直线与圆知识点总结及例题

1、直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线1,如果把x轴绕着交点按 逆时针方向转 到和直线1重合时所转的最小正角 记为，那么 就 叫做直线的倾斜角。当直线 1与X轴重合或平行时，规定倾斜角为0; (2)倾斜角的范围0,。如(1)直线xcosJ3y 2 0的倾斜角的范围是 (答：0, U5,);66倾斜角的取值范围是 0° <<180° .倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k表示.倾斜角是90。的直线没有斜率.2(2)过点P( 43,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围,

2、一那么m值的范围是3 3 (答：m 2或 m 4)2、直线的斜率：(1)定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直 线的余率k,即k=tan ( W90° );倾斜角为 90°的直线没有斜率；(2)斜率公式：y y2经过两点已(木,%)、P2(X2, y2)的直线的斜率为k X1x2；(3)直线的方向X1 x2,一 r向量.a (1,k),直线的方向向量与直线的斜率有何关系(4)应用：证明三点共线：kAB kBC。如(1)两条直线钟率相等是这两条直线平行的 条件(答：既不充分也不必要)；(2)实数x, y满足3x 2y 5 0 ( 1 x 3),则

3、y 的最大值、最小x一,，,.2值分另1J为 (答：2, 1)33、直线的方程：(1)点斜式：已知直线过点(x0,y0)斜率为k ,则直线方程为y y0 k(x x0)，它不包括垂直于x轴的直线。直线的斜率k 0时，直线方程为y y1；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为 x Xi.(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k ,则直线方程为 y kx b ,它不包括垂直于x轴的直线。(3)两点式：已知直线经过F(x1, y1)> P2(x2,y2)两点，则直线方程为y y1x x1 ,它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为00或900的y2 yix

4、2 xi直线，两点式应变为 (y yi )(x2 xi)(x xi)( y2 yi)的形式.(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为- 上i ,它不包括垂直于坐标轴的直线 a b和过原点的直线。(5) 一般式：任何直线均可写成 Ax By C 0(A,B不同日为0)的形式。如(i)经过点(2, i)且方向向量为v=( i, J3)的直线的点斜式方程是 (答：y i 同 x 2)；(2)直线阿 2)x (2m i)y (3m 4) 0,不管 m 怎样变化恒过点 (答：(i, 2)； (3)若曲线y a|x|与y x a(a 0)有两个公共点，则a的取值范围是 (答：a i

5、)提醒：(i)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢)；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-i或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为i或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为i或直线过原点。如过点A(i,4),且纵横截距的绝对值相等的直线共有 一条(答：3)4.设直线方程的一些常用技巧 ：(i)知直线纵截距b,常设其方程为y kx b； (2)知直线横截距xO,常设其方程为x my x0(它不适用于斜率为 0的直线)；(3)知直线过点(x0,y0),当斜率k存在时，常设其方程为y k(x x°

6、;) y0,当斜率k不存在时，则其方程为x x0；(4)与直线l:Ax By C 0平行的直线可表示为 Ax By Ci 0；(5)与直线l : Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay Ci 0.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：|Ax0 By0 C(i)点 P(x0,y0)到直线 Ax By C 0 的距离 d J-y;A2 B2Ci C2（2）两平行线 11: Ax By C1 0,l2 : Ax By C2 0 间的距离为 d '1 oA2 B26、直线|1：AxRyC10与直线l2：A2X

7、B2yC20的位置关系：（1）平行AB2A2B10 （斜率）且 B1C2B2C10 （在y轴上截距）；（2）相交AB2A2B10;（3）重合A1B2A2B10且 B1c2 B2C10。提醒：（1）A曳5、3旦、冬且C1仅是两直线平行、相交、重 A B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2合的充分不必要条件！为什么（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线11: Ax B1y C10 与直线 l2：A2xB2yC20 垂直 A&BB20。如（1）设直线 11 : x my 60 和 l2: （m 2）

