误差理论与数据处理2016

1、误差理论与数据处理误差理论与数据处理课程简况课程简况课程编号：1050339 课程类别：必修 适用专业：测控技术与仪器总 学 时：28+4学 分：2先修课程：高等数学，概率论与数理统计等考核方式：考试(70%) + 作业及出勤(30%)误差理论与数据处理参考文献参考文献费业泰编，误差理论与数据处理，机械工业出版社，2010年，第6版丁振良编，误差理论与数据处理，哈尔滨工业大学出版社，2002年，第2版梁晋文，误差理论与数据处理，中国计量出版社，2001年，第2版杨惠连编，误差理论与数据处理，天津大学出版社，1992年，第1版钟继贵，误差理论与数据处理，水利电力出版社，1993年，第1版沙定国，

2、实用误差理论与数据处理，北京理工大学出版社，1993年，第1版误差理论与数据处理误差理论与数据处理1 1 测量测量对一个物体或现象进行量（quantity）的描述，称为测量。 量 = 1个数 + 1个单位 误差理论与数据处理 量 可以是物理、化学、生物、信息等各领域的，但归根到底是物理的，并且可以由7大基本物理量（相互独立）衍生出来：长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度误差理论与数据处理 单位 将逐渐建立在物理效应上。相应基本量的单位： 长度（米）、 质量（千克）、 时间（秒）、 电流（安培）、 热力学温度（开尔文）、 物质的量（摩尔） 、 发光强度（坎德拉）误差理论与数据处

3、理 数 L = 10.00 m I = 0.001 A 尽管我们想象某个量可能会存在一个确定数，但是，测量过程是人为施加的，测量的结果不会是一个绝对真实的数。误差总是可观存在的。误差理论与数据处理 误差误差（Error）：误差测量值真值理论值:三角形内角之和180理论值:整圆周角360约定值:国际千克基准1Kg以后会看到，也可用更高精度表测得的值作为真值。误差理论与数据处理导致误差的原因导致误差的原因 粗大误差系统误差随机误差误差理论与数据处理系统误差（系统误差（Systematic ErrorSystematic Error）： 由于仪器原理不完善、环境变化所造成。 在重复测试下，误差具有确

4、定性规律。例如总是“+”，或随测试条件而波动起伏。 可以通过标定、环境补偿等方法消除。 误差理论与数据处理随机误差（随机误差（ Accidental ErrorAccidental Error）： 仪器本身、测量环境中不可控因素造成。 在重复测试下，误差具有统计性规律（多种）。 通过本课程“误差理论及数据处理”，能够显著降低。 误差理论与数据处理人的误差人的误差(Human error):(Human error): 测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。 为了减小测量人员误差，测量人员应该了解测量仪器的测量原理和特性，熟练掌握测量规程，精心进行

5、测量操作；对于重要的量，可以多人测量核对。误差理论与数据处理误差的表达类型误差的表达类型 引用误差绝对误差相对误差误差理论与数据处理特点：绝对误差具有大小、符号、单位。（不是绝对值）LLL0绝对误差（绝对误差（Absolute ErrorAbsolute Error） 测量值 真值误差理论与数据处理真值L0 ，或测量值 L特点：1） 相对误差有大小和符号。2） 无量纲，一般用百分数来表示。相对误差（相对误差（Relative ErrorRelative Error） = 绝对误差与真值（或测量值）之比 0LLr误差理论与数据处理引用误差（引用误差（Fiducial ErrorFiducial

6、Error） 标称范围（或量程）上限 标称范围（量程）内的最大绝对误差 mmmxrx特点：方便使用，不需知道具体测量值，只要知道范围即。 误差理论与数据处理正确认识误差的性质，分析误差产生的原因从根本上，减小误差正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果通过计算得到更接近真值的数据正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法根据目标确定最佳系统误差理论与数据处理1 1 有效数字（有效数字（Significant FiguresSignificant Figures） 在表达“量”的“数”中，并不是每一位都有意义(携带信息)，右边的低位意义较小、甚至没有意义。如果绝对误差小于最末尾数的半个单位，

7、那么这一位、以及往前直到非零的最高位，都称为有效数字。 例如，假设某个测量的最大绝对误差是0.003（0.005），则测量结果读数是 1.2345中，有效数字是 1.23，后面的4、5都不是有效数字。 又如，假设最大绝对误差是0.007（0.05），则测量结果读数 1.2345中，有效数字是 1.2，后面的3、4、5都不是有效数字。 又如，有效数字 123.00 表明最大绝对误差是0.005，7.20*104表明最大绝对误差是 50 (记法 72000 是含糊的）。 (这里是对测量结果的记录而言，不是寄存器数据 0 x 00FF )误差理论与数据处理2 2 非有效数字的取舍非有效数字的取舍 既

