第八章 混凝土裂缝的处理

1、206第八章 混凝土裂缝的处理第八章 混凝土裂缝的处理§ 8.1 概述8.1.1 裂缝的产生机制混凝土的抗拉强度比抗压强度低得多，在不高的拉应力下就会出现裂缝，拉伸开裂降低了混凝土的刚度并且大大加剧了钢筋混凝土结构的非线性行为，对于板壳类的结构，这种非线性表现得尤为明显。混凝土的开裂是钢筋混凝土结构的最主要非线性特征之一。裂缝产生原因有荷载作用(主裂缝粘结裂缝)、塑性混凝土的裂缝(终凝前几小时)、收缩产生的裂缝以及温度梯度产生的裂缝等。本章仅仅考虑荷载作用下出现的裂缝及其分析方法。8.1.2 裂缝的开裂类型及处理1混凝土受压开裂以棱柱体受轴压为例。当压应力水平较低时（极限应力的50%

2、以下），应力应变关系基本呈现线性；当应力水平超过此限值时，混凝土进入“稳定裂缝产生阶段”，随着应力水平的继续增大，混凝土进入“稳定裂缝传播阶段”，已有裂缝的长度和宽度随着荷载增加而延伸。当荷载继续增加，裂缝的长度和宽度会变成不稳定状态，导致裂缝的联结贯通，最后出现所谓疲劳强度破坏。当应力达到或超过临界值，混凝土达到所谓“非稳定裂缝传播阶段”。砂浆内产生的砂浆裂缝急剧增加发展，并与邻近的发展中的粘结裂缝形成贯通缝，这时荷载不变，裂缝却自行扩展延伸，成为一种不稳定状态，最后以受压短柱屈曲宣告混凝土破坏。混凝土一旦受压开裂破坏，构件即丧失承载力。2混凝土受拉开裂混凝土拉伸破坏是以裂纹逐渐连为一体导致

3、截面断开为特征，通常假设开裂形成是一脆断过程，加载方向的混凝土抗拉能力在开裂后骤降为零，裂缝间混凝土的承载力仍可利用。但由于钢筋的存在，其强度机理变得更为复杂。开裂的混凝土材料一般通过线弹性断裂关系来模拟，通常采用两种断裂准则，最大主应力准则和最大主应变准则。当主应力或主应变超过其极限值时，假设裂缝发生在与其主应力或主应变方向正交的平面内。但是，这些限值不易确定。3裂缝开裂后处理问题混凝土裂缝面是粗糙的，又由于骨料的锁定和销栓作用，开裂混凝土具有通过裂缝传递剪力的能力。复杂的处理就要考虑“受拉强化效应”。Cervenka 认为开裂单元内部垂直于裂缝方向上的刚度，不宜突然降低为零，而应在一个有限

4、的应变间隔内逐渐衰减为零，这种作用被称为“受拉强化效应”。对于混凝土开裂的最简单的一种处理，是假设裂缝的形成为一个脆性过程，当裂缝形成后，在拉伸方向的强度骤降为零。实际上，由于钢筋在混凝土之间起一种搭桥作用，使得开裂和强度机理变得极为复杂。也是由于它的存在，引起开裂的混凝土应力量值以及裂缝方向，都带有相当大的不确定性。在实际应用中，简化的分析方法是对于钢筋混凝土上出现的裂缝问题仍采用素混凝土的相应分析准则。8.1.3 裂缝宽度计算理论模型目前采用的裂缝计算理论就其实质来看，可以概括为三类：·粘结滑移理论：以钢筋与混凝土之间的粘结滑移作为控制裂缝的机理；·无粘结滑移理论：以裂

5、缝截面钢筋至构件表面的应变梯度作为控制裂缝的机理；认为滑移很小，可以忽略不计；·在前两种理论基础上建立起来的一般裂缝理论。既考虑了应变梯度的影响(变量为保护层厚度)，又考虑了钢筋可能出现的粘结滑移。现有裂缝理论之间有很大差异，这是由于裂缝出现后，钢筋与混凝土相互作用区域发生的变形及应力状态是及其复杂的，不仅与粘结有关，而且是一种随机现象。试验给出的半经验公式的适用性只限于所研究的变量范围，不同研究者在试验方法和数据处理上又不统一。8.1.4 裂缝的数学模拟模型分类及特点混凝土裂缝的数学模拟问题是一个十分困难的问题。目前，已有三种不同的开裂模拟方法用于有限元数值方法进行混凝土结构的分析