8、x3y2m0 ,当m =时 11/ l2;当 m =时11 12；当m 时11与12相交；当 m =时11与I2重合（答：11; 1; m 3且m 1; 3）； 已知直线1的方程为3x 4y 12 0,则与1平行， 2且过点（一1,3）的直线方程是 （答：3x 4y 9 0）； （3）两条直线ax y 4 0与x y 2 0相交于第一象限，则实数 a的取值范围是 （答：1 a 2）; （4）设a,b,c分别是 ABC中/ A、/ B、/ C所对边的边长，则直线 sinAgx ay c 0与 bx sin Bgy sin C 0的位置关系是 （答：垂直）；（5）已知点P（x1,y1）是直线 1:

9、f（x,y） 0 上一点,F2d,y2）是直线 1 外一点，则方程 f （x, y） f（x1,y1） 。） =0所表示的直线与1的关系是 （答：平行）；（6）直线1过点（1 , 0）,且被两平行 直线3x y 6 0和3x y 3 0所截得的线段长为 9,则直线1的方程是（答：4x 3y 4 0和 x 1)(1)当另一条7、特殊情况下的两直线平行与垂直：当两条直线中有一条直线没有斜率时:直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90° ,互相平行；(2)当另一条直线的斜率为。时，一条直线的倾斜角为90° ,另一条直线的倾斜角为0° ,两直线互相垂直.8、对称(中心

10、对称和轴对称)问题一一代入法：如(1)已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x y 0对称，则点Q的坐标为 (答：(b, a)； (3)点A (4, 5)关于直线 l的对称点为B ( 2,7),则l的方程是 (答：y=3x + 3)； (4)已知一束光线通过点A (3,5),经直线l :3x4y+4=0反射。如果反射光线通过点B(2,15),则反射光线所在直线的方程是 (答：18x + y 51 0); (5)已知A ABC顶点A(3, - 1 ), AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y 59=0, /B的平分线所在的方程为 x-4y+10=0,

11、求B C边所在的直线方程 (答：2x 9y 65 0); (6)直线2xy4=0上有一点P ,它与两定点A (4, 1)、B (3,4)的距离之差最大，则P的坐标是 (答：(5,6); (7)已知A x轴，B l:y x, C (2, 1), VABC周长的最小值为 (答： 而)。提醒：在解几中 遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9. (1)直线过定点。如直线(3m+4 x+(5-2m)y+7m-6=0,不论mB 何值恒过定点(-1,2) (2)直线系方程(1)与已知直线 Ax+By+C=0平行的直线的设法：Ax+By+m=0 (m w C)(2 ) 与已知直线 Ax+By+C=0垂

12、直的直线的设法:Bx-Ay+m=0(3)经过直线l1 ： Ax+B1y+G=0, l2 ： 4x+B2y+C2=0交点的直线设法：A1 x+ B1 y+ C1 + X ( A2 x+ B2 y+ C2 ) =0 (入为参数，不包括 12 )(3)关于对称(1)点关于点对称(中点坐标公式)(2)线关于点对称(转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行)(3)点关于线对称(点和对称点的连线被线垂直平分，中点在对称轴上、kk' =-1二个方程)（4）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称）10、圆的方程： 22 c圆的标准方程：x a y b r。圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F

13、0（D2+ E2-4F 0）,特别提醒：只有当2222DE .D + E 4F 0时，方程x y Dx Ey F 0才表不圆心为（一,一）,半径为22：D2 E2 4F 的圆（二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么 （A C 0,且B 0且D2 E2 4AF 0）；圆的参数方程：x金rcos （为参数），其中圆心为（a,b）,半径为r。圆的y b rsin参数方程的主要应用是三角换元：x2 y2 r2 x r cos , y r sin ； x2 y2 tx r cos , y rsin （0 r 加。Ax1,y1,Bx2,y2为直径端点的圆方程xx1x

