分子布朗马达热学棘轮系统的粒子流研究

1、分子布朗马达热学棘轮系统的粒子流研究中文摘要本文先大体地介绍一下布朗运动理论和分子布朗马达的研究背景，再在理论上深入分析分子布朗马达的热学棘轮系统，最后介绍热学棘轮系统的简化模型。关键词：布朗运动，分子布朗马达，热学棘轮系统，简化模型ABSTRACTFirstly, this thesis introduces Brownian movement and the background of molecular Brownian motors in the rough. And then it analyzes the thermal ratchet system in theory deepl

2、y. Last but not least, the simplified model of thermal ratchet will be introduced in the end.Key word: Brownian movement，molecular Brownian motors, thermal ratchet system, simplified model目录摘要IAbstractII引言11. 布朗运动理论的发展12. 分子布朗马达的研究背景22.1分子布朗马达的产生条件和方法22.2分子布朗马达的生物学背景22.3分子布朗马达的物理学背景33.热学棘轮系统的理论基础33.

3、1 Langevin方程布朗粒子的动力学方程33.2热学棘轮系统的基本概念43.3热学棘轮系统的统计动力学分析54.热学棘轮系统的简化模型84.1恒驱动力作用下的热学棘轮系统84.2简化的棘轮势作用下的热学棘轮系统94.3均匀方波驱动力作用下的热学棘轮系统135.总结和展望18参考文献19致谢20引言生命在于运动，机体的一切活动，都是来源于具有马达功能的蛋白质大分子做功推动的结果。从肌肉收缩、神经递质的传递、细胞进行呼吸作用、一直到细胞的分裂等等这些为生命提供能量，使其正常运动的能量来源，被人们称为分子马达或蛋白质马达等等。到目前为止，在生物体中发现了各种类型的分子马达，人们已经确定了百种以上

4、的分子马达，随着研究的不断深入，科学家们也发现了各种类型的分子马达在机体内执行着各种各样的生物功能，而且分子马达在各种进行生物功能的过程中，充当着不同的角色。生物分子马达是将化学能转化为力学能的生物大分子，详细来说就是：消耗生物体内的腺苷三磷酸(ATP)分子，把其转化为维持生物运动的能量，产生协调的定向运动而做功。可以看出，分子马达的能量转换形式对认识生命和人类本身的发现来说都非常重要，对它进行深入的研究，发现分子马达的能量转换机制，就能更好地了解生命活动本身，生物体本身和整个大自然。分子马达被分子生物学、物理学、生物化学等诸多学科所包含，属于多学科交叉的研究领域。对分子马达的研究会在相当长时

5、间里成为多学科所共同面临的一个挑战，同时也是推动科学进步的一个极好的机遇。1. 布朗运动理论的发展1827年，英国植物学家布朗在研究时，无意之中观察到：液体中的花粉，似乎是有生命一样，在液体中不停地运动。随着研究的深入，发现花粉是不停地做无规则运动，于是把自己发现的这一关于花粉等微小粒子的无规则运动称为布朗运动1。这些小分子为什么会做无规则运动的呢？那是因为布朗粒子由于受到周围分子不平衡的碰撞而引起的。一方面，它将受到许多周围液体分子的碰撞。另一方面，与宏观物体相比，小分子微粒非常小，由于粒子是运动的，所以在它会与周围的分子发生碰撞，且碰撞之后的合力不为零。布朗粒子每时每刻受到的合力都不一样，

6、因此观察到的布朗粒子就是在做不可预测的无规则运动。事实上，布朗运动并不是分子的无规则运动，它只是周围分子无规则运动的反映。观察时间在宏观上看起来是很短暂的，但是在微观上来说，已经算是长时间的观察了。因此在微观长时间的基础上，观察到的是布朗粒子的一种平均运动。也就意味着，在整个体系已经达到热平衡后，被看成是大分子的布朗粒子依然在做无规则运动。布朗的观察结果引起了当时科学家们的关注，很多科学家想揭示这种无规运动的物理机制，但一直没能出现一个比较有说服力的解释。直到1905年，爱因斯坦提出了对布朗运动的较为完美的解释和模型：首先，爱因斯坦用随机行走模型来描述处于平衡态的热流体中的布朗运动。布朗粒子在