6、中，它们分别为：1单元内部的分布裂缝模型当某一单元内高斯数值积分点上的拉应力(实际上是一定区域)或应变超过抗拉强度或极限拉应变时，则认为这一高斯积分点垂直于该主拉应力方向的混凝土开裂，假设开裂的混凝土仍保持连续，即裂纹是以“分布”方式出现的，即存在无限多平行的、间距很密且垂直于引起主拉应力(或主拉应变)方向的裂缝。裂隙穿越开裂的混凝土单元，仍然可用处理连续体介质力学的方法来处理。由于不必增加节点和重新划分单元，很容易由计算自动进行处理，因而这种裂缝模型得到了广泛的应用。2单元边界的单独裂缝离散裂缝模型离散裂缝模型的特点是：当应力值达到某一量值足以使混凝土开裂时，将单元在节点两侧分离开来使之互不

7、联结，用这种方法来模拟裂缝的扩展过程，即使裂缝总是处于单元和单元之间的边界。在计算过程中要不断改变模型的几何布局，重新划分单元，增加新的节点。3单独裂缝采用断裂力学建模断裂力学是专门研究带裂缝材料的断裂韧度，以及带裂缝的构件在各种条件裂缝的扩展、失稳和断裂规律的力学分枝。许多学者试图用断裂力学的方法来处理裂缝问题，研究活动十分活跃，但主要工作都集中于单个裂缝的应力应变场的分布问题，对于多个裂缝及其各个裂缝之间的相互影响问题，研究工作目前尚不成熟。方法的选择取决于有限元分析的对象以及需要输出哪些数据。如果需要得到结构的整体反应，而不需要裂缝的实际分布及局部应力状态，分布裂缝模型可能是最好的选择。

8、如果研究的兴趣在于局部的应力状况以及裂缝宽度的开展过程，则采用离散裂缝模型更为适合。基于断裂力学原理的开裂模型也许对某些特殊类型的问题更为合理。§ 8.2 混凝土裂缝数学模型8.2.1 分布裂缝模型1模型特点分布裂缝模型不要求在有限元分析中重新定义开裂截面的几何结构，它在任何可能的方向上都可以形成裂缝，而不要预先指定裂缝的方向。在开裂之前，通常可假设未开裂的混凝土为各向同性材料，可采用全量或增量的弹性理论来描述；初始裂纹出现后，可假设开裂混凝土为正交各向异性或横向各向同性，并且材料的主轴之一指向开裂方向，可采用新的增量系来描述。2开裂前混凝土的应力应变关系矩阵（1）应力应变关系矩阵对

9、于一般的三维应力情况，未开裂混凝土的应力应变关系矩阵可表示如下：如果材料是各向同性的，则矩阵中的各个元素为： （2）平面应力、平面应变和轴对称情况轴对称情况中的应力和应变分量针对平面应力、平面应变和轴对称的特殊情况，可分别针对下列的简化条件对上述关系矩阵进行简化。·平面应力情况 。·平面应变情况 。·轴对称情况 。（3）说明· 上式中为即时弹性模量，为泊松比。这一关系既可用于全量形式，也可用于增量形式。若取全量形式，则为割线模量；若取增量形式，则应取为切线模量。· 上述模型主要用来描述混凝土的受拉性能和其它受力情况的初始阶段。3裂后混凝土的应力

10、应变关系矩阵（1）残余抗剪系数的引入由Rashi 首先提出的这种模型将混凝土表示成一种正交异性的材料，裂缝出现后(主拉应力超过材料的抗拉强度)，垂直于主拉应力方向材料的弹性模量降低为零。早期时候，为了简化，对于平面应力情况，将剪切模量也降低为零，同时也忽略了两个正交方向上的相互作用，即泊松比为零。本构关系矩阵为：式中t 表示沿着裂缝方向，n 表示垂直裂缝方向。该模型表示尽管出现裂缝，但在平行裂缝方向即t 轴方向上仍可承受正应力。由于上述刚度矩阵中的剪切模量变为零且认为忽略正交方向上的相互作用，不能反映混凝土开裂后骨料的咬合作用，即沿裂缝面不能承受部分剪应力，同时也给数值分析带来困难。考虑这些因

