 40.0 34.3 物平均名次 2.3 9.7 31.0 22.3 40.0 58.0 39.0 60.7 63.3 42.7 学生序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数平均名次 78.3 50.0 65.7 66.3 68.0 95.0 90.7 87.7 103.7 86.7 物平均名次 49.7 46.7 83.3 59.7 50.0 101.3 76.7 86.0 99.7 99.0 学校规定：平均名次小于或等于 40.0 者为优秀，大于 40.0 者为不优秀. (1)对名次优秀赋分 2,对名次不优

9、秀赋分 1.从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生，若用 表示这 2 名学生两科名次赋分的和，求 的分布列和数学期望； (2)根据这次抽查数据，列出 2X 2 列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下 认为物理成绩与数学成绩有关? 2 附: K2 (a 6咒)(：爲 d)，其中 9 b C d ko) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ko 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. (本小题满分 12 分) 如图，在四

10、棱锥 P ABCD 中，PAI AD, AB/ CD, CD 丄 AD, AD = CD = 2AB = 2, E, F 分 别为 PC, CD 的中点，DE = EC (1) 求证：平面 ABE 丄平面 BEF; (2) 设 PA = a,若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐 20. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy中，过点C(p,0)的直线与抛物线 2px(p 0)相交于 A、B 两点.设 A(X1,yJ , B(X2,y2) 是否存在平行于 y轴的定直线被以 AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求 出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由 21. (本题满分 12

11、分)已知函数f(x) (X 2m)(其中m为常数).(I)当m 0时，求面角 才，#，求 a 的取值范围。 (1) 求证：y1 y2为定值 (2) ln x 答案 CACDB ACDBA BD 1 I I 1 4 13. 60 .14. ( 2,) ( , ) . 15. ( ,16) 16. 、 2 2 5 解 17. (1) f (x) 2 sin(2x ) 2sin2x 6 2 (si n2xcos cos2xs in ) (1 6 6 所以函数f (x)的最小正周期为 函数f(x)的单调区间；(n)当0 m f时， 设函数f (x)的证明：a c 2 e. cos2x) 运 1 1 c

12、os2x ( sin2x cos2x) 2 2 1cos2x 2 3sin2x 1 2 cos(2x ) 1, 3 故分布列为:(2)由 f(|) 1，得 cos(B 3) 1 1,即 cos(B 又因为 ，所以一B - 3 3 .所以B 因为b 1,c 3 , 所以由正b sin B c sin C ，得 sin C 3时， 亠时， 3 故a的值为1或2. 或 3 3 从而 a . b2 c2 又B从而a b 1. 12分 解 18.: (1) P( P( C： 33 z ,P( 95 5) C4C 24 C20 c20 95 c： C1C；2 27 r ,P( 95 7) c1c C；0

13、C；。 8) 3 95 的取值4,5,6,7,8 4) 6) 1 4 95，P( 4 5 6 7 8 P 33 24 27 8 3 95 95 95 95 95 所以：E 二； 6分; 5 丨 (2) 2 2列联表为： 数学优秀 数学不优秀 合计 物理优秀 4 2 6 物理不优秀 2 12 14 合计 6 14 20 假设物理成绩与数学成绩无关，计算： k2 5.488 5.024 因此在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关。 12分; 解 19.( I ) AB/CD,CD AD, AD CD 2AB 2 , F 分别为 CD 的中点, ABFD为矩形，AB BF

14、 . 2 分 DE EC, DC EF ,又 AB/CD, AB EF BF EF E, AE 面 BEF,AE 面 ABE , 平面 ABE丄平面 BEF . 4分 (n ) DE EC, DC EF，又 PD/ EF , AB/CD, AB PD 又 AB PD ,所以 AB 面 PAD , AB PA . 6 分 法一：建系AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴， a B(1mD(0,2,0)P(009)，C(220)日兀) cos 2右彳，可得a U V5a2 4 2 2 L 5平面 BCD法向量q (0,0,1)，平面EBD法向量n2 (2a,a, 2) 2.15, 12 分 法二：连A

15、C交BF于点K ,四边形ABCF为平行四边形，所以 K为AC的中点，连EK , 则 EK/PA,EK 面 ABCD, BD EK , 作KH BD于H点，所以BD 面EKH 连EH则BD EH , EHK即为所求 2.5 2.15、 a , - 解得 5 5 解 20： （1） （解法 1）当直线 AB 垂直于 x轴时，y1 , 2 p, y2 当直线 AB 不垂直于 x轴时，设直线 AB 的方程为y k（x p） 由 y k(x p)得 2 2 2 0 由 2 得 ky 2 py 2p k 0 y 2px 2 2 y2 . 2p 因此有y2 2p为定值 4 分 (解法 2)设直线 AB 的方

16、程为my x p 由 my X p 得 2 2 2 2 0 o 2 由 2 得 y 2 pmy 2p 0 y1 y2 2p y 2px 因此有y1 y2 2p2为定值 (2)设存在直线l : x a满足条件，则 AC的中点 EF 2 p , AC .区 pF y 因此以 AC 为直径的圆的半径r 1 AC v(x1 p)2 y12 1vx12 p2 x1 p E 点到直线x a的距离d | a | . . .7 分 2 所以所截弦长为2 r2 d2 2 1 (x12 p2) (xp a)2 v 4 2在 Rt EHK 中，HK 1 2 2 .5 a 2 1 5 1, . . 12 分 2 p

17、,因此 y1 y2 2p2(定值) X, p2 (人 p 2a)2 2 2x1 (p 2a) 4ap 4a 10 分 当p 2a 0即a 这时直线方程为 12分 x(2l nx 1) x 0,1 1,Ue Ve 晶, f x - - 0 + f x 减 减 极小值 增 解 21. : ( I ) f(x) 令f(x) 0可得x 分 4 ln2 x e.列表如下： 单调减区间为 0,1 , 1, e ；增区间为.e, (x 2m)(2ln x 1) (n )由题，f (x) 2 - ln x 迥 1，有 h(x) x 对于函数h(x) 2ln x 函数h(x)在(0, m)上单调递减，在(m, 函数f (x)有 3 个极值点 从而 hmin (x) h(m) 2ln 2x 2m 2 x )上单调递增 1 m 时，h(2m) 函数f (x)的递增区间有(a, 2m)和(c,)，递减区间有(0,a), (2m,1), (1,c), 2ln 2m 0 , h(1) f(x)有 3 个极值点，且b 2m ; 当 0 m 1 2 2ln a 2m 即有 a 2ln c 2m c a, c是函数 h(x) 2ln x 1 1 令 g(x) 2xln x 此时，函数 2m 1的两个零点, x 函数 g(x) 2x ln x 要证明 a 2 c ,e 0