初中数学：勾股定理的多种证明(1)精品精编资料

1、初中数学：勾股定理的多种证明勾股定理的证明方法1做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到， 这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等 . 即 a 的平方加 b 的平方，加 4 乘以二分之一 ab 等于 c 的平方，加 4 乘以二分之一 ab，整理得 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。勾股定理的证明方法2以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一 ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点

2、在一条直线上， B、F、C 三点在一条直线上， C、G、D 三点在一条直线上 . Rt HAE Rt EBF, AHE =BEF. AEH +AHE = 90o, AEH +BEF = 90o. HEF = 180o90o= 90o.四边形 EFGH是一个边长为 c 的正方形 . 它的面积等于 c2. Rt GDH Rt HAE, HGD =EHA. HGD +GHD = 90o, EHA +GHD = 90o.又 GHE = 90o, DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD是一个边长为 a + b的正方形，它的面积等于 a+b 的平方。 a 加 b 的平方等于 4 乘二分之一

3、ab，加上 c 的平方。 . a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。勾股定理的证明方法3以 a、b 为直角边（ b>a），以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一 ab。把这四个直角三角形拼成如图所示形状。 Rt DAH Rt ABE, HDA =EAB. HAD + HAD = 90o， EAB +HAD = 90o， ABCD是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于c2. EF = FG =GH =HE = b a , HEF = 90o. EFGH是一个边长为 ba的正方形，它的面积等于 b 减 a 的平方。 4 乘二分之一 ab 加上， b 减

4、 a 的平方等于 c 的平方。 a2+b2=c2(说明 a2 为 a 的平方 )。勾股定理的证明方法4以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一 ab。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上 . RtEAD RtCBE, ADE =BEC. AED +ADE = 90o, AED +BEC = 90o. DEC = 180o90o= 90o. DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于二分之一 c2.又 DAE = 90o,EBC = 90o, AD BC. ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 1/2(a+b)2

5、. 1/2(a+b)2=2x1/2ab+1/2c2. . a2+b2=c2.勾股定理的证明方法5做四个全等的直角三角形， 设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、 E、 F 在一条直线上 . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. D、E、F 在一条直线上 ,且 Rt GEF Rt EBD, EGF =BED， EGF +GEF = 90，° BED +GEF = 90，° BEG =180o90o= 90o.又 AB = BE = EG = GA =，c ABEG是一个边长为 c 的正方形 . ABC +CBE

6、 = 90o. Rt ABC Rt EBD, ABC =EBD. EBD +CBE = 90o.即 CBD= 90o.又 BDE = 90o， BCP = 90o，BC = BD = a. BDPC是一个边长为 a 的正方形 .同理， HPFG是一个边长为b 的正方形 .设多边形 GHCBE的面积为 S，则a2+b2=S+2 x 1/2xabc2=S+2x1/2 x ab a2+b2=c2.勾股定理的证明方法6做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C三点在一条直线上

7、 .过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P.过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点F 作 FN PQ，垂足为 N. BCA = 90o，QP BC， MPC = 90o， BMPQ， BMP = 90o， BCPM是一个矩形，即 MBC = 90o. QBM + MBA = QBA = 90o， ABC +MBA = MBC = 90o， QBM =ABC，又 BMP = 90o， BCA = 90o，BQ = BA = ，c Rt BMQ Rt BCA.同理可证 RtQNF RtAEF.从而将问题转化为【证法4】勾股定理的证明方法7做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如

8、图所示形状，使 H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、 CD.过 C 作 CL DE，交 AB 于点 M ，交 DE于点 L. AF = AC，AB = AD， FAB =GAD， FAB GAD， FAB的面积等于 1/2 乘 a2，GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，矩形 ADLM 的面积=a2.同理可证，矩形MLEB的面积=b2.正方形 ADEB的面积= 矩形 ADLM 的面积 +矩形 MLEB的面积 c2=a2+b2，即 a2+b2=c2.勾股定理的证明方法8如图，在 Rt ABC中，设直角边 AC、BC的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD AB，垂

9、足是 D.在 ADC和 ACB中， ADC =ACB = 90o， CAD =BAC， ADC ACB. ADAC = ACAB，即 AC2=AD·AB.同理可证，CDBACB，从而有 BC2=BD·AB . AC2+BC2=(AD+DB)·AB=AB2 ，即 a2+b2=c2.勾股定理的证明方法9做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为 c. 再做一个边长为c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作AFAC，AF交 GT于 F，AF交 DT于 R. 过 B 作 BPAF，垂足为 P. 过 D 作 DE与C

10、B的延长线垂直，垂足为 E，DE交 AF 于 H. BAD = 90o， PAC = 90o， DAH =BAC.又 DHA = 90o， BCA = 90o，AD = AB = ，c Rt DHA Rt BCA. DH = BC = ，aAH = AC = b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以 RtAPB RtBCA即. PB =CA = b，AP= a，从而 PH = b a. Rt DGT Rt BCA ,RtDHA RtBCA. Rt DGT Rt DHA . DH = DG = ，a GDT = HDA .又 DGT = 90o， DHF = 90o， GDH = GDT +TD

11、H =HDA+ TDH = 90o， DGFH是一个边长为 a 的正方形 . GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ ba） .用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为勾股定理的证明方法10设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（b>a），斜边的长为 c. 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图） . TBE = ABH = 90o， TBH =ABE.又 BTH =B

12、EA = 90o，BT = BE = ，b Rt HBT Rt ABE. HT = AE = a. GH = GTHT = b a.又 GHF +BHT = 90o， DBC +BHT =TBH +BHT = 90o， GHF =DBC. DB = EB ED = ba， HGF =BDC = 90o，勾股定理的证明方法11在 Rt ABC中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a因.为 BCA = 90o，点 C 在 B 上，所以 AC是 B 的切线 . 由切割线定理，得AC2=AE·AD=(AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)=c2-a2,即 b2=c2-a2, a2+b2=c2勾股定理的证明方法12在 Rt ABC中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c（如图） .过点 A 作 AD CB，过点 B 作 BD CA，则 ACBD为矩形，矩形 ACBD内接于一个圆 . 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB·DC=AD·BC+AC·BD， AB = DC = ，cAD = BC = ，aAC = BD = ，b AB2=