7、溶液里受到随机碰撞，由于各向同性，即使溶液分子每次碰撞后，布朗粒子所受的合力的大小和方向都是不确定的，但在长时间的条件下，随机碰撞作用的平均为零。同时空间中存在局域的涨落，每一次局域的涨落都会破坏布朗粒子存在的空间的各向同性，布朗粒子在各向同性被破坏的瞬间产生定向运动。由于随机碰撞涨落是随机发生的，并没有规律可寻，所以布朗运动粒子进行无规则运动。在微观领域，布朗运动是研究无规则运动的最佳模型。而如今，我们就把进行布朗运动的分子马达称为分子布朗马达。2. 分子布朗马达的研究背景2.1分子布朗马达的产生条件和方法构成分子布朗马达的条件有二：热平衡必须被破坏，加上在反对称破缺的空间周期性结构中存在定

8、向运输。因此，对分子布朗马达的定义就是远离平衡态的空间周期系统中的定向输运。分子布朗马达的研究是需要前人的研究作为基础的，科学家们先前研究了从随机涨落中获取有用功，也对微生物结构和化学动力学等复杂系统进行研究，进而推动了如今对分子布朗马达的研究。 总结出有三种方法能促使分子布朗马达的产生：第一种方法是反对称空间的周期性系统；第二种方法是无偏的非平衡扰动；第三种方法是产生于耦合系统的效应，存在于完全对称的非平衡系统，也即自发对称性破缺的形式2 。2.2分子布朗马达的生物学背景这些大分子之所为被称为纳米机器，正是由于其长度处在纳米的尺度。ATP是分子布朗马达的能量来源，分子布朗马达通常都是主动利用

9、ATP，在热涨落中消耗ATP水解产生的化学能，从而改变自身构象，同时与轨道结合在一起，从而产生与轨道间的相对运动3 。分子布朗马达可以分为蛋白马达和DNA马达，其中蛋白马达由蛋白质构成，DNA马达由DNA构成。其中蛋白马达在空间中的运动形式存在差别，因此把蛋白马达分为线动马达和转动马达。顾名思义，在空间中进行线性运动的蛋白马达属于线动马达，包括有肌球蛋白、驱动蛋白和动力蛋白。另外，在空间中进行转动的蛋白马达属于转动马达，包括有鞭毛马达和ATP合成酶。它们参与的化学反应往往是可逆的。根据DNA不同构相间可以进行可控转化的这个生物学原理，按照转化的控制条件设计出两类 DNA 马达，一类是环境刺激响

10、应的马达，另一类是基于链交换反应的马达。 自然界无时无刻都离不开分子布朗马达，它几乎参与了生物体所有的生命活动，而每一次的生物过程就像在工厂生产一种产品，需要由各种生物机器相互合作，共同完成。研究分子布朗马达就类似于将生产该产品的每一个工序的机器都拿出来研究，在单分子水平上认识生物体内的运动规律。如果能发现各种分子布朗马达的功能，就有可能将各分子的相互作用网络还原到生命过程，在还原并认识了生命过程之后，再进一步揭示生物作用网络的医学和生物学意义3 。由于分子布朗马达的能量转化效率十分高，其效率比一般的能量转化器高得多，有些分子布朗马达的转换效率甚至能达到100%3。因此我们试着着眼于分子马达的

11、能量转换机制，进而仿制出类分子布朗马达的高效的能量转换器。根据分子布朗马达带给我们的启示，科学家们对分子布朗马达的力学化学耦合机制也有在进行深入的研究4 。希望尽早能将各种分子布朗马达集合成分子机器或微型工厂，在各个领域实现广泛的应用。2.3分子布朗马达的物理学背景在传统统计中，如果确定了系统初末态能量和它们之间的路径，就能确定系统对外做的功；而事实上，在玻尔兹曼统计上系统初态和末态的能量以及系统与环境的交换热均有涨落3。在宏观统计中，一般情况下是忽略这个量级的涨落的，但特殊清凉下，对于很小的系统，这样的涨落就不能被忽略5。分子布朗马达正是这样的微观系统，它为物理学家解决这类微观系统的统计热力

12、学问题提供了一个理想的研究平台6 。在人们对分子布朗马达进行研究的一百多年中，从蛋白马达被发现，到对其的结构和生化研究，接着到对单分子蛋白马达的“自动性”研究，最后到 DNA马达的设计。由于单分子操纵技术和实时视见技术的不断发展，为分子布朗马达的研究提供了更加精密和高级的硬件设备，并且还有一群坚持不懈、善于合作的物理学、生化学、医学及计算学等领域的工作者，以及他们相互合作对分子布朗马达进行联合交叉研究。才能在最近二十多年中取得分子布朗马达研究的突破性进展。 3.热学棘轮系统的理论基础3.1 Langevin方程布朗粒子的动力学方程爱因斯坦虽然成功地解释了扩散现象，但是对于布朗运动的描述，就并没