8、然测量仪所显示的数字并不都有意义，为简洁就没必要保留所有显示数据，应该对非有效数字进行取舍。 如果已知最大绝对误差是某半位，例如 0.005，那么之后的非有效数字可按下规则取舍：（1）小于0.005的，舍弃 3.1449 3.14（2）大于0.005的，进位 3.14501 3.15（3）等于0.005的，凑偶 3.16500 3.16 3.13500 3.14事实上，仪表显示的有效数字是根据最大绝对误差设计的，保证都是有效数字。误差理论与数据处理3 3 不同有效数字的运算不同有效数字的运算 （1）在有效数字进行运算之前，为保证最后结果不丢失信息，应多保留一位作为参考数字。（2）在近似数做加减

9、运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。 例:记录数据 2643.0, 987.7, 4.187, 0.2354，最大绝对误差小于0.05，求和： 2643.0 + 987.7 + 4.19 + 0.24 = 3635.13 3635.1 （有效数字也能取舍？） 48.1 + 78 + 65.38 = 48.1 + 78 + 65.4 = 191.5 192 （有效数字也能取舍？） 48.1 + 78 + 65.38 = 191.48 191 （结果相同？） 25.6 - 21.1 - 2.43 = 2.07 2.1

10、误差理论与数据处理（3）在近似数乘除运算时，以有效位数最少的为准，其余数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的相同。 483 * 73.67 / 15.67 = 2267.7 2.27 *103 483 * 73.678 / 15.67 = 483 * 73.68 / 15.67 = 2271.0 2.27 *103（4）在近似数平方、开方、指数运算时，与乘除运算相同。 exp( 0.0189 * 25 ） = exp( 0.4725 ) = 1.60 1.6误差理论与数据处理第第2 2章误差特征与数据处理章误差特征与数据处理误差理论与数据处理 对同一量进行重复测量时，测量值（又称为

11、测量列）或者误差的大小、正负会随机变化，不可预测，但是具有统计规律。1 1 正态分布正态分布（1）来源 如果随机误差是由大量、微小因素迭加而成的，那么这种随机误差服从正态分布。 -中心极限定理：大量的、独立的、具有一定（非无限）期望和方差的随机变量之算术平均值，服从正态分布。（无论每个随机变量服从何种分布）第第1 1节随机误差节随机误差误差理论与数据处理例如： 测量装置方面的因素 环境方面的因素零部件变形及其不稳定性，信号电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。第第1 1节随机误差节随机误差误差理论与数据处理（2）形态 式中： 标准差（或均方根） e 自然对数的底2.

12、7182特点：单峰，对称，有界，0均值标准差的含义：如图 )2/(2221)(ef第第1 1节随机误差节随机误差误差理论与数据处理（3）真值的估计均值 对某量进行一系列等精度测量。设 为n次测量的数值，则真值的无偏、最小方差估计就是它们的算术平均值这种估计算法的效果怎么样？ 数学期望就是真值，即当n很大时非常接近真值；（4）均值的评价之一 - 标准差 方差是 ，标准差 ，可见是显著减小、显著改善的。1211nniilllllnnnlll,21第第1 1节随机误差节随机误差n2n误差理论与数据处理 如果你是用户（无大量重复测试或标定的条件），应从厂商取得 ；如果你是厂家，可以用数据列来估计： 定

13、义残差 ，则贝塞尔法（样本方差法）： ，别捷尔斯法：极差法：最大误差法：第第1 1节随机误差节随机误差2222211()11nniiiillSnn21()1niilln1|1.253(1)niivn nmaxminn nlldnd由 决定，见下表max| nnvKnK由 决定，见下表iivlln-1才能无偏误差理论与数据处理极差法系数表第第1 1节随机误差节随机误差n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.441nKn234567891011121314dn131.692.062.332.532.7

14、02.852.973.083.173.263.343.41最大误差法系数表误差理论与数据处理 此时，均值的标准差第第1 1节随机误差节随机误差 nn将取 误差理论与数据处理0.008250.09080.03030.0303(), 0.0096()310 110lmmmm()il mm()iv mm75.045 lmm序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.00062

15、50.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225 102210.00825 iivmm2()iv mm第第1 1节随机误差节随机误差0.2501.2530.0330(), 0.0104()1010 10 1lmmmm101| | 0.250 iivmmmaxmin75.09 75.00 0.09 llmm0.090.0292(), 0.0092()3.0810lmmmm0.045*0.570.0256(), 0.0081()10lmmmm误差理论与数据处理（5）均值的评价之二 极限误差 单次测量的极限误差一般定义为 ，即每次测量

16、值落在真值 范围内的概率高达99.73%. 现在考虑测量 n 次后的均值，其标准差是 ，所以极限误差是 ，超出此范围的概率小到0.27%。 继续考虑这个问题。如果不知道，就只能用 ，此时无法再查正态分布表。按照 ，应该查 t 分布表。例如 n=10，则自由度 n-1=9，查超出范围的概率小到 0.27%(即置信度99.73%)的极限误差为 。 第第1 1节随机误差节随机误差33n3n0(1)/llt nSn4.09 /Sn ()S或误差理论与数据处理第第1 1节随机误差节随机误差误差理论与数据处理第第1 1节随机误差节随机误差0.03034.094.094.09*0.00960.03910Sn