11、素后，引入折减了的抗剪模量(为残留抗剪系数，)，则上式变为：（2）的取值及意义的大小选择依赖于结构类型、荷载种类以及数值求解的精确程度。如有足够的试验数据时，则取试验数据值；当无足够的试验数据时，可取为与垂直裂缝方向假想正应变有关的变值，因为由于开裂面之间的咬合作用主要与裂缝宽度有关，可取下述表达式： 当时式中为垂直于裂缝面的平均拉应变；为开裂前瞬间的拉应变。上式表明：随着裂缝的张开而减少，即剪切模量在降低。在反复荷载作用下，混凝土的开裂面可能还会闭合，当其完全闭合时，可取为1.0，则意味着完整愈合，故在0.41.0 之间变化。的引入不仅解决了数值求解过程中出现的困难，而且更真实反映了裂缝的工

12、作机理，即沿着裂缝面的任何滑动都会产生垂直于裂缝方向的局部应力。当围绕某个节点的所有单元在同一个方向上产生裂缝时，使用这个系数可以消除结果的奇异性。值得注意的是，考虑后会使得后继产生的裂缝不一定垂直于初始裂缝方向，将会产生主应变和主应力方向的偏转。（3）开裂后混凝土的应力应变关系矩阵先考虑一般三维情况。如果在单元中某一样本点的主应力按代数值大小排列，即，若其中最大主应力大于混凝土的抗拉强度，则认为裂缝产生，并且假定裂缝方向垂直于方向。开裂后，最大主应力 将被释放掉，应力将重新分布，同时应力应变关系矩阵中在这一方向上的刚度系数将等于零(假定混凝土受拉时为脆性开裂)。其应力应变关系矩阵可修改为：式

13、中按前面的定义计算。对于二维平面应力问题，的形式简化为：上式中的应力应变关系矩阵是按照主应力方向为坐标轴方向而建立起来的，在求单元刚度时还须将其转换到总体坐标系中去。设各主应力方向(即局部坐标系)在总体坐标系中的方向余弦分别为，则可以利用下列坐标转换矩阵转移至总体坐标系中：式中为总体坐标系下的混凝土应力应变关系矩阵；R为坐标转换矩阵，其具体形式为：对于二维平面问题，上式即可简化为：（4）受拉强化效应的考虑混凝土中出现了与钢筋方向垂直的主裂缝，在裂缝处的混凝土拉应力降低为零，相应位置的钢筋则承担了全部的拉力。在两条主裂缝之间的混凝土，仍然承受着一部分拉应力，只有当继续加载使得混凝土与钢筋之间的粘

14、结受到破坏，这部分混凝土才丧失承载力，拉应力降低为零，混凝土内部的次生粘结裂缝将环绕钢筋发展。这种钢筋混凝土结构在出现主裂缝后其沿主拉应力方向并非立即丧失承载力，而是存在逐渐丧失的过程称为“受拉强化”。主裂缝出现的数量和大小取决于钢筋的位置。前面所述的模型没有考虑混凝土的受拉强化效应，而是认为混凝土开裂即立即失去抗拉能力，又称为混凝土受拉脆性开裂或受拉脆断。考虑这种强化效应，可合理考虑了实际的混凝土受拉开裂效应；其次，在某些情况下，也是为了改进数值求解的稳定性，在某些单元中考虑了“受拉强化效应”。在分布裂缝模型中假定钢筋与混凝土之间完全粘结，模型的单元是位移协调的，认为裂缝是连续分布，因而就会

15、低估由于主裂缝的不连续性而导致的钢筋应力变化。考虑受拉强化的数学模型主要有三种。第一种模型是由Scanlon首先提出的一种带有台阶式衰减的混凝土受拉应力应变曲线，该简化图形用来模拟具有负斜率的混凝土拉应力下降段，当应变超过曲线的峰值点之后，拉应力不是立即降低为零，而是下降一段后又以较低的模量上升一段，继续再重复这种过程。第二种模型是由Lin 提出的逐级卸载的简化方法。第三种模型是通过增大钢筋的弹性模量来考虑受拉强化效应。在开裂的一瞬间，将钢筋的弹性增大为原来的4倍，此后，随着拉应变与开裂时拉应变时的比值依次变为相应时刻钢筋弹性模量的2.7，2.0，1.6，1.15，1.05 倍等。这样，钢筋中

