三角函数与解三角形中的范围问题含答案

1、1.在锐角厶 ABC 中，a, b, c 分别为角 A、B C 的对边，且 B=2A 求的-取值范围a2.在 ABC 中，a,b,c分别为角 A, B, C 的对边，设f(x)=a2x2-(a2-b2)x-4c2,(1)若f (1) = 0,且 B- C=，求角 C.3(2)若f(2) =0,求角 C 的取值范围3在锐角ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且3a = 2csinA,(1) 确定角C的大小；(2) 若c7，求ABC面积的最大值.2 2 24.已知ABC中，角A, B,C,所对的边分别是a,b,c,且 2(a+bc)=3ab.(1) 求 cosC；若c=2,求厶ABC面

2、积的最大值.5.在厶ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c2二a2 b2- abj3(I)若tan A -tan B = (1 tan A tan B)，求角B；344一 -(n)设m = (sin A,1),n = (3,cos2 A)，试求m n的最大值6.ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列.(1)若sin2B = sin AsinC,试判断ABC的形状;(2)若二ABC为钝角三角形，且a c，试求代数式sin23 sin2取值范围.7.在厶 ABC 中,内角 A, B, C 所对边长分别为a,b,c,AB AC =8,a =4.(1)求b c的最大值及 v 的取值范围

3、；AcosA-1的2 2 2(2)求函数f (8) =2j3sin2(+T) + 2cos2e J3的最值.4138.在ABC中，tanA,tanB45(1)求角C的大小;(2)若ABC最大边的边长为.17，求最小边的边长.9.在=ABC中，角A, B,C所对应的边分别为a, b, c，且满足4sin2_ -cos2A=7.22(1)求角 A 的度数;b +c(2)求口的取值范围.a10 .在 ABC 中，sinB+sinC=sin(A-C).(1) 求 A 的大小；(2) 若 BC=3 求厶 ABC 的周长 L 的最大值.111 设.ABC的内角A, B,C所对的边分别为a,b,c,且aco

4、sC c=b.2(1)求角 A 的大小;(2)若a =1，求ABC的周长丨的取值范围12.已知向量m二(1,cos，x),n =(sin，x, 3)，(0),函数f (x) = mn且 f(x)图 像上一个最高点的坐标为(一,2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(7,-2).12 12(1) 求 f(x)的解析式。2 2 2(2) 在厶ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且满足a c b ac，求角B的大小以及f(A)取值范围。13.在 ABC 中，已知内角 A、B C 所对的边分别为 a、b、c,且a2b c2- ab(1)若旦-空B，且c = 2,求AABC的面积；b cos A(2

5、)已知向量m = (si nA,cosA),n =(cosB,-s inB),求丨m-2 n丨的取值范围.14 .在ABC中,a、b、c分别是角AB、C的对边，且(1)求角 B 的大小;(2)若ABC最大边的边长为.7，且sin C = 2 sin A，求最小边长15 .已知 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.它的外接圆半径为 6. / B,224/ C 和厶 ABC 的面积 S 满足条件：s=a2-(b-c)2且sinB sinC .3(1)求si nA(2)求厶 ABC 面积 S 的最大值.16.已知ABC中，sin A(sinB . 3cosB)二3sinC

6、(I)求角 A 的大小；(H)若 BC=3 求厶 ABC 周长的取值范围.17 .在锐角ABC中，三个内角AB、C 的对边分别为 a、b、c,且满足2sin 2B sin2Bsin B cos2B =1.(1)求.B的值；(2 )若 b=3，求 a+c 的最大值.18 .在 ABC 中，角AB、C 对边分别是a,b,c，且满足2ABAC二a2_(b c)2.(1) 求角 A 的大小；(2)求23cos2C -sin(4：-B)的最大值，并求取得最大值时角B、C 的大小.2319 .在 ABC 中，角AB、C 所对的边分别是 a,b,c 且a2b2_c2=1ac2(1 )求$巾24Ccos2B的