17、 误差理论与数据处理2 2 均匀分布均匀分布（1）来源 在一定范围内，各点出现的概率相等。例如，刻度盘误差、模数转换误差、机械传动中的空程误差、摩擦滞后误差。 第第1 1节随机误差节随机误差aa21)(fa图 2-5o误差理论与数据处理a -a 0 21)(或 a-aafaaaaaaF当当当120)(aadaE0233212226)0(adaaaaaa3a第第1 1节随机误差节随机误差误差理论与数据处理对于U(0,a),对于U(,), （2）真值的估计式 第第1 1节随机误差节随机误差1211nniilllllnn1max( )inaln$*min( )max( )1*max( )min( )

18、1iiiinllnnlln误差理论与数据处理3 3 其他分布其他分布（1）三角形分布 两个均匀分布的随机变量，其和的分布为三角分布。 第第1 1节随机误差节随机误差22 -a0( ) 0 | 0 aafaaaa22220()02( )()102 1 aaaaFaaaa2( )0var( )6E误差理论与数据处理（2）反正弦分布 随机误差的概率密度函数与某个角度有关。 （略） 第第1 1节随机误差节随机误差误差理论与数据处理4 4 不等精度测量不等精度测量对于测量列 l1,l2,.,ln, 如果它们的期望是 l0 ，方差分别是 无论服从何种分布，都应该取下式可以证明，这是对真值的最佳线性无偏估计

19、。第第1 1节随机误差节随机误差22212,.,n21222222221212/1111(.)1/1/. 1/1/iinnnilllll22221211var( )1/1/. 1/1/nil若i2 未知，无法用现在的测量列（例如S 2 ）来评价。可以先估计每一个i2 误差理论与数据处理例3 用三种精度（误差的方差不同）的仪表测量一只钢卷尺的长度，结果分别是 1=0.05mm的仪表，测得 l1=2000.452=0.20mm的仪表，测得 l2=2000.15 3=0.10mm的仪表，测得 l3=2000.60求：真实长度 l0的最佳估计。解：1232221232221111640.050.200

20、.1011116140.050.200.101(16*2000.452000.154*2000.60)212000.46 (mm)lllllll 第第1 1节随机误差节随机误差结果接近第一个误差理论与数据处理例4 用国家基准米尺连续三天测量一只工作基准米尺。三个结果分别是999.9425mm(三次平均)，999.9416mm(两次平均），999.9419mm(五次平均）。求工作基准米尺的长度估计值。解：设国家基准米尺的误差方差为2,无论何种分布。则每天结果的方差分别为 2/3,2/2,2/5 ，即属于不等精度（方差）的测量。考虑三天个结果，长度的估计为222123123222101563251

21、015632510*999.942515*999.94166*999.9419101569999.42514999.1245999.6514999.941910156lllllll第第1 1节随机误差节随机误差最接近5次平均的那个结果误差理论与数据处理1 1 系统误差的原因系统误差的原因原理不完善 -容积式流量计（罗茨泄漏），辐射测温（辐射率1），接触电阻电势制造安装 -零点,不对称,轨道不平行,不垂直，.环境因素 -温度(伸缩、电阻率)，湿度（绝缘），时间累积（CL），.人工因素 -观察倾向、反应时间（动态测量）,. （自动测量不再有此问题）第第2 2节系统误差节系统误差误差理论与数据处理2

22、 2 系统误差的规律系统误差的规律 如果重复测量，误差的大小、符号不一定变化，因此不再是独立的、零均值的平稳随机数据。 如果改变测量条件、环境（或时间），误差会出现一定规律，显示出关联性。由于系统噪声总是与随机噪声混迭在一起的，所以这种关联性不是分析数学、而是统计意义下的关联性。例如： 固定不变的误差-例如基准的变化 随测量值增加而线性变化的误差-例如反馈部件 随测量值增加而周期变化的误差-例如偏心旋转 随测量值增加而复杂变化的误差-例如流量开方第第2 2节系统误差节系统误差误差理论与数据处理3 3 系统误差的发现系统误差的发现 不同仪器的对比 用更高级、或同级的另外仪器，同时测量对比。 -能

23、够发现固定不变的系统误差。例如第第2 2节系统误差节系统误差00 (iilll高级表读数）误差理论与数据处理 残差观察 -红线为平均值，由此可以求出残差。 看残差的时间规律。虽然其平均值总是为0，但每个残差值有明显的时间规律，见图。 马利科夫准则： 如果前后两段的残差平均值相差较远，即 明显非0，则可以发现线性变化的系统误差。 第第2 2节系统误差节系统误差11kkn误差理论与数据处理阿贝-赫梅特准则（Abbe-Helmert criterion）：如果相邻数据存在强关联性（Rxx(1)，则存在周期性系统误差。第第2 2节系统误差节系统误差1211 22 311 (1)niinnivvv vv