16、增加的应力就相当于裂缝间钢筋和混凝土共同承担的总拉力，为方便起见，增加的应力是汇总到钢筋上的，且方向相同。8.2.2离散裂缝模型1发展历程（1）Ngo 和Scordelis 的预定裂缝模型图8-1 Ngo 和Scordelis 裂缝模型Ngo 和Scordelis 最先在混凝土梁有限元模型中预先放置裂缝，采用线性有限元进行分析，以考虑混凝土开裂效应和确定钢筋与混凝土之间的粘结应力和混凝土单元中的应力。裂缝的模拟方法是沿着预定的裂缝，将同一几何坐标点分为两个节点，即所谓双节点方法。继而，他们又考虑了箍筋、销栓抗剪作用和骨料咬合的影响，在裂缝中间加入一种特殊的联系单元。 这种方法的缺点是不能进行全

17、过程分析，裂缝的产生不是随机的。对应这种裂缝处理方法，采用常应变三角形单元较为适合，但是这种单元对于应变变化急剧的结构物局部不能很好适应，解决问题的办法只能尽量加密网格。(a) 外部开裂 (b) 内部开裂图8-2 Nilson 方法（2）Nilson 的双节点技术Nilson 方法在有限元模型中允许裂缝按开裂判据条件在单元边界面上生成，而不是事先指定生成位置。开裂判据是：如果相邻两个单元的平均应力超过混凝土的抗拉强度，那么就认为在两单元的共同边界上开裂。如果是在梁的外边界上开裂，那么只有梁外边界上的节点变成双节点(同坐标)。如果在梁的内部开裂，那么相邻边界上的各个节点都变成双节点处理。该方法估

18、计出的裂缝长度偏高，且在计算中当新的裂缝出现后，就要增加节点数目，重新划分单元，形成一个新的几何布局，然后在此基础上再重新进行分析，解出开裂后结构位移和应力，计算非常繁琐。此外，由于裂缝是在单元交界面上出现，故裂缝的分布图形必然受到单元网格划分粗细程度的影响。（3）Mufti 等人和Al-Mahaidi 的节点间联系单元单方向开裂 双向开裂 图8-3 Al-Mahaidi 方法Mufti 等人将同一坐标的双节点用特殊的联系单元连接起来，这种连接单元的刚度是可以变化的，当联结单元的刚度足够大时，双节点和单节点是一样的，反映一种未开裂混凝土状态。如果单元应力超过混凝土的抗拉强度，则联结单元的刚度降

19、低或称之为“软化”，以允许裂缝张开。但联结单元刚度又不是立即降低为零，保留的一部分刚度反映骨料的咬合作用。与此类似，Al-Mahaid 在一个单点定义了同一坐标双节点或四节点。这些节点之间用特殊的联结单元联结起来，如果混凝土中的应变超过了极限受拉应变，则联结单元软化，形成裂缝。双节点允许在一个方向上开裂，而结构内部的四节点则允许在两个方向上发生裂缝。2离散裂缝模型的特点优点:·描述了裂缝引起的应变不连续性。如果研究结构物的主裂缝影响，比如钢筋混凝土梁的受拉斜裂缝，采用离散裂缝模型是合理的，可使结果更接近真实情况。·可变刚度联系单元能反映骨料的咬合作用。离散裂缝模型中联结单元

20、的刚度是可变的，可用于表示混凝土开裂，也能反映骨料的咬合作用。如果骨料咬合和暗销等作用对研究的问题较为重要的话，建议选择这种模型。·适于研究钢筋混凝土构件的局部反应。对于那些已知裂缝分布的某些构件，要研究混凝土的局部应力问题，也常选用离散裂缝模型。缺点:·在分析过程中结构拓扑结构不断发生变化，降低了求解效率。由于在运算中需要不断重新划分单元，增加点号，这就使得原来总体刚度矩阵具有狭窄带宽的特性受到影响，于是导致求解位移运算中计算机效率的降低。在预定裂缝模型中情况稍好一些。·与等参元概念不太协调。当前工程实际应用中多采用等参单元，这种单元角点上的应力值与单元内部高斯