13、有提出具体的运动描述方程。后来，Langevin提出了随机力假设，以描述布朗运动为基础，建立起了随机动力学方程Langevin方程。同时，在物理学研究上，我们把分子布朗马达看成是布朗粒子或布朗棘轮，分子布朗马达就能借助布朗运动的理论框架进行分析，通过非平衡统计物理的Langevin方程来研究分子布朗马达的运动过程，进而深入研究其运动机制。在布朗粒子不断受到介质分子的碰撞的情况下，假设空间是各向同性的，那么在长时间的观察中，介质分子对布朗粒子的撞击表现出的是空间的对称性。但是当布朗粒子在介质中运动时，由于空间中存在随机涨落，于是会出现对称性破缺，布朗粒子受到的撞击将会表现出非对称性。这就是布朗粒

14、子在介质中受到粘滞阻力的微观机制。简单说明就是，采用一维情况。根据Stokes定律，粘滞阻力为-g x ，其中g 为粘滞系数。 因为布朗粒子受到碰撞时，其所在的空间和时间上存在随机涨落，会产生非对称破缺，从而形成随机冲击力x (t)。 根据牛顿第二定律，介质中的布朗粒子动力学方程为: (1) 这就是经典 Langevin 方程。 3.2热学棘轮系统的基本概念1912 年Smoluchowski 提出了一个理想实验，试图从微观涨落中汲取有用功。图一 Smoluchowski-Feynman棘轮图一所示的是棘轮的三维视角图，棘轮和翼轮分别轴对称地固定在长轴两端，同时在轴的中央固定一个圆盘，圆盘的边

15、缘绕绳，绳子的一端连接着圆盘的边缘，另一端固定在小球上。气体分子会对碰撞翼轮的叶，也会由于棘轮边缘的形状发生对称性破缺：当翼轮由于受到气体分子的碰撞之后，链接翼轮和棘轮的轴试图向某个方向转动，同时会带动棘轮转动；但是当连接轴试图反方向转动时，棘轮就会阻止其转动。当整个系统处于热平衡系统中，气体分子对翼叶的随机碰撞，使得轴和圆盘会单向转动起来，从而提升负荷小球。这就违背了热力学第二定律。细致的分析7否定了这种第二类永动机的存在。那就是由于在无负荷小球的情况下，事实上，如此小尺度的棘爪本身也有热涨落，当棘爪由于涨落而抬起时，棘轮可能向两个方向转动，所得的净结果为零。因此棘轮会向两个相反的方向多次晃

16、动，而不会只顺着一个方向转动。所以这一模型并没有违背热力学第二定律。 3.3热学棘轮系统的统计动力学分析在热平衡的系统中，棘轮边缘会发生对称性破缺，棘轮势必须满足周期性和对称性破缺： （2）图二 典型的对称破缺势函数布朗粒子处于在棘轮势和外场势之中，遵循Langevin方程： （3） 假设存在高斯白噪声作为噪声，即，涨落耗散关系为 。在过阻尼情形中，长时近似下惯性项被忽略，其中其中m是布朗粒子的质量，Langevin方程就变为： （4）在自由场情况下，布朗粒子的分布满足扩散方程为： （5）其中是扩散系数。当时，布朗粒子在外场中扩散，根据刘维方程可推出： （6）在外场和热噪声的共同作用之下，布朗

17、粒子的分布需要满足： （7）这也就是Fokker-planck方程。在粒子数守恒的情况下，根据（1）式可得： （8） 其中 （9）是系统的概率流密度函数，但是（9）式中的和完全无关联，布朗粒子的粒子流，也就是布朗粒子的运动速度为： （10）由（9）、（10）两式可得： （11）由（8）、（11）两式可得：因此有： （12）联立（7）、（8）两式得： （13）为了计算方便，选取简并的概率密度和概率流密度,有： （14） （15）根据这个定义，得到以下各式： （16） （17） （18） （19） （20）由（16）式，得 化简得： （21） 在足够长的时间的条件下，系统达到稳定后，就会有，结合（