24、 vvvn误差理论与数据处理 秩和检验 两组测量列，之间是否存在系统误差？ xi i=1n yi i=1m按大小顺序重新排列，找出测量列短的数据的顺序秩，然后求出秩和T.查秩和检验表，得到 T+,T-。若 T- T 50），宜用3准则（不必查表）。 当n较小时，用顺序检验适于剔除一个异常值，用极差比值法适于剔除多个异常值。 当n很小时，可以采用t检验。 在重要实验场合，可以选用二、三种准则同时判断。当一致认为某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留。当几种方法的判断结果有矛盾时，则应慎重考虑，一般以不剔除为妥。因为留下某个怀疑的数据后算出的只是偏大一点，这样较为安全。第第3 3节粗大误差

25、节粗大误差误差理论与数据处理误差理论与数据处理间接测量：间接测量： 通过“直接量”，及“间接量”与“直接量” 之间的函数关系，计算出“间接量”，这个过程称为间接测量。 第1节误差的传递误差理论与数据处理第1节误差的传递 间接测量的数学模型 12( ,.,)nyf x xx其中， 是与间接量 y 有函数关系的各直接量。 “间接量”的误差不仅与“直接量”的误差有关，而且与函数形式有关，是“直接量”误差的函数。对上述函数 y 求全微分,12,nx xxnndxxfdxxfdxxfdy2211误差理论与数据处理第1节误差的传递例子： 1 1221122.nnnnya xa xa xyaxaxax 12

26、12212212arcsin,.,dsin,1d111ddcos1.,nnnnf x xxf x xxffffffdxdxdxxxxfL1122122122arccos,.,cos,.d1d111ddsi.n.,1nnnnf x xxfff x xxffffdxdxdxxxxf L误差理论与数据处理 和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用 和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用（1 1）如果各）如果各“直接量直接量”存在确定的误差（系统误差）存在确定的误差（系统误差） 对 y 的影响为：1212.nnfffyxxxxxx 为各个输入量在该测量点 处的误差传播系数 (1,

27、2, )ifx in12( ,)nx xxixyifxixyifx第1节误差的传递误差理论与数据处理例1 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图，车间工人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长l = 500mm。已知，弓高的系统误差 h = -0.1mm ,弦长的系统误差 l = 1mm 。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。 解: 大工件直径的间接测量函数24lDhhD2lh 不考虑直接量的系统误差，可求出在 ， 处的直径为 50mmh 500mml 201300mm4lDhh第1节误差的传递误差理论与数据处理车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差 0.1m

28、m, 1mmhl 直径的系统误差:7.4mmffDlhlh 500522 50fllh2222500112444 50flhh 故修正后的测量结果: 013007.41292.6mmDDD第1节误差的传递 当然，也可以先校正直接量，再计算直径，结果相同。 050( 0.1)50.1mm, 500 1499mmhl 误差理论与数据处理例2 用双球法间接测量内锥角。如图，已知求内锥角。 解: 内锥角的间接测量函数故 sin/()22222245.00 15.00 2*93.921 2*20.961 45.00 15.0030.00 =0.2588115.92DdDdDdLlLlDd 第1节误差的传

29、递LlDd45.00mm, 0.002mm93.921mm, 0.0011mm15.00mm, 0.003mm 20.961mm, 0.0008mmDDLLddll oo14 5956 , 29 59522误差理论与数据处理系统误差为：第1节误差的传递22222sin222122(sin)0.0109222(22)(22)2()(sin)0.00452(22)122(sin)0.0109222(22)(22)2()(sin)2DdLlDdDdLlDLlDdLlDdLlDdDdLLlDdDdLldLlDdLlDdLlDdDdl 2o0.0045(22)1*(sin)*(sin)*(sin)*(s

30、in)22222cos21 0.0109*0.0020.0045*0.0011 0.0109*( 0.003)0.0045*0.0008cos14 5956 0.00011005(rad)23LlDdDLdlDLdl误差理论与数据处理校正后，内锥角为： 也可以先对直接量进行校正后，再计算内锥角，结果相同，见下。第1节误差的传递oo029 59522329 5929osin222(45.000.002)(15.000.003) 2*(93.921 0.0011)2*(20.961 0.0008)(45.000.002)(15.000.003)29.995 =0.258746115.924414.