21、积分点相比，其精度偏低。而单独裂缝某些的基本概念是用相邻单元的平均应力判断是否开裂，而裂缝又是发生在单元边界上，这样等参单元的形态与单独裂缝某些的概念是不太协调的。·由于确定裂缝的方法不能实现完全自动化，以及对可能发生的裂缝方向缺乏通用性，使得分离式裂缝模型不能广泛应用。8.2.3 断裂力学模型1裂缝扩展类型与断裂力学参量（1）裂缝扩展类型在断裂力学中讨论的裂缝扩展类型分为三种，下图所示：(a) I型裂缝 (b) II型裂缝 (c) III型裂缝图8-4 裂缝扩展类型型张开型裂缝：正应力和裂缝面垂直，在正应力作用下，裂缝尖端处上下两个平面张开而扩展，且扩展方向和正应力方向相垂直；型滑

22、开型裂缝：在构件或试件受剪切的情况下，若剪应力与裂缝表面平行且其作用方向与裂缝方向垂直，使得裂缝的上下两个面相对滑移而扩展；型撕开型裂缝：剪应力与裂缝平行，且剪应力作用方向与裂缝方向平行，在剪应力作用裂缝的上下两个面撕裂而扩展。（2）断裂力学参量·基本参量及其临界值对于线弹性断裂力学，裂缝尖端的应力场是以应力强度因子 (反映裂缝尖端附近的应力场强度，i=,)来表示，应力强度临界值断裂韧度为 (它控制裂缝的再形成和扩展)。或者，也可用能量释放率 (又称为裂纹扩展力，i=,)来表示，能量率临界值是。如果前者达到或超过后者，则认为出现新的裂缝，或裂缝发生扩展。不同的材料具有不同的值，值表征

23、工程材料本身所固有的抵抗裂缝扩展的能力，与材料的其它力学指标一样需要通过试验来确定。同样，此值与试件的厚度、加载速度、环境条件等因素有关。应力强度强度因子的一般形式可表达为：式中为裂纹位置上按无裂纹计算的应力，称为名义应力；为裂缝尺寸；为形状系数。能量释放率G 的一般形式可表达为：式中为系统的位能，V 为弹性应变能，W 为外荷载对裂缝板所做的功；A为裂缝面的初始面积。从这个意义来看，能量释放率本质上就是描述单位面积断裂所需的能量。· 应用于混凝土构件中的裂缝在一个对称裂缝问题中，例如沿着梁中心线处的裂缝，只发生张开位移，所以只需计算 。在一个二维的非对称裂缝问题中，如梁中的斜裂缝，

24、和都存在。如果在三维问题中，可能会出现三种裂缝扩展形式。对于混合模式情况，有理论的相互作用公式，这个公式预测这些应力强度因子组合的临界值及其裂缝的扩展方向。而且，对于图8-5 裂缝尖端相对滑移的形式多轴应力状态情况，还有类似以前的屈服准则和流动准则。2断裂力学在混凝土方面的研究目前，已经进行了许多试验来确定混凝土开裂的能量释放率 或断裂韧度。在这些试验中，许多是用来确定混凝土断裂法的合理性。学者基本认为当裂缝长度足够大(100mm-1m)时，这种方法是合理的，断裂韧度 一般认为0.40.8MNm-1.5。迄今为止，这个方法很少用于有限元模型中来模拟裂缝扩展问题，可能是由于计算强度因子系数的复杂

25、性和高费用。不过，当前妨碍应力强度因子法应用到裂缝扩展有限元模型的是必须离散地模拟裂缝。3离散裂缝模型方法在基于断裂力学模型的离散裂缝模型中，由于采用合理的裂缝张开位移模拟方式，无论是否采用了粘结联系单元，均可更为精确地计算裂缝区域的粘结力。可采用两种方法来离散地模拟复合型裂缝的开展。在第一种方法中，网格尺寸不受裂缝扩展的影响，这些裂缝被约束着沿着内部单元边界进行扩展，只是改变单元间的联系条件。所以对每个裂缝增量，必须添加附加的节点，然后对网格进行重新编号，以减少存储带宽，或采用不同的方程求解策略。第二种方法为常用的方法，考虑裂缝形成和扩展带来的新单元和新节点问题，带宽会自动重新最小化。对每个