7、值；2(2)若 b=2，求 ABC 面积的最大值.20 .已知在LABC中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且.2acosB = ccosB bcosC(1)求角B的大小;(2)设向量 m =(cosA,cos2 A Jn =(12, _5 ),求当 m +n 取最大值时参考答案1.(1)c=(2)OvCW二63【解析】(1) f (1) =O,. a2-(a2-b2)-4c2=0,2 2/ b =4c , b=2c,. sinB=2sinC ,又 B-C=. sin(C+)=2sinC ,33 sinC cos 二 +cosC sin 二=2sinC ,33 2sinC- c

8、osC=0, sin(C-二)=0 ,2 2 6又：-二vC-二v5二，C=.6 6 6 62222(2 )若 f (2) =0,贝 U 4a-2(a -b )-4c =0,a2+b2=2c2,cosC=a bJ=_ ,2ab 2abb, 2 2 2 2 1又2c=a+b2abab2，又 C(0,n) , -0v Cc卫.3JI2. ( 1) C=-6(2)0/ C 是锐角，又余弦函数在（0，）上递减,2.0C 3（12 分）3.（ 1）a 2c csin A 3 sin Csin C又C是锐角13.SABCabsinCab24当且仅当a二b、7时，CABC的面积有最大值 乙34【解析】4.希

9、.【解析】5. (I)JT4（n）17【解析】c2二a2b -ab二cosC二a2b2-c22ab .2 分6.解：(I)：sin2B = sin AsinCb2= ac.32二2 -JI匚c A B .A - B =4 分3362兀71又AB-B5分34 ta-3217(2)m n =3sinA+cos2A=-2(si nA-)28 分482兀b f17八A-(0,)-si nA (0,1二m n的最大值为10分383(1)由tan A -tan B3(1 tan A tan B) =tan( A - B)3代数式sin2C=“3Sin cos2 2JTTA, B, C依次成等差数列，2B

10、= A C -二-B,B =3由余弦定理b2二a2c2-2accosB,a2c2-ac = ac,/ABC为正三角形C(n) si n23sin2A Acos21cosC、3.3、31sin A -2 si nA1cos23 .sin213A1cosA一二si nA 4- 3 .sin4JIA22JIA -61sin A2 . 6Usin A -4264A 3的取值范围是2 2【解析】略7.1) be cos ： -8 b2C2_2bccosv - 42即b2e2=32.2 分2 2又b c _2bc,所以be空16，即be的最大值为 16. 4 分81兀即16所以cosr_,又 0vrv二

11、所以 0 v6 分cos23(n) f (v) = . 3 1 -cos( 2v) 1 cos2v -、3二、3sin 2v cos2v 1 2【解析】略3& (I) Cn4(n)最小边BC = &.【解析】解：(I)： C = n-(A B),1345,1 345=2sin(2丁) 1.因 0v，所以丄v 2,36665当2即时，f(d)min663TTTTTT当2即时，f(max6261厂sin石心10分1= 21=2. 11分2=211=3.12 分tanC二-tan(A B)口(6 分)AB边最大,AB 17.所以，最小边BC =.2.9.(I)-(II )b c. 1

12、,2aI解析】解：(I)721 cos2cos2A-1=7,214cos A 4cos A 1=0解得cosA =-,210.解:(1) 将 sinB+sinC=sin(A-C) 变形得 sinC(2cosA+1)=0,而 sinC丰0,则 cosA=1，又 A( 0,n),于是 A=2；7 0 :C : n,C=3n.4tan A : tan B,A,B (0，-)2角A最小，BC边为最小边.sin AFnA二COS!蔦且A0,n),2 2sin A cos A =1,AB BCsinC si nA得得sin A1717BCsin C6 分I0：A :二JIA =-3丄2JI丄sin B 十