31、9957 229.9913629 5929ooDdLlDd误差理论与数据处理第1节误差的传递2i 假设“直接量” xi 的方差为 ，且各直接量之间相互独立相互独立，则“间接量” y 的方差、标准差为 22222221212ynnfffxxxL2222221212ynnfffxxxL误差理论与数据处理第1节误差的传递1 1221122222222211222222221122.ddd.dnnnnynnynnya xa xa xya xaxaxaaaaaaLL1212212222212222122221222212sin1dcos1()()()(cos )1()()()cos,.,nnynynnn

32、nfffdxdxdxxxxfffxxxfff xfxxxxxLLL误差理论与数据处理解：已经估计出 D = 1292.6 mm 例1中，若已知 。试估计该工件的直径及标准差。0.05mm, 0.1mmhl2222222222()()50.1240.051.69 (mm )Dlhfflh1.3 (mm)D第1节误差的传递误差理论与数据处理 例2中，若已知 试估计内锥角的标准差。解：内锥角的标准差为第1节误差的传递0.001mm, 0.018mm, 0.001mm, =0.001mm DLdl222222222222222222222221(sin)(sin)(sin)(sin)2222cos21

33、(sin)(sin)(sin)(sin)22221 (sin)210.0109 *0.0010.0045 *0.0180.01 0.2588DLdlDLdlDLdlDLdl222210542109 *0.0010.0045 *0.001168.1887*108.55*10 (rad)0.965921.71*10 (rad)35.3误差理论与数据处理第2节误差的分配 误差分配：误差分配：给定“间接量”的允许误差，如何选择各“直接量”的误差？ 这里只考虑随机误差，且各“直接量”相互独立，因为在给定了y 之后，如何确定每一个 i ？ 这是一个多解问题，建议按下列三步骤进行： （1）均匀分配误差 （2

34、）根据可行性、经济性等因素进行调整 （3）结果验算2221()nyiiifx误差理论与数据处理（1 1）均匀分配误差）均匀分配误差 例3 为了测量一圆柱的体积，可以间接地测量直径 D 及高度 h，根据关系式 计算出体积 V 。已知直径和高度的公称值（nominal) 分别为若要求体积的相对误差不超出1，试确定直径 D 及高度 h 的极限误差。解：公称值允许的绝对误差为 1% * 15708 = 157.08 mm2，这可以视为极限误差。222222(), ()yyyiiiiiifffxnnnxx即，或 第2节误差的分配24DVh0020mm, 50mmDh2223.1416*20*501570

35、8mm44DVh误差理论与数据处理 对于正态分布的误差，由于极限误差是标准差的3倍（或t倍），故极限误差关系也满足标准差关系，即这里所以查不同型号量具的极限误差，可知：测量直径应该选用2级千分尺，极限误差为 0.013mm，测量高度应该选用分度值为 0.1mm 的卡尺，极限误差为 0.150mm。 第2节误差的分配 yyiiiiffnnxx2222, (), ()4244D hDhD hDnDh22222*157.080.071 mm3.1416*20*502288*157.080.354 mm3.1416*2024yyDyyhDhDhDD误差理论与数据处理（2）按可能性、经济性进行调整）按可

36、能性、经济性进行调整 如果完全平均分配误差，有的直接测得量很容易达到，而另一些很难达到，特别是对误差传递系数大的那些变量的要求将十分苛刻。因此，在满足总体要求的前提下，完全可以进行调整。 例4 继续上例，总的极限误差过小，说明测量直径的2级千分尺经济性差。将测量直径的量具降低为刻度 0.05mm、极限误差 0.08mm 的卡尺；同时用它测量高度，则性能还能否满足吗？第2节误差的分配22222222233.1416*20*503.1416*20()()() *0.013() *0.1502424416.9932220.67151.36 157.08 (mm )VDhDhD=误差理论与数据处理第2

37、节误差的分配（3）结果验算）结果验算22222222233.1416*20*503.1416*20()()() *0.08() *0.08242415791.441 631.658128.15 157.08 (mm )VDhDhD因此，用一支中等精度的量具，就可以进行满意的测量。误差理论与数据处理最佳测量方案：最佳测量方案： 在间接测量中，采用什么方法才能使测量结果的误差最小？2222221212ynnfffxxxL第3节最佳测量方案的确定 对于确定的系统误差，可以在直接量中进行修正。现在我么选择最佳测量方案，只需考虑随机误差（未定系统误差也按随机误差对待）。 误差理论与数据处理（1 1）直接

38、量越少越好）直接量越少越好 如果间接测量的函数形式可选择，则所包含的直接量越少越好，即式中项数越少，总的标准差越小。 第3节最佳测量方案的确定LLLdd1212例5 用分度值为 O.05mm 游标卡尺测量两轴的中心距 L，试选择最佳测量方案。已知测量的标准差分别为:12120.50.70.81.0ddLLmm, mm, 误差理论与数据处理方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为12122ddLL12222ddLL1222LLL 22222110.80.50.70.9122Lm22222111.00.50.71.0922Lm2222110.81.00.6422Lm 由

39、计算结果可知，方法三误差最小。这主要是因为方法三包含的直接量最少。测量中心距L有下列三种方法：第3节最佳测量方案的确定方法二 ：测量两轴直径 d1、d2 和内尺寸 L2，其函数式及误差为方法三 ：测量外尺寸 L1 和内尺寸 L2 ，其函数式及误差为误差理论与数据处理（2 2）误差传播系数尽量小）误差传播系数尽量小 由误差传递公式，若使各直接量的误差传播系数 为0或最小，则间接误差可相应减少。 据此，在测量实践中，应该尽量寻找到这样的途径。/ifx第3节最佳测量方案的确定例6 用弓高弦长法测量工件直径，已知其函数式为试确定最佳测量方案。 24lDhh解：由函数式求得函数误差的误差表达式22222