26、裂缝增量，只对那些添加或改变的单元计算它们的刚度。§ 8.3 混凝土开裂后释放应力的计算混凝土单元开裂后必然要造成单元内部以及构件的内力重分布，因而混凝土开裂后释放应力计算的实质就是计算在外部荷载水平不变的情况下结构构件和单元内部内力重分布的过程。当应力状态达到某一临界值时，混凝土单元将会发生开裂。开裂可以两种不同的形式发生：第一种形式是属于受拉开裂型，即当应力状态属于拉伸型（拉拉和拉压型）并且超过极限值时发生的破坏形态；第二种形式是属于受压开裂型，即当应力状态属于压缩型（压压型）并且超过极限值时发生的破坏形态。当混凝土出现受拉开裂时，材料将失去其垂直于裂缝方向的抗拉强度（属于受拉脆

27、断，没有考虑受拉强化效应。也可以考虑逐步断裂），而保持平行于裂缝方向的强度。当混凝土发生受压开裂时，材料单元将完全失去强度。本节首先建立混凝土开裂类型的判别条件，进而针对不同的情况进行开裂后释放应力的计算8.3.1 多轴应力或应变状态下断裂准则1断裂准则的选取为确定多轴应力或应变状态下混凝土的断裂形式，需要一个规定极限值的断裂准则。断裂准则的最简单形式是拉断Mohr-Coulomb 准则，这一联合准则由三个参数确定：最大抗拉强度，内摩擦角和内聚力。图中以O为圆心的Mohr 圆把由拉伸断裂准则预示的破坏与由Mohr-Coulomb 准则预示的破坏类型分开。对于压缩应力型，假设在应力状态达到Moh

28、r-Coulomb 破坏条件预示的临界剪应力值时发生压碎。对于拉伸应力型，假设开裂依据最大拉应力（或应变）准则而发生。对于压压状态下的混凝土，可使用更加细致的断裂模型。对于拉拉和拉压状态，通常采用最大应力（或应变）准则。2.应力状态的分区从上述内容可知，对应于应力的拉伸型和压缩型的断裂准则和断裂形式是不同的，所以有必要确定压压、拉压和拉拉三个应力状态区域的准则。对应于双轴应力（和）的应力状态分区较为容易，如图8-6(a)所示。一般的三轴状态中，应力状态的分区可按如下方式近来确定：· 用主应力,和来判别如果所有三个主应力均为压应力（或为零），则应力状态属于压缩型并假设发生压碎型断裂。否

29、则，应力状态属于拉伸型并假设发生开裂型断裂。· 用应力不变量,和来判别可采用下述简单的线性函数来对三轴应力情况分离应力状态，类似地把一般的双轴分区准则推广至一般的三轴状态。如图8-6(b)所示。(a) 双轴应力空间（,） (b) （,）应力空间图8-6 应力状态的分区8.3.2 开裂混凝土的应力应变关系图8-6 开裂混凝土的应力应变模型（拉伸脆断型）下面采用分布裂缝模型讨论开裂和压碎型混凝土的应力应变关系。如图8-6所示：斜线01和斜线23的斜率分别表示开裂前后的“材料刚度”。线段12 的长度表示裂缝产生瞬间的应力释放量值，用应力矢量表示。释放的应力重新分布到邻近单元中去，它反映了开

30、裂后的应力应变过程。裂后应力与应变的增量可表示为：在材料开裂过程中总的应力变化可以写成：式中为开裂后的材料应力应变关系矩阵，要区分压裂和拉裂，如果是拉裂，可选择分布裂缝模型，也可选择其它裂缝模型。上式是一个通式，由于压裂和拉裂有重大区别，所以，针对压裂和拉裂的具体表达式也是不同的，以下将分别加以讨论。1压裂情况混凝土受压开裂的试验指出，压裂的瞬间全部应力都被释放，并且完全丧失了对进一步变形的能力。这就意味着图中线段12 要延伸与横轴相交，表示应力下降到零，线段23 斜率变成为零。2拉裂情况若采用应力开裂准则，则裂缝生成的方向垂直于最大主拉应力；如果采用应变开裂准则，则裂缝生成的方向垂直于最大主