18、16）式得，是常数。因此长时间后系统达到稳态时，（17）与（21）式变为： （22） （23）式（22）是一阶微分方程，同时上面的（18）、（19）两式是边界条件和归一化条件，再联立（23）式，可以解出、,这三个物理量就是热学棘轮系统的稳态解。4.热学棘轮系统的简化模型4.1恒驱动力作用下的热学棘轮系统在恒驱动力（24）的作用之下，那么就会得到微分方程（22）的通解为： (25)其中C是常数。将解（25）式代入（18）式，可得：进而解得： （26）可以验证 ,故此得出C是常数。将（26）式代入（25）式： （27） 将解（27）代入归一化条件（19），可得： 令 （28）那么有： （29） (

19、30)有（23）式可得： （31）以上三式（29）、（30）、（31）求得的、就是恒驱动力作用下的热学棘轮系统的稳态解。4.2简化的棘轮势作用下的热学棘轮系统在此情况下，假设系统仍受恒驱动力的作用，于是沿用4.1中的恒驱动力条件（24）式。于是采用分段线性的棘轮势函数来表示系统的解析解： （32）其中。而，。图三 分段性的棘轮势函数继续沿用4.1的结果可得 （33）为了不引起混淆，下文中均以 代替 表示周期，以 代替 表示系统稳态下的简并概率流密度。记： （34） (35) (36) (37)为了简化书写，并注意到 、 、 、 之间的关系：因为存在上面的关系，所以可以简化计算，可得情况一，当

20、时，情况二，当 时，因此可得以下计算过程：将上式代入（33）式，得： （38）由（34）、（35）两式求得 （39） （40）其中（41），（42）。将（39）、（40）代入（38）式，得： （43）根据（23）式，可得系统在稳态下的粒子流为： （44）根据（44）式，作出的函数图像，如下图。选择使用无量纲单位：，。图四 稳态下的粒子流与外力的响应曲线时，=0。也就说明此时，在棘轮势中运动的布朗粒子，所受到的外力为零。也就是说，尽管在棘轮势的作用下，空间的对称性发生破缺，仍然不能形成定向粒子流。正如3.2分析的原始棘轮系统那样：当棘轮系统中布朗粒子没有受到外力的情况下，由于棘爪本身存在热涨落，

21、棘轮不会定向转动起来。这一结果也证明了棘轮系统没有违背热力学第二定律。时，棘轮系统中出现了粒子流。在恒外力作用下，热学棘轮系统的稳态是一种非平衡态。即使在稳定的概率密度分布下，因为受到外力场的作用，非零粒子流仍可能存在。图四中的响应曲线在主要的线性阶段是关于原点对称的，也就是还没出现对称性破缺。而当外力到达一定程度时，就出现了关于原点的对称性的破缺1。4.3均匀方波驱动力作用下的热学棘轮系统沿用4.2简化棘轮势（32）式。选取均匀方波驱动力 （45） 其中，且周期远大于系统的弛豫时间。因此仍可沿用（43）式。平均概率流密度为 （46）即可绘制出和各参数、之间的函数图五 平均概率流密度随变化的曲

22、线（、）图六 平均概率流密度随变化的曲线（、）根据图五、图六共同分析可得，的大小反映了棘轮势对称性破缺的程度。单从图五分析可得，当驱动力一定时，越大时，平均概率流密度就越大。单从图六分析可得，当驱动力一定时，越小时，平均概率流密度就越大。也就是说，当驱动力一定时，和是正相关关系，而和是负相关关系。同时也反映了越大，棘轮势的对称性破缺程度越大，驱动力产生的平均概率流密度就越大。介质中的布朗粒子，既受到（32）式所示的对称性破缺的棘轮势的作用，也受到驱动力的作用，在它们的共同作用下，产生粒子流。当时，向轴正向的粒子流要越过的峰值，受到的阻力大小为；当时，向轴负向的粒子流要越过的峰值，受到的阻力大小

23、为。一定时，若越大，向轴正向的粒子流受到的阻力越小，向轴负向的粒子流受到的阻力越大，结果是越大。图七 平均概率流密度随变化曲线（、）图八 平均概率流密度随变化曲线（、）根据图八分析可得，随着驱动力的增大，平均概率流密度先增大后减少，根据变化的曲线控制施加驱动力的大小可以得到最大的平均概率流密度。当4.2析可知，时，。而时，的作用消失，。因此在上存在某一个的值，使得取最大值。图九 平均概率流密度随变化曲线（、）图十 平均概率流密度随变化曲线（、）系统温度对平均概率流密度的影响程度，随着驱动力的振幅的大小不同而有所不同。如图九所示，当大小适中的区间时，随着温度不断增大，平均概率流密度先增大后减小。