40、2124DlhllhhD2lh误差理论与数据处理欲使 为最小，有下列途径。D 使 此条件要求 。由图中几何关系可知此时还会有 ，因而无实际意义。 (2 )0lh 0l 0h 使 为最小 若使 为最小，即 愈大、 愈小则愈好。 (2 )lh(2 )0lh 2hl 使 若满足此条件须使 ，即要求直接测量直径，才能完全消除 对 的贡献。22(4) 10lh 2lhhD第3节最佳测量方案的确定 使 最小 相当于使 ，即要求尽可能接近直接测量直径。22(4) 1lh(2 )1lh 误差理论与数据处理第3节最佳测量方案的确定相上述、是矛盾的。假设 l、h 量具的标准差相同，224222222112422D

41、llllllhhhh它在 时取得极小值，即顶角在35o附近可取得最高测量精度。122lhD2lh35O误差理论与数据处理第3节最佳测量方案的确定例7 在双球法测定内锥角的例子里，222222222222222222222221(sin)(sin)(sin)(sin)2222cos21222()222()(22)(22)(22)(22)cos21()2cos2DLdlDLdlDLdlLlDdLlDdLlDdLlDdLlDdLlDdLlH 222222222222222222()()()2221() ()() () ,/2/2 22cos2DLdlDdLlDdLlDdHHHLlDdLlDdHHH

42、其中222222222() ()() ()22cos2DdLlLlDdHH因此 L-l, D-d 尽量小，或者H 尽量大。前者不现实，后者平方关系更明显。因此，应采用尽可能相差大的两球。误差理论与数据处理第3节最佳测量方案的确定例8 间接测量导线的电导率，22222222322222222222222224484()()()4121() ( )()4ldRldRldRld Rlld Rd Rd Rld RldRldR 可以看到，增大或减小 l 都没有明显效果；R 也是不可选的；只有 d 大一些才会有明显效果。而且，d 应该用高精度量具进行测量。误差理论与数据处理习题、实验习题：3-1，3-8，

43、3-9，3-12误差理论与数据处理习题、实验实验：1 正态分布的误差（1） 设定真值 x0=10.00（2） 设定一个 2（3） 产生误差 iN(0, 2)（4） 产生测量值 xi=x0+i（5） 重复步骤3、4共n次，得到测量列 x1,x2,.,xn*（6）求xi的均值，看是否接近真值x0？（7）用4种方法估计方差，看是否接近2？（8）画xi的频次分布的直方图，观察xi的分布，及在标准差、 3标准差内的概率。误差理论与数据处理习题、实验*min( )max( )1*max( )min( )1iiiinxxnnxxn3a2 均匀分布的误差（1） 设定真值 x0=10.00（2） 设定一个均匀分

44、布的半宽 a（3） 产生误差 i U-a,a（4） 产生测量值 xi=x0+i（5） 重复步骤3、4共n次，得到测量列 x1,x2,.,xn*（6）求xi的均值，按看是否接近真值x0 ？（7）利用下式估计半宽a（8）利用下式估计标准差（9）画xi的频次分布的直方图，观察xi的分布，及在标准差内的概率。 误差理论与数据处理习题、实验24lDhh3 用弓高弦长法间接测量大工件直径。（1）设定直径的真值 D0=10.00（2）设定h的真值: h=1.00（3） 根据模型计算出L 的真值：L=.（4）设定一个 2产生一系列误差 iN(0, 2)，得到测量列 hi=h+i再产生一系列误差 jN(0, 2

45、)，得到测量列 Lj=L+j*（5） 计算 hi、Li的均值，按计算出D，看是否与真值接近？（6）估计 hi、Li的标准差，合成 D的标准差。*（7）重复步骤2-6，同时 h=h+1 （一直取遍1.00-10.00）。看哪个工况下的合成标准差最小（是否35度附近）？24lDhh误差理论与数据处理第4章 测量不确定度误差理论与数据处理1 1 概述概述 误差研究已经有200年历史，但不确定度自1980年才有国际计量局提出实验不确定度建议书，1993才由国际计量局、国际标准化组织、国际电工委员会等7个国际组织制定了测量不确定度表示指南（Guide to the Expression of Uncer

46、tainty in Measurement - GUM），于1995年修订。误差理论与数据处理2 2 测量不确定度的定义（测量不确定度的定义（ uncertainty of measurement )uncertainty of measurement ) 测量不确定度：与测量结果相关的、表征测量值的分散性的参数。(parameter, associated with the result of a measurement, that characterizes the dispersion of the values that could reasonably be attributed t