31、拉应变。为简化分析，对平面问题，则假设裂缝面垂直于xoy平面；对于轴对称问题，假设裂缝在轴对称面内形成。图8-7 开裂前后混凝土单元的应力状态进一步假设在裂缝发生的瞬间，垂直于裂缝方向的拉应力和平行于裂缝方向的剪应力被释放掉，而其它应力水平不变，忽略骨料咬合作用。对于平面应力问题，只剩下平行与裂缝方向的应力，变成了单向应力状态。对于平面应变问题，只剩下平行于裂缝方向的应力和z 轴方向的；对于轴对称问题，只存在开裂方向和周线()方向的双轴应力状态。假设相邻两条裂缝之间的混凝土呈现线性弹性的，且在平面上表现为各向同性，于是可导出下列应力应变关系。（1）平面应力问题单元内最大主应力不超过抗拉强度时，

32、应力应变关系矩阵按应力状态(或应变状态)修改，即可进行下一步的迭代计算。最大主应力超过抗拉强度时，其应力应变关系矩阵应考虑开裂的影响。开裂前，混凝土某点应力状态为，这时用局部坐标系(主应力坐标系)来表示的。若，则混凝土开裂，开裂后只存在，而和均为零，故释放应力为利用坐标转换公式：式中为坐标系统的应力张量；为坐标系统的应力张量； 表示轴与轴夹角的余弦，i 和j 从1 到3 变化。把上式的各项转换总体坐标系xoy中去，则上式变为：式中 ，其中为开裂方向与x 轴的夹角(顺时针为正)。利用Cauchy 公式则在总体坐标系 中可表示为： 式中。于是，式可进一步写成下列形式：式中为Kronecker 符号

33、矩阵，上式就是在总体坐标系中开裂过程释放的应力表达式。如前所述，假定在相邻的两个裂缝之间的混凝土仍保持为线弹性体，并且是单向应力状态，这样对于开裂混凝土的增量形式的应力应变关系可以写成如下形式：或参照总体应力坐标系xoy(转换至总体坐标系中去)，上式将成为：这样材料开裂过程总的应力变化为：式中、 和为开裂瞬间前的应力分量；为混凝土的弹性模量(切线模量或割线模量)。（2）平面应变问题对于平面应变问题，释放应力的表达式与平面应力问题的情况相同。在此情况下，裂缝形成后的应力状态蜕化为x¢-z 平面中的双轴状态。开裂混凝土的增量应力应变关系可写成： 消去上式中的，得：将上式先代入上面公式后，

34、即得平面应变问题中材料开裂过程总的应力变化：（3）轴对称情况由于假设裂缝以轴对称方式形成，所以关于释放应力的表达式具有与平面问题同样的形式。释放的应力可表达为：裂缝形成后，应力状态简化为沿和方向的双轴状态，因此得到下式：在总体坐标系中将上式中第一项和第二项分别展开得到：对轴对称问题，上列关系式可导出裂缝形成后的应力总变化：对于三维问题情况类似，主要是坐标转换上的转换矩阵复杂一些，但原理是一样的。§8.4 裂后特征初始裂缝的形成往往并不意味着结构的彻底失效，还可以继续承载和变形，因而就引出了裂缝闭合和继续张开以及可能形成其它方向裂缝的问题(这种裂缝一般称之为“次生裂缝”)。有关裂缝的张

35、开，闭合和次生裂缝问题，都是针对初始受拉开裂情况而言。在受压情况中，一旦开裂，材料就完全断裂崩解。混凝土受拉裂缝的张开、闭合和次生裂缝问题统称为“裂后特征”。8.4.1 裂后特征图8-8给出了具有不同加载历史的裂缝的裂后特征。图8-8 已有裂缝的张开闭合及次生裂缝的产生1裂缝开闭过程中的应力变化图8-9 裂缝的形成及闭合的加载过程图8-9给出了裂缝形成和闭合的加载情况。从压应力状态下卸载开始，接着反方向加载，由于拉应力的作用引起裂缝出现，继续加载时裂缝张开，若再反向加载即进入受压状态后裂缝开始闭合。若继续受压状态，可继续重新加载。由此可见，裂缝的张开闭合问题主要是因作用在结构上的循环荷载引起混

