基本不等式及其应用

1、简单数学简单爱，数学让我更精彩；有限时间，有限精力，有限题目，无限能力必修五专题八：基本不等式及其应用一知识结构(博闻强记，是一项很强的能力). a bI.JOb兰(aO，bO)，当且仅当时，等号成立.2其中 -一b和 ab分别称为正数 a， b的和22基本不等式的重要变形：2 2a b -(a， b R) = ab ；(a，ab 兰b2a b2第-1 -页简单数学简单爱，数学让我更精彩；有限时间，有限精力，有限题目，无限能力第-# -页简单数学简单爱，数学让我更精彩；有限时间，有限精力，有限题目，无限能力经典例题：下列不等式在 a、b>0时一定成立的是 (1)a b2、2、ab w2a

2、ba ba b a2b22 22ab a ba2b22ab w a2 b2a b l 2第-# -页简单数学简单爱，数学让我更精彩；有限时间，有限精力，有限题目，无限能力3. 均值定理已知x，r R ，则：(1 )若x + y = S (和为定值)，则当x = y时，积xy取得最_(2)若x y = P (积为定值)，则当x = y时，和x y取得最利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立, 以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。二.题型选编(熟能生巧,在有限时间内提咼解题效率的最佳方法) 题组一：利用不等式求最值例1：求下列各题的最值：4(1) x

3、 3，求f (x)x的最小值；x 35(2) x R，求 f (x)二 sin2 x V 2的最小值；sin x +14(3) 0 . x ，求 f (x) = x(43x)的最大值；319(4) 已知x 0,y0,且1 ,求x y的最小值。x y变式练习：1设a,bR，且a b =3，则2a - 2b的最小值是A .6B . 4 2C .2 2D .2 62 .下列不等式中恒成立的是X221x2 4-2 D .4A .、2 B . x2C .2 - 3x - 2x2 2x.x2 5x3 .下列结论正确的是A1.当x0且x屮1时,lg x -2B.当x 0时， x12lg xxC .1当x 一

4、 2时,x的最小值为2D.当 0 ：x三2时,x1无最大值xx4. 若x, y是正实数，则(x y)(1 - 4)的最小值为x yA. 6B.9C.12D.155. 若正数a、b满足ab = a b 3，则a - b的取值范围是A. 9, ：)B. 6, ：) C. (0,9D. (0,6)6. 设目 R，且4y2 4xy x 0，则x的取值范围是A . -3_x_3 B . -2_x_3 C . x _-2 或 x_3 D . x _-3 或 x_27 .下列函数中最小值是4的是丄4丄4A .y =x B . y - sin xxsin xC .y m21 x212 1D . y=x23,

5、x=0X2 +1&若关于x的方程9x(4 a) 3x0有解，则实数a的取值范围是A .(-二，-8 0,B .(-二，-4 C . (-8,4 D . (-：，-89.已知x 5，41则函数y =4x -2的最大值4x510 .已知a 2，a2 -2a 1a -2a ' '4 a -2 r r，q =2则第-3 -页简单数学简单爱，数学让我更精彩；有限时间，有限精力，有限题目，无限能力C . p -qD . Pqb . p ：qx 411 .已知函数f(x) =lg(5 m)的值域为R,贝U m的取值范围是(5A. (-4, ：) B.-4, ：) C. (-：，-4)

6、D.第-# -页简单数学简单爱，数学让我更精彩；有限时间，有限精力，有限题目，无限能力1 112设 x,y R,a 1,b 1，若ax 二 by =3 , a 2.3，则 的最大值为 。x y13.若 a> b> 1，p = . Ig a Igb，Q= ； Ig a lg b ，r= lg !），贝V p、Q、r 的大小关系是 ； 题组二：利用基本不等式解应用题例2:某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的 三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示）, 如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙

7、 的厚度忽略不计（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2） 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价 最低，并求出最低总造价变式练习：1某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数 x的函数关系为y =-（X - 6）2 11（xN ）,则每辆客 车营运多少年，其运营的年平均利润最大 2.批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达 B市。已知两地铁路线长 400V 2km，为了安全，两列货车的间距不得小于（一）2km （货车长度忽略不计），那么这批货物20全

8、部运到B市最快需要多少小时？3某商场的某种商品的年进货量为 1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需 运费100元，运来的货物除出售外， 还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计 算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为 4. 某单位建造一间地面面积为 12m2的背面靠墙的矩形小房， 由于地理位置的限制， 房 子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为 400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2, 屋顶和地面的造价费用合计为 5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用.（1）把房屋总造价 y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；（2）当侧面的长度为多少时，

9、总造价最底？最低总造价是多少？25. 某校要建一个面积为 392 m的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2n和4 m的 小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。6 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度：(千米/小时)之间的函数关系为： y二2 920( . 0)。u2 +3u +1600(1) 在该时段内，当汽车的平均速度：为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精 确到0.1千辆/小时)(2) 若要求在该时段内车流量超过 10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？7如图所示，将

10、一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园 AMPN，要求B在AM 上, D在AN上，且对角线 MN过C点，已知AB=3米，AD=2米，(1) 要使矩形 AMPN的面积大于32平方米，则 AN的长应在什么范围内？(2) 当AN的长度是多少时，矩形 AMPN的面积最小？并求最小面积；(3) 若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形 AMPN的面积最小？并求 出最小面积.8 .某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价 40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1 )仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？&解：设铁栅长为 x米，一堵砖墙长为 y米，则顶部面积为 S = xy依题设，40x2 45y 20xy =3200，由基本不等式得320