47、o the measurand.) 例如：我们说的12:00, 2m，都含有“或多或少” （give or take）的含义。 我们关心两个方面：或多或少的范围-区间，有多大？ 或的程度、落在区间的概率-置信度，有多大？ 例如： 20 cm 1 cm, 在95%置信度下.误差理论与数据处理（1）表示分散性的参数 以标准差的倍数、或给定置信度下的半区间宽度；（2）由多个分量组成 不确定度由多个不确定分量组成。 需要定量地评定每一个不确定分量。可以采用A类、B类两种评定。 A类评定是依据一系列测量数据的统计分布来估计标准差； B类评定是依据经验或其他信息所确定的概率分布来估计标准差。（3）测量结果

48、的表示 被测量的估计值，和不确定度（即分散性）两部分。误差理论与数据处理3 3 测量不确定度与误差的比较测量不确定度与误差的比较（1）含义 误差：测量值与真值（或约定真值）的差异。（误差是测量值围绕真值的分散性） 不确定度：测量值自身的可疑性。（不确定度是测量值本身的分散性）（2）相似处 产生原因都是：仪器方面：偏差，老化，磨损，漂移，噪声等工件本身不稳定：冰融化测量过程本身：小动物不配合输入性因素：例如校验设备的不确定性会汇集到仪器中（不校验更差）操作者 ：掐表、眼睛读数等（不包括粗大误差） 误差理论与数据处理采样问题：例如车间内温度测点的选择环境：温度、湿度、气压等 都是评价测量结果的参数

49、； 不确定度分量仍以“标准差”表征（包括随机误差、未知系统误差）。因此误差理论是不确定度理论的基础。误差理论与数据处理（3 3）区别）区别 误差以真值或约定真值为中心，不确定度以被测量的估计值为中心； 误差一般难以定值，不确定度可以定量评定； 误差有三类，界限模糊，难以严格区分；测量不确定度分两类，界限分明，分析方法简单。误差理论与数据处理4 4 不确定度的分类不确定度的分类（1）标准不确定度 uA、uB 用“标准差”所表征的不确定度。（2）相对“标准不确定度” “标准不确定度”与测量结果之比。（3）合成“标准不确定度” uC 在间接测量中，由各直接测得量的方差所计算出的不确定度。（4）扩展不

50、确定度 uE 将标准不确定度扩大一个因子，得到一个更大的区间，以便有更大的置信度。误差理论与数据处理1 1 建立测量模型建立测量模型 大多数测量都是间接测量。建立起间接量与每个直接量、每个对不确定度有显著贡献的因素之间的关系式：例如：立方体的体积 热电阻的功率 在有些应用中，可以从一组直接量计算出多个间接量，例如从一组电流、电压、相位角计算出感抗、容抗，需要用矩阵表达。略。第2节 标准不确定度的评定12( ,.,)nyf x xxVa b c 2001()VPRtt误差理论与数据处理2 2 确定每个直接量（或因素）的不确定度确定每个直接量（或因素）的不确定度（1 1）A A类评定类评定 u u

51、A A - - 依据统计方法依据统计方法 直接量的直接量的BesselBessel法法 单次测量的标准不确定度，等同于标准差（由厂家提供或多次测量后用Bessel法估算） 多次测量的均值的标准不确定度，就是均值的标准差 直接量的其他方法直接量的其他方法 别捷尔斯（Peters）法、极差法、最大误差法，见第2章。2AA11 ()=()n-1nkiiuuxxx或 A( )/uxn第2节 标准不确定度的评定误差理论与数据处理（2 2） B B类评定类评定 u uB - B - 依据非统计方法依据非统计方法 ( (经验或其他信息经验或其他信息) ) 可以依靠的数据资料可以依靠的数据资料以前的测量数据、

52、经验和资料；有关仪器和装置的一般知识，制造说明书，检定证书，其他报告的数据；由手册提供的参考数据等。第2节 标准不确定度的评定误差理论与数据处理 应该考虑的因素应该考虑的因素 参考标准的方差：假定均匀分布，且对 U-a,a 取 用参考标准进行校验时的不确定性：用更高标准在实验室内进行标定。扩展因子的选取：查看检定证书选取；对正态分布一般取2。 被标定仪器的分辨率： 取最小刻度的一半来确定均匀分布的范围-b,b，而标准差取 温度补偿单元的分辨率：与上条类似，半刻度决定均匀分布的范围-c,c，而标准差取 补偿温度测量过程中的不确定度：从温度仪表的检定证书查扩展因子。 第2节 标准不确定度的评定B1

53、3auB33buB43cu误差理论与数据处理3 3 计算间接量计算间接量 代入每个直接量的值，计算出间接量 第2节 标准不确定度的评定012( ,.,)nyf x xx误差理论与数据处理4 4 间接量的不确定度间接量的不确定度 u uC C 的合成的合成 采用类似误差传递的公式，对不确定度进行合成 事实上，有些影响因素与间接量之间没有确定的函数关系，但只要这事实上，有些影响因素与间接量之间没有确定的函数关系，但只要这些因素是独立的，就可将不确定度平方加到求和式中去。些因素是独立的，就可将不确定度平方加到求和式中去。 如果一个测量结果是多个测量值的加、减如果一个测量结果是多个测量值的加、减 例如