36、凝土中压应力交替引起的。2裂缝开闭的判据如果与当前裂缝方向垂直的正应变与开裂瞬间前的正应变相比变大了，则意味着就裂缝张开；否则可认为裂缝闭合。垂直裂缝方向的正应变用下式计算：式中的定义可参考上节的相关内容。3裂缝宽度的计算迄今为止，还没有成熟的数学模型用来计算裂缝宽度。目前所用的方法因采用的裂缝处理模型不同而有所差异。·离散裂缝模型。由于采用的是双节点技术，裂缝宽度可以用裂缝任意一侧上节点的分离量来度量。·分布裂缝模型。采用垂直于裂缝方向上的应变量值来作为裂缝宽度的度量。在单调荷载作用下，应力重分布也会造成局部裂缝发生闭合。8.4.2 次生裂缝的数学模型次生裂缝问题对于研究

37、板、壳及平面结构在循环荷载情况下的力学性能至关重要，有必要考虑次生裂缝数学模型的建立问题。次生裂缝模型的建立与初始裂缝采用何种数学模型有直接关系。1初始裂缝模型为离散裂缝模型这种情况比较简单。在初始裂缝出现以后，如果另外方向的拉应力超过开裂判据，那么次生裂缝就出现了，由于次生裂缝也是沿着单元间的边界出现，所以其方向是预先确定好的。2初始裂缝模型为分布裂缝模型这种情况比较复杂，主要表现在确定次生裂缝的方向问题上。如在材料的本构关系中没有考虑裂缝面的残留抗剪能力，则次生裂缝的方向与初始裂缝方向垂直。如果在材料的本构关系中考虑了残留抗剪能力，当初始开裂出现以后，剪应力的存在会使得主应力轴发生旋转，则

38、次生裂缝的方向不一定与初始裂缝垂直。当双向裂缝产生后，混凝土材料的应力应变关系式也应做相应的变动。如保留抗剪系数，对于平面问题，其材料本构关系可写成下式：如不保留抗剪系数 (有些学者认为双向开裂后残余抗剪能力几乎消耗殆尽)，对于平面问题，其材料本构关系可写成下式：8.4.3 应力释放的计算原则综合以上所述内容，开裂混凝土的应力释放问题，可以归纳为以下几点：·若为第一次开裂，不仅这一级应力增量被释放掉，而且连同以前逐级荷载所引起的累积应力也被释放；·若混凝土已经开裂，则在垂直于开裂方向的任何应力增量将在每次迭代中释放；·若在某级荷载下形成的裂缝与先前的开裂并不在同一

39、方向上，则应该释放互相垂直的两个方向的应力；·在垂直于开裂方向产生了压应力，裂缝还可以闭合。·压裂混凝土，或者双向或多向拉裂混凝土，对于继续施加的荷载来说，其材料刚度变为零，在开裂前瞬间的应力要全部释放。除此之外，对于双向或多向拉裂混凝土，也可用保留残留抗剪系数的方式反映骨料的咬合等作用，在这种情况下，单元中还有一定的剪应力残留。·对于具有单向或多项裂缝的拉裂混凝土，如果各组裂缝统统闭合，那么可以假设这种“愈合”的混凝土对于继续施加的压应力来说是一种线性弹性材料。§ 8.5 应力重分布及其分析步骤以分布裂缝模型为例（对于离散裂缝模型原理类似），将开裂混凝

40、土视为正交异性材料，垂直于裂缝方向的拉应力急剧降低为零，考虑残余抗剪能力。据此我们来对开裂混凝土结构进行应力重分布分析。8.5.1 开裂混凝土的有限元基本方程开裂后单元的位移与应变关系的增量形式可以表示为：式中表示单元中的位移应变关系转换矩阵，与选用的位移函数有关。在材料开裂过程中总的应力变化可以写成：由虚功原理可导出节点力增量的公式为：式中为开裂单元刚度矩阵；为混凝土单元开裂后释放应力转化成的节点力矢量。它们分别由下式给出：以上两积分式应在所有内部单元中进行。当计算完结构内所有开裂单元和未开裂单元的单元刚度矩阵后，还应从局部坐标系向整体坐标系进行转换并集装成结构整体刚度矩阵。于是，整个结构的节点力与位移的关系式可表示为：式中为已知的外荷载节点力矢量；为已知的由应力释放转化成的节点力矢量；为结构体系的未知节点位移。如果结构内部没有单元开裂，上