2010高考数学二轮复习专题10：线面位置关系的判定和性质及(精)

1、 专题十:线面位置关系的判定和性质 【走进高考】 1.(09 福建设 m , n 是平面a内的两条不同直线，11,21 是平面 直线，则 a /的 3个充分而不必要条件是(B A.m / 且 I / a B. m / 且 n /I 2 C. m /且3n / 3 D. m 且 n /巾 2 2.(09 全国已知二面角 I o ，动点 P、Q 分别在面a 3内，P 至 u 3 Q 到 筋 a 的距离为 P、Q 两点之间距离的最小值为(C A. B.23内的两条相交 a-为 C. D.4 3.(09 浙江 如图,平面 PAC 丄平面 ABC , ABC ?是以 AC 为斜边的等腰 直角三角形,E

2、F O分别为 PA , PB , AC 的中点,16AC =, 10PA PC =. (I 设 G 是 OC 的中点，证明:/FG 平面 BOE ; (II 证明:在 ABO ?内存在一点 M ,使 FM 丄平面 BOE ,并求点M到 OA , OB 的 距离. 【解析】(I 证明:如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在 直线为 x 轴,y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 O xyz -. J 则(0,0,0, (0,8,0, (8,0,0,(0,8,0,O A B C -(0,0,6,(0,4,3, P E -(4,0,3F , (0,4,0, G 所以(8,

3、0,0,(0,4,3 OB OE =- 因此平面 BOE 的法向量为(0,3,4n = 又因为（4,4, 3FG =- ,，所以 0n FG ?=. 直线 FG 不在平面 BOE 内,因此有FG 平面 BOE . (II 证明:设点 M 的坐标为(00, ,0 x y，则 00(4, , 3 FM x y =- 因为 FM 丄平面 BOE ,所以有FM n 因此有 0094, 4x y =- ，即点M的坐标为 94, ,04? ? - ? x y z 在平面直角坐标系 xoy 中,AOB ?的内部区域满足不等式组 ? _? 的坐标得点 M 到 判定：$agga?=? ,b P , b ,a ,

4、b a 性质:b a b a /? =? =? YBY aa 二、垂直关系的相互转化 面面垂直 1.线面垂直 判定：aaJO?丄丄=? l n I m I A n m n m ,. 性质:b a b a /?丄 丄aa ,. 三线定理:OP a OA ,A, a PA a 丄？丄丄?, , a三线定理的逆定理:OA a ,0P OP ,P a A PA a 丄？丄丄?,于, aaaa面面垂直 判定：Ba丘？丄,a a . 性质：BaB止？也？=丄 m I , ,m m I , 三、平行与垂直的相互转化 垂直于同一平面的两条直线平行；垂直于同一直线的两平面平行； 两平行线中的一条垂直于一个平面，

5、则另一个也垂直于这个平面. 【经典例解】 题型一:空间中的平行关系 【例 1】如图,在直四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中, 底面ABCD 为等腰梯形，AB/CD, AB=4, BC=CD=2, AA 仁 2, E、E 1、F 分别是棱 AD、AA 1、AB 的中点. (1 证明:直线 EE 1平面 FCC 1; (2 求二面角 B-FC 1-C 的余弦值. 【解析】 解法一 :(1 在直四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，取 A 1B 1 的中点 F 1, 连接 A 1D , C 1F 1, CF 1. 因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD,所以 CD 二 A

6、1F 1, 所以 A 仆 1CD 为平行四边形，从而 CF 1/A1D. 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点所以 EE 1/A1D，所以 CF 1/EE1. 又因为 1EE ?平面 FCC 1, 1CF ?平面 FCC 1,所以直线 EE 1平面 FCC 1. (2 因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点，所以 BF=BC=CF, BCF 为正三角形.取 CF 的中点 O，则 OB 丄 CF. 在直四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，CC 1 丄平面 ABCD ,所以 CC 1 丄 BO，所以 OB 丄平面 CC 1F.过 O 在平面 CC 1

7、F 内作 0P 丄 C 1F，垂足为 P 连接 BP，则/ OPB为二面角 B-FC 1-C 的一个平面角.在正三角形 BCF 中 ,0B =在 Rt CC 1F 中, OPF CC 1F ,v 110P OF CC C F = ，二 22OP = .在 Rt OPF 中，2 BP =3 cos OP OPB BP/ =B-FC 1-C l2 + 2 JoF+曲 解法二:(1 因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF, BCF 为正三角形因为 ABCD 为等腰梯形,所以/ BAC= / ABC=60 .取 AF 的中点 M , 连接 DM ,则 DM