14、x2yy1yy2022.如（1）圆C与圆（x 1） y1关于直线y x对称，则圆 C的方程为（答：x2 （y 1）2 1）; （2）圆心在直线2x y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 （答：（x3）2（y3）29或（x1）2（y1）21）;（3）已知P（ 1,J3）是圆x rcos （为参数，02 ）上的点，则圆的普通方程为，y r sin2P点对应的 值为，过P点的圆的切线方程是 （答：x2 y2=4;；3x 氐 4 0）； （4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是 （答：0, 2）; （5）方程x2+y2-x+y+k=0表示一

15、个圆，则实数 k 的取值范围为（答：k ，（6）若M （x,y）| y 3sos （为参数，0）,N （x,y） | y x b ,若M N，则b的取值范围是 （答：-3,372 ）,，一一,、一、.一，22 o11、点与圆的位置关系：已知点 M x0,y0及圆C： x-a y b r r 0 , ，一 ，222(1)点M在圆C外 CM rx0 ay0 b r ; (2)点M在圆C内-222-2CM rx0ay0b r ；(3)点 M在圆C上CM rx0a.2222, I 、一 I, 一yo b r。如点P(5a+1,12a)在圆(x 1 ) +y =1的内部，则a的取值氾围是 “1(答：|a

16、| 一)1312、直线与圆的位置关系：直线l : AxBy C 0和圆C：r 0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0 相交； 0 相离； 0 相切；(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ,则d r 相交；d r 相离；d r 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如(1)圆2x2 2y2 1与直线xsin y 1 0( R, k ,2k z)的位置关系为(答：相离)；(2)若直线ax by 3 0与圆x2 y2 4x 1 0切于点P( 1,2),则ab的值 (答：

17、2)； (3)直线x 2y 0被曲线 x2 y2 6x 2y 15 0所截得的弦长等于 (答：4，5)； (4) 一束光线从点A(1,1)出发经x轴反射到圆 C:(x-2) 2+(y-3) 2=1上的最短路程是 (答：4); (5)已知 一 .222M(a,b)(ab 0)是圆O:x y r内一点，现有以 M为中点的弦所在直线 m和直线.2l: ax by r ,则A. m/l ,且l与圆相交 B . l m,且l与圆相交C. m/l ,且l与圆相离 D . l m,且l与圆相离(答：C)； (6)已知圆C： x2 (y 1)2 5,直线L： mx y 1 m 0。求证：对 m R ,直线L与

18、圆C总有两个不同的交点； 设L与圆C交于A、B两点，若AB J17,求L的倾斜角；求直线 L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.(答：60o或120°最长：y 1,最短：x 1)13、圆与圆的位置关系 (用两圆的圆心距与半径之间的关系判断)：已知两圆的圆心分别为Oi,O2,半径分别为1/2,则(1)当IO1O2ri2时，两圆外离；(2)当IO1O2ri2时，两圆外切；(3)当rir2<|OiO2 ri2时，两圆相交； (4)当|O1O2r,r2|时，两圆内切；(5)当0|OiO2q r2|时，两圆内含。如双曲线22x2 冬 i的左焦点为Fi,顶点为A、A2, P是双曲线右支

19、上任意一点，则分别以线段PR、a2 b2Ai A为直径的两圆位置关系为 (答：内切)i4、圆的切线与弦长：(i)切线：过圆x2 y2 R2上一点P(xo,y。)圆的切线方程 是：xxo yy。 R2 ,过圆(x a)2 (y b)2 R2 上一点 P(x0, y0) 圆的切线方程是：2(x a)(xo a) (y a)(y0 a) R , 一般地，如何求圆的切线万程(抓住圆心到直线的距离等于半径)；从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求；过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆

20、，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；切线长：过圆x2 y2 Dx Ey F 0222(x a) (y b) R ) 外一点P(x0,y0)所引圆的切线的长为R2y2Dx0Ey0F ( 7(x0a7(y0b7R2 );如设 A 为圆(x i)2 y2 i上22动点，PA是圆的切线，且|PA|二i，则P点的轨迹万程为 (答：(x i) y 2)；(2)弦长问题：圆的弦长的计算：(垂径定理)常用弦心距 d ,半弦长a及圆的222 i 2半径r所构成的直角二角形来解：r d (-a)；过两圆Ci : f (x, y) 0、2C2 ： g(x, y) 0交点的圆(公共弦)系为f(x, y) g

21、(x,y) 0,当 i时，方程f (x, y) g(x, y) 0为两圆公共弦所在直线方程.oi5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦)!长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等16.圆的切线和圆系方程1 .过圆上一点的切线方程：圆 x2 y2 r2,圆上一点为(xo,y0),则过此点的切线方程为x0x+ y0y= r2 (课本命题).圆x2 y2 r2,圆外一点为(x°,yo),则过此点的两条切线与圆相切，切点弦方程为 x0x y0y r2。2 .圆系方程：设圆 C1 ： x2 y2 D1x E1y F1 0和 22圆C2

22、 ： x y D?x E2y F2 0 .若两圆相交，则过交点的圆系万程为 2222x y D1x E1 y F1+入(x yD2x E2y F2) =0(入为参数，圆系中不包括圆C2,入=-1为两圆的公共弦所在直线方程 ).设圆C： x2 y2 Dx Ey F 0与直线l ： Ax+By+C=0若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为 x2 y2 Dx Ey F +入(Ax+By+C)=0(入为参数).1 一例题 1经过点P(2 , m和Q2 T 5)的直线的斜率等于2,则m的值是(B )A. 4B. 3 C .1 或 3D . 1 或 4变：求经过点A( 2,sin ), B( cos ,1)

23、的直线l的斜率k的取值范围2 .已知直线l过P(1, 2),且与以A(-2, 3)、B(3, 0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围.1点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案：一00, - 2 U5, +00)3 .已知坐标平面内三点A(-1, 1), B(1 , 1), C(2, V3 + 1),若D为 ABC的边AB上一©CD斜率k的变化范围.1答案：一8, 2 u 5 , +°0 )1 .求 a 为何值时，直线 l1： (a + 2)x+(1 a)y1 = 0 与直线 l 2： (a1)x + (2 a+3)y+ 2=0互相垂直答案：a=-

24、12 .求过点P(1 , 1),且与直线12： 2x+3y+1 = 0垂直的直线方程.答案：3x-2y- 5=0.例2.求过定点P(2, 3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.3例3.已知 ABC勺顶点A(1 , 1),线段BC的中点为 口3 ,-).2(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC所在直线的方程.例4.方程(m2 2m-3)x + (2 m2 + m- 1)y= 2m-6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m的值.(1)方程能够表示一条直线；(答案：m 1)(2)方程表示一条斜率为1的直线.(答案：m 2)例 5.直线 1 的方

25、程为(a2)y=(3a1)x1(aCR).(1)求证：直线1必过定点；(答案：(1, 3)5 5(2)若直线1在两坐标轴上的截距相等，求 1的方程；(答案：5x + 5y 4=0)(3)若直线1不过第二象限，求实数 a的取值范围.(答案：分斜率存在与不存在)例1:求点 A(-2,3)到直线 1 :3x+4y+3=0的距离d= 例2：已知点(a,2)到直线1: x-y+1=0的距离为2,则a= 。 (a <0)例3:求直线y=2x+3关于直线1 : y=x+1对称的直线方程。类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.变式1：求过两点 A(1,4)、B(3,2)且被直线y 0平分的圆的标准方程.变式2：求过两点 A(1,4)、B(3,2)且圆上所有的点均关于直线y 0对称的圆的标准方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例4已知圆O： x2 y2 4 ,求过点P 2,4与圆O相切的切线.解：二.点P2,4不在圆O上，切线 PT的直