13、 sin -B(II ) b c sin B sin C_ 3asin AJIsin3IT= 2sin IB 10 分JIB 651 :sin(B ) _1261,2112 分(2 分)23(6 分)（2 ）记 B=0，贝 U C=0-0（ OVBV弐），由正弦定理得33AC =2.、3sin0AB =2、-3sin（g -0）（8分）则厶 ABC 的周长 l=2. 3sin0+sin（二-0）+3=23sin（30+二）+3w2.3+3,3（11分）当且仅当0=二时，周长 I 取最大值 23+3.6（13分）【解析】略1111解：（1 ）由acosC c=b得sinAcosCsinC=sin

14、B22又sinB =sin A C =sin AcosC cosAsinC11si nC二cos A si nC,- sin C=0,cosA=-22又;*0 : A :：二.A =3（2）由正弦定理得：b二anB=2sinB,c=-2sinC sin A 3V3I二a b c = 12sin B sin C =12sin Bsin A B=123sin BcosBI 221 +2sin B + i：I 6丿JI.B -6故ABC的周长丨的取值范围为2,3 110G 5兀）.EWsinlB气丿1213（2）另解：周长l =a b 1 b c由（1）及余弦定理a2=b2 c2-2bccosAb2

15、c2=bc 110 分333-1-2,2 112 分2b cm2. 10又b c a=1.丨二a bc.2即ABC的周长丨的取值范围为2,3.13【解析】略12. 略 【解析】将条件代入求参数,分析角之间的关系求值(I)f (x) = m n = sin，x . 3 cos x.1 分1.3=2(sin，xcos x)22兀=2sin( X )兀Tf(x)图像上一个最高点的坐标为(一,2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(一，2).12 12T7兀JTH匚T十,所以 T -二，于212122可知f (x) =2sin(2x )二二5二可知2A -sin(2A) 1-1,1f (A)32b +C2

16、.(b c) =1 3bc乞13()(2a2c2_b2二ac,2 2 2r a +c b1cos B =-2ac2JIf (A) =2sin(2A -),3TL2兀/B, 0：A：-o7分3.按确定y =AsinC，x J的解析式的一般步骤定参数2ac/ 0 B：二，二B =13(1) 在 ABC 中，a2b2= c2ab,即c2a2b2-ab二a2b2-2abcos60JIC =3又樂即亠业b cos A b sin Bcos B,.si nA cos A二si n BcosB,即cos Asin 2A = sin 2B,. A = B或A B =H.而.C故厶 ABC 是等边三角形。23J

17、I(2)(m -2n)2.22m 4n - 4m n=5 -4(sin AcosB -cosAsin B)二5 -4sin(A- B)A B ,A32-B,(m -2n)= 5-4si n( A-B)=5-4si n(2B)3=5-4sin(i2B)10 分0：B :3,2B ,1sin( 2B)辽1, 1乞(m2n)2乞9,3333故丨m -2nI的取值范围1,3lo12 分【解析】 略14. ( I)由b - a整理得(a c)c = (b _ a)(a b),即ac c2= b2-a ,a2c2-b2ac 12aco7分3(nB笃，最长边为b,2R2R 3R =6 b c =1610 分

18、22 2127 a 4a -2a 2a (-？)，解得a =1, a = 1，即最小边长为 1【解析】略15. (1)sinA8； (2)S最大二256.1717【解析】（1 ）利用余弦定理及三角形的面积公式列出关于si nA的方程进一步求解;用正弦定理找出边 b 与 c 的关系，再利用一元二次函数知识求出面积的最大值。解：（1）S二a2- b2- c22bc二2bc - 2bccosA = 2bc（1 - cos A）.厂22sin A+cos A=1sin A = 4(1 cosA)得：16(1-cosA)2cos2A = 1二(17cos2A-15)(cosA-1) =0158 cos A从而得:si nA 1717(2)S JbcsinA =bc217sin B si nCsin C = 2sin A c = 2a,10a为最小边，由余弦定理得(2)利又S =1bcsin A2.2bc(1-cosA)1 -bcsinA =sin A = 4(1cos A)0： ：A :cosA-1 = 1.S二土be4b(16-b)4(b2-16b)=171717当 b=c=8 时，S2561716.第；(I) A + H + C = rsin C = sin( A t /O 代入(2 九： 条/J-