8、丄 AB ,所以 DM 丄 CD.以 DM 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴建 立空间直角坐标系则 D (0,0,0 , A ,C (0,2,0 , C 1(0,2,2 ,E 1 2-,0 ,E 1 所以 11 ,1 2 EE =- ,1,0 CF =- , 1(0,0,2CC = ,1(,2 FC = .E A B E A B E A 设平面 CC 仆的法向量为(,n x y z =，则 10 n CF n CC ? =? =? 所以 00y z -=?. 取(1n = ，则 11 110022 n EE ? =-? =,7 所以 1n EE 丄 所以直线 EE 1平面 F

9、CC 1. (2 因为(0,2,0FB = ，设平面 BFC 1 的法向量为 1111(, , n x y z =, 则 11100n FB n FC ? =? =? ，所以 1111020y y z =? +=? 取 1n = ，则 121002n n ? =? += 而 |2n = ,1|n = ，所以 111cos , |n n n n n r? ? ?= .由图可知二面角 B-FC 1-C 为锐角，所以二面角 B-FC 1-C 的余弦值为 .【点拨】本题以直棱柱为载体考查线面的位置关系的判定和二面角的计算 ， 同时考查考生的空间想象能力、推理运算能力和应用向量知识解答问题的能力 . 解

10、法一用几何法处理,要证直线 EE 1/平面 FCC 1,只需证明直线平 EE 1 平行平 面FCC 1 内的一条直线即 可，利用棱柱中的平行关系构造平行四边形即可轻松得证 计算二面角的大小的关键是找到二面角的平面 角，其突破口是利用直棱柱中的升垂 直关系和三垂线定理或其逆定理构造直角三角形 解法二是用向量法处理，要证线面平行，只需证直线的方向向量与平面的法向量 的数量积为零即可；求二面角的大小转化为求两个平面的法向量的夹角 . 【变式】如图，在直三棱柱 111ABC A BC - 中,E,F 分别是 11A B,AC 的中点，点 D 在 11B C 上,11A D B C 丄.求证： (1 E

11、F / ABC 平面； (2 111A FD BBC C 丄平面平面. 【解析】证明：(1 因为 E,F 分别是 11A B,AC 的中点, 所以 EF /BC . 又 EF ?面 ABC , BC ?面 ABC ,所以 EF / ABC 平面. (2 因为直三棱柱 111ABC A BC -1 2 B C A B 1 C 1 E F 所以 1111BB ABC 丄面，11BB A D 丄.又 11A D B C 丄，所以 111AD BC C 丄面 B , 又 11AD AFD ?面，所以 111A FD BBC C 丄平面 平面. 题型二:空间中的垂直关系 【例 2】如图,在五面体 ABC

12、DEF 中，FA 丄平面 ABCD , AD/BC/FE, AB 丄 AD , M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE= AD. ( I求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(U证明平面 AMD 丄平面 CDE ;(川求二面角 A-CD-E 的余弦值.【解析】 解法一 :(I由题设知 BF/CE,所以 / CED (或其补角为异面直线 BF 与 DE 所成的角 设 P 为 AD 的中点，连结 EP , PC. 因为 FE /=AP，所以 FA /= EP.同理 AB /=PC.又 FA 丄平面 ABCD ,所以 EP 丄平面 ABCD.而 PC , AD 都 在平面 ABCD 内，

13、故 EP 丄 PC , EP 丄 AD.由 AB 丄 AD ,可得 PC 丄 AD 设 FA=a, 贝 U EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a 故/ CED=60 .所以异面直线 BF 与 DE 所成 的角的大小为 60. (U证明：因为 DC DE =,且 M 为 CE 的中点所以 DM CE 丄.连接 MP ,则 MP CE 丄. 又 MP DM M =,故 CE 丄平面 AMD . 而 CE ?平面 CDE ,所以平面 AMD 丄平面 CDE . .CD EQ DE CE . EQ PQ CD Q 丄=，所以 因为，的中点，连结 为设 因为.E CD A EQP CD PQ PD

14、 PC 的平面角 为二面角，故 所以-/丄= 由（I得 2 2 26EQ a PQ a PQ EP = 丄,于是在 Rt EPQ ? 中，cos PQ EQP EQZ = 二所以二面角 A CD E - 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设，仁 AB 则(,001B (, , , 011C (, , , 020D (, , , 110E (, , , 100F . 21121 M ? ? (I因为(101BF 二，,(011DE =- 所以？ 1 cos . 2BF DE BF DE BF DE ,所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 0 60. (H 证明：由 11122AM

15、? = ? ,(101CE =- (020AD = 得? 0CE AM = , ? 0CE AD =,因止匕 CE AM CE AD 丄丄,. 又 CE AMD AM AD A ?=丄，故平面. .CDE AMD CDE CE 平面，所以平面 平面 而丄 (川设平面 CDE 的法向量为 0( D 0. u CE u x y z u E ?=?=? ?=? ,，则.于是 01(111.0. x z x u y z -+=? =? -+=? J 令，可得, 又平面 ACD 的一个法向量为.100(, =v . 33 1 100=?+=?= v u v u v u ,所以,因为二面角 A CD E