24、如图十所示，当处于较大的区间时，随着温度不断增大，平均概率流密度一直减小，呈现负相关关系。由于上面的发现只是一种根据图九、图十推测出来的，不能最直接地反映出三者关系，因此作出二元函数的图像，它可以更直观地显示出和对的影响。图十一 平均概率流密度随和变化图像（、）为了建立的一个更具有普遍意义的热学棘轮系统模型，于是采取更一般形式的驱动力和棘轮势，采用数值计算的方法进行分析7。根据图像分析表明，在布朗粒子处于周期性势场和过阻尼的情形下，即使势场出现对称性破缺现象，但由于存在细致平衡，热力学第二定律仍然阻止产生定向粒子流。然而，如果布朗粒子受到具有足够的时间关联性（关联时间>>Smolo

25、wchowski时间）的驱动作用，细致平衡就会被破坏，于是就能形成定向粒子流。于是能得出的结论是：对称性发生破缺且存在足够长的时间关联是定向运输的充分条件，这也许就意味着，对称性破缺允许系统无偿地从热浴的时间关联部分汲取能量8。5.总结和展望论文首先简单介绍了布朗运动理论的发展，再介绍分子布朗马达的研究背景。在物理研究中，分子马达被看成是布朗粒子或布朗棘轮，进而由Langevin方程和Fokker-Planck方程出发，对热学棘轮系统进行理论推导，介绍了热学棘轮系统的基本概念、热学棘轮系统的统计力学分析，最后得出布朗粒子的粒子流和热学棘轮系统的概率密度、率流密度。在理论的基础上提出了热力学系统

26、的简化模型，是三种情况下的简化模型：第一种是动力作用下的热学棘轮系统；第二种是的棘轮势作用下的热学棘轮系统；第三种是均匀方波驱动力作用下的热学棘轮系统。对每一种情形下的热学棘轮系统都进行了理论推导和相关模拟，找出不同变量与平均概率流密度之间的关系。由于研究分子布朗马达运动机制对生物的探索有着重要的意义，但是也存在巨大的挑战性，将来在研究分子布朗马达可以从以下几方面入手：第一，先将分子布朗马达分类，根据不同种类的分子布朗马达进行深入研究。由于分子布朗马达是随着生物体的进化而进化的，因此在漫漫时间长河中，已经产生了各种各样，功能不同的分子布朗马达。科学家们已经发现了还几百种分子布朗马达。随着科学家

27、的研究不断深入，随着科技的发展，还会有更多种类的分子布朗马达将被发现。这么多分子布朗马达都需要进行一一研究，但是如今，人们并没有好好研究已经发现了的分子布朗马达，需要对分子马达从结构、功能及运动规律方面进行深入研究。若是能把数量众多的分子布朗马达进行分类，将能提高研究的效率和更好地发现分子布朗马达之间的共性，找出分子布朗马达共同，或某一分子布朗马达分类的统一规律和原理。同时也能为以后运用布朗分子马达技术提供可靠的理论基础。第二，研究分子布朗马达的做功原理。这个研究方向是分子布朗马达研究的核心方向，分子布朗马达的做功原理，蕴含了生命运动的奥秘。虽然如今的研究已经有一定程度的进展，但是距离揭开分子

28、布朗马达做功原理的奥秘还有较远的距离。想要揭开生命运动的奥秘是需要众多学科的研究人员有机融合、交叉研究共同努力来探索的。第三，研究分子布朗马达的做功效率。经过研究可以发现，分子布朗马达具有极高的能量转化效率，它们大部分的效率在50%以上，相对于人类如今所能制造的能量转化机器来说，这个效率已经非常高的了，而且还发现了能量转化效率接近100%的分子布朗马达。这就是说，研究构建的分子布朗马达模型模拟出来的效率也应该与实际相符。但是在已经构建出来的模型中，计算得到的效率却是很低的，这与实际情况的做功效率相差甚远，说明现存的模型是不准确的，还需要解决很多实质性问题，才能做出与实际更加相符的模型。参考文献

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