54、，一根导线的总长度是各段长度的和， 而每段长度测量的不确定度分别是 ui，则总的不确定度是第2节 标准不确定度的评定222y12.nuuuu12.nyxxx22i1 (nciiiyuuxx假设 相互独立）误差理论与数据处理第2节 标准不确定度的评定 如果一个测量结果是多个测量值的乘、除如果一个测量结果是多个测量值的乘、除 例如，一个矩形的面积是边长a、b的积，甚至更复杂的 则总的不确定度是或写成相对不确定度的形式123x xyx2222222222222112y1231232123333()()()()()()xxx xyyyuuuuuuuxxxxxx y2222222223211212121

55、2323333123()()()/()()()uuxxx xx xuuuuuyxxxxxxx 误差理论与数据处理第2节 标准不确定度的评定 如果一个测量结果是某测量值的平方如果一个测量结果是某测量值的平方 例如，一个正方形的面积是边长a的平方积， 则 y 的不确定度是或写成相对不确定度的形式2yxy222222xy11, ()(), ()/222xxxuuyyxuuuuxxyxxxy222x2(2 )/xuux uxyx 如果一个测量结果是某测量值的平方根如果一个测量结果是某测量值的平方根2222y()(2 )xxyuux ux误差理论与数据处理第2节 标准不确定度的评定 可见，在进行不确定性

56、的合成时，可以依据误差传递公式，也可以利可见，在进行不确定性的合成时，可以依据误差传递公式，也可以利用相对不确定度的概念而直接合成。用相对不确定度的概念而直接合成。 例1 电阻的功率是间接测量的， 。功率测量的不确定度为或者写成相对不确定度2VPR22222P22()()VRVVuuuRR 22222222P222()()/()()VRVRuuuVVVuuPRRRVR 误差理论与数据处理5 5 报告结果报告结果 第2节 标准不确定度的评定0cyyu误差理论与数据处理第2节 标准不确定度的评定例2 某手册注明 20 下 Cu的热膨胀系数20=16.52106/, 误差不超过 0.40106 /

57、。解：从仅有的资料看，不确定度来自器件本身。误差不超过 0.40106/，可以认为真正的 20 在16.12,16.92106/之间均匀分布。因此，不确定度 u(20)= 0.40106/3 = 0.23106/误差理论与数据处理第2节 标准不确定度的评定例3 某数字电压表的说明书声称，标定后2年内，在 1V 范围内的精确度为：读数14106 + 范围2106. 在标定后的第20个月测量某 1V 范围内的电压,多次独立、重复测量的平均值是 0.928 571 V，计算得到 A 类标准不确定度 u = 12 V. 解： A222B-6-6B2222CAB ()0.928 571 14 101 2

58、 10 (V) = 15 A0.928 571 V, u ( )12VB 15 /3 75V 8.7V( )()12 8.V(7 =)5(1 V)VaVVVVVVVVuuuuVuV 类评定：类评定：合成的标均匀分布准不确定度： 报告测的半宽 量结果：-6 0.928 571 15 10 V 误差理论与数据处理第2节 标准不确定度的评定例4 用皮尺测量一根绳子的长度。测量10次，标准差估计值0.0021m，均值 5.017m。已知皮尺已被校验过，校验的不确定度是读数的0.1%，范围系数2，设为正态分布；皮尺刻度为mm；绳（不是皮尺）难免下垂，因此测量结果会偏少，假设会少测0.2%，其不确定性也是

59、最大0.2%。误差理论与数据处理第2节 标准不确定度的评定解： 0A5.017 0.1% = 0.0025 m=2.5mm( )A5. k=225.017 0.2%=-0.01017 m, ( )0.0021m ( )=0.0007m=0.7mm10B0.5 0.3mm 3 034m -=-10.3miixxxs xxs xuxuaxu Q校验刻度类评定：，类评定：（读数误差在即0.5 （mm之间）均匀分布）002222222CA0, 35.017- -0.0103)5.0271( ) 1()0.7 +2.5 +0.m ( -5.017 03 .2%= .-5x xxxxxxubxuuxuuu

60、xxx 补偿校验补偿刻度即）（无其他信息，可假设补偿误差在之间均匀分布)测量值 （m合成的标准不确定度： (第1、3、4都是独立因素，所以相加后再乘传递系数方 的）59mm2.9 =6.5mm 5.027 0.0065 m 5.027 0.013 m95% 报告测量结果：（或按原来的范围系数k=2,结果为 ，置信度？）误差理论与数据处理第3节 扩展不确定度的评定 用标准不确定度表示的区间的置信度并不高，例如正态分布下仅为68.26%。根据需要，有时会选用更大的范围因子（Coverage Factor） k*uC - 扩展的不确定度来表示测量结果，并指明(x-kuC, x+kuC)的置信度。 由