16、- 也 【点拨】本小题要考查异面直线所成的角、面面垂直、二面角等基础知识 ，以 及用空间向量解决立体 几何问题的方法，同时考查考生的空间想像能力、运算能力 和推理论证能力. 求异面直线所成的角，可用平移法转化为解三角形求之，也可转化为其方向向量 的夹角求之；证面面垂直只需在其中一个面内找到一条直线垂直另一个平面即可 ，也 可证明直线的方向向量与平面内两个不共 线向量的数量积为零. 1 2 如图，在三棱锥 P ABC -中，PA 丄底面,60, 90ABC PA AB ABC BCA ? =/ =/ =，点 D , E 分别在棱，PB PC 上,且 /DE BC (I求证:BC 丄平面 PAC

17、; (U当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小； (川是否存在点 E 使得二面角 A DE P -为直二面角？并说明理由. 【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基 础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. (IV PA 丄底面 ABC , PA 丄 BC . 又 90BCA ? / =, AC 丄 BC . (HV D 为 PB 的中点，DE/BC, DE BC = ,又由（I知,BC丄平面 PAC ,二 DE 丄平面 PAC ,垂足为点 E . / DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角,T PA 丄底面 ABC ,

18、 A PA 丄 AB ,又 PA=AB，二 ABP 为等腰直角三角形，二 AD AB = ，二在 Rt ABC 中,60ABC ? / =, 1 2 BC AB = .A在 Rt ADE 中,sin 2DE BC DAE AD AD / = ,A AD 与平面 PAC 所成的角的大小为（川：DE/BC,又由（I知，BC 丄平面 PAC ,A DE 丄平面 PAC , 又 AE ?平面 PAC , PE ?平面 PAC ,A DE 丄 AE , DE 丄 PE , A / AEP 为二 面角 A DE P -的平面角, / PA 丄底面 ABC , A PA 丄 AC , A 90PAC ? 在

19、棱 PC 上存在一点 E 使得 AE 丄 PC ,这时 90AEP ? 故存在点 E 使得二面角 A DE P -是直二面角.【解法 2】如图,以 A 为原点建 立空间直角坐标系 A xyz -,设 PA a =，由已知可得 (10,0,0, ,0, ,0, 0,0, 2A B a C P a? - ? ? ? ? .(iv (10,0, , ,0,02AP a BC a? =? 0BC AP ?= ，二 BC 丄 AP . 又 v 90BCA ? / =, BC 丄 AC，二 BC 丄平面 PAC . (Hv D 为 PB 的中点，DE/BC, / E 为 PC 的中点， 111, , ,

20、422D a a E a? ?，二又由(I 知,BC丄平面 PAC ,二 DE 丄平面 PAC ,垂足为点 E . / DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角, v 111, , , 422AD a a AE a ? =-=? ? ? ? , cos 4AD AE DAE AD AE ? / = ?.二 AD 与平面 PAC 所成的角的大小为 arccos 4 .同解法 1. 题型三:翻折与展开问题 【例 3】如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=4, BC=3,沿对角线 AC 把矩形折成二 面角D -AC -B ,并且 D 在平面 ABC 内的射影落在 AB 上. (1 求证:AD 丄平

21、面 DBC ; (2 求二面角 D -AC -B 的大小. 【解析】(1 设 D 在 AB 上的射影为 H，则 DH 丄平面 ABC. v DH 丄 BC , BC 丄 AB ,二 BC 丄平面 ADB ,于是 AD 丄 BC .又 AD 丄 DC，二 AD 丄平面 DBC. (2 在平面 ABC 内作 HE 丄 AC ,垂足为 E 连结 DE. A 则 DE 丄 AC ,故/ DEF 为二面角 D -AC -B 的平面角.在 Rt ADC 中,DE= 512;在 Rt ADB 中,DH=4 3. 在 Rt DEH 中,1675sin = / DE DH DEH ,所以 16 7 5arcsi

22、n =Z DEH .即二面角 D -AC -B 的平面角为 16 5arcs in 【点拨】本题通过平面图形翻折成空间几何体来考查线面线面的关系、空间 角等基本知识，同时考查 考生的空间想象能力和计算能力.解答翻折问题的关键是 把握图形中的位置关系和数量关系哪些在翻折前 后不变，哪些发生改变，然后通过不 变的关系来处理已改变的关系. 【变式拓展】三个 1212?的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成 A、 B 两片，如图，把这六片 粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体，则这个多面体的 体积为.【解析】1864 【规律总结】 1作几何体的截面时，要先找到截面与各表面的两个公共点，再作出这个截

23、面与 几何体各表面的交线，或者先找到一个公共点，再根据条件过此点作某线的平行线 2. 解答空间中的位置关系问题时，要注意几何法与向量法结合起来使用 (1 若 图形中容易找平行线或垂线等关键线，则选择几何法较简便； (2若图形中很难找到关键直线，如平平行线、垂线等，则选择向量法而用向量 法，一般要求先求出 直线的方向向量，以及平面的法向量，然后考虑两个相关的向量是 否平行或垂直 3. 解答翻折问题的关键是把握图形中的位置关系和数量关系哪些在翻折前后不 变,哪些发生改变，然后通过不变的关系来处理已改变的关系 4. 对于空间中线面位置关系的探索性问题，有时运用几何直观性大胆猜测后推 理验证；有时直接

24、建系后进行计算；有时两种办法相结合因结果的不确定性，增强了 对考生能力的考查而成为新高考的热点 【45限时训练】一、选择题 1.设 b a ,是两条不同直线, 是两个不同平面，给出下列四个命题：若,a b a 止丄 b ?,则b 若/, a 第 4 题图 若,a LL,则/a 或 a 命题是( ?;若,a b a b 丄LL则a L.其中正确的 A.B.C.D. 2. 已知平面 丄a平面B ,丨= 点a A A ? J 直线 AB/I ,直线 AC 丄 l ,直线 m a m/则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ A . AB/m B . AC 丄 m C . AB/ B D . AC 3.

25、 一直线与一平面所成的角等于 3 n另一直线与这个平面所成的角是 6 n .则这两条直线（A .必定相交 B .平行 C .必定异面 D .不可能平行 4. 如图，在长方体 1111D C B A ABCD -中，AB =10, AD =5, 1AA =4.分别过 BC、11D A 的两个平行 截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 111AEA DFD V V -=, 11112D FCF A EBE V V -=, C F C B E B V V 11113-=.若 123:1:3:1V V V =,则截面 11EFD A 的面积为（ A. 4 B.38 16 二、填空题 5. 正方体 A

26、BCD -A 1B 1C 1D 1 中，点 P 在侧面 BCC 1B 1 及其边界上运动，并 且总保持 AP 丄 BD 1,则动点 P 的轨迹是 _ . 6. 在四棱锥 P-ABCD 中,P A 丄底面 ABCD ,底面各边都相等，M是 PC 上的一 动点,当点M满足 时,平面 MBD 丄平面 PCD . 7. 等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 C AB D - vK M N ,分别是 AC BC ,的中点,则 EM AN ,所成角的余弦值等于 _ . 三、解答题 8. 如图在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，面 CDE 是

27、等边三角形，棱 / 1 2 EF BC =. (1 证明 F0 平面 CDE ; (2 设 BC =，证明 E0 丄平面 CDF . 9. 在斜三棱柱 A1B1C1-ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面 BB1C1C 丄底面 ABC. ( I若 D 是 BC 的中点， 求证：AD 丄 CC1; (U过侧面 BB1C1C的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M，若 AM=MA1，求证： 截面 MBC1 丄 侧面 BB1C1C; AM=MA1 是截面 MBC1 丄平面 BB1C1C 的充要条件吗？请你 叙述判断理由. D A C B M C1 A1 B1 10.在直角梯形 ABCD 中，/

28、A= / D=90， AB v CD，SD 丄平面 ABCD，AB=AD=a，S D= 2a，在线段 SA 上取一点 E (不含 端点)使 EC=AC，截面 CDE 与 SB交于点 F. (1)求证：四边形 EFCD 为直角梯 形；(2)求二面角 B-EF-C 的平面角的正切值； (3)设 SB 的中点为 M，当 CD 的值是多少时，能使 DMC 为直角三角形？请给出证明 AB S F M D A B C E 11 限时训练参考答案一、选择题 1.C 2.D 二、填空题 5.线段 B1C . 3.D 4.C 6. BM PC 7. 1 6 三、解答题 8【解析】（1）证明：取 CD 中点M，连结 0M. 1 1 在矩形 ABCD 中，0M / BC， 又 EF / BC， 贝 U EF /OM . 2 2连结 EM， 于是四边 形EFOM为平行四边形,FO/EYL又 F0 平面CDE，EM 平面CDE， F0/平面 CDE. （2）证明：连结 FM.在等边 CDE 中 DM , EM CD，且 EM 3CD IRC EF J2 因此平行四边形EFOM为菱形，从而 E0 丄 FM 而 FMn CD=M，二 CD 丄平面 EOM，从而 CD 丄 EO.而 FM CD M，所以 EO 丄平面CDF. 9.【解析】（IT AB=AC, D 是 BC