专题14 二次函数中线段最值与面积最值铅垂法2020-2021学年九年级数学重点题型通关训练解析版

1、专题14 二次函数中线段最值与面积最值（铅垂法）【导入】1. 如图，已知二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C直线y=-x+3交抛物线于B,C两点. 直线x=m（0m3）分别交直线BC和抛物线于点M，N.（1）点M的坐标为_，点N的坐标为_；（2）线段MN的长度为_；（用含m的代数式表示）（3）当m为何值时，MN的长度最大？最大值是多少？【答案】（1）M（m，-m+3） N（m，m2-4m+3）；（2）3m-m2.解析：MN=|m2-4m+3+m-3|=|m2-3m|，0m3，MN=3m-m2.（3）MN=3m-m2=-（m-32）2+94.当m=3

2、2时，MN的最大值为94.【方法技巧】平行于y轴的线段最值问题：（1）首先表示出线段两个端点的坐标；（2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标；（3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式；（4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值.变式类型：若点D为抛物线上的动点，EDAB，可以过点E作EFy轴，通过三角函数把求线段DE的最值转化为求线段EF的最值.延伸：铅垂法如图，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，

3、即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.【例1】如图，直线yx+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线yx2+bx+c与直线yx+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值.【解析】解：（1）yx+5，令x0，则y5，令y0，则x5，故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），则二次函数表达式为：yx2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b4，故抛物线的表达式为：yx2+4x+5；（2）设M点横坐标为m（m0），则P（m，m+5

4、），M（m，m2+4m+5），PMm2+4m+5（m+5）m2+5m（m52）2+254，当m52时，PM有最大值254.【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3交x轴于点B，交y轴于C，抛物线yx2+2x+3经过点B、C，且与x轴交于另一点A点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作PHx轴于点H，交直线BC于点G，设点P的横坐标为m过点P作PEBC于点E，设PE的长度为h，请用含m的式子表示h，并求出当h取得最大值时，点P的坐标【解析】如图，过点E作EMPG于点M，EMAB，OBOC3，OBC45°，MEG45°，EMPG，EGM45°，PEBC，PEG是

5、等腰直角三角形，PE22GP，设点P（m，m2+2m+3），G（m，m+3），PGm2+2m+3（m+3）m2+3m（m32）2+94，则PE22PG22（m32）2+928 （0m3），即h22PG22（m32）2+928，当m32时，h取最大值，此时P（32，154）.【例3】如图，已知抛物线yx22x+1与直线yx+1的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，4），B点在y轴上若P是线段AB下方抛物线上一动点，当ABP面积最大时，求P点坐标以及ABP面积最大值.【解析】过点P作y轴的平行线交AB于点E，则ABP面积SPEA+SPEB12PE（xAxB）12×（x+1）（x22x

6、+1）×332x2+92x，320，故ABP面积存在最大值，当x32时，ABP面积最大值为278，此时点P的坐标为（32，14）.【专题过关】1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+3x2与直线AB相交于A，B两点，其中A（1，2），B（3，2）点E为直线AB下方抛物线上任意一点，连接AE，BE，求EAB面积的最大值及此时点E的坐标.【解析】由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为yx+1，过点E作y轴的平行线交直线AB于点H，设点E（x，x2+3x2），则点H（x，x+1），则EAB面积SEHA+SEHB12EH（xAxB）12×（1+3）（x+1x23x+2）2

7、x24x+6，20，故EAB面积有最大值，当x1时，EAB面积的最大值为8，此时点E（1，4）.2.已知二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴的交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D如图，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点Q，求PQOQ的最大值.【解析】A（-3，0），B（1，0），C（0，-6），抛物线解析式为y=2x2+4x-6，则设P（x，2x2+4x-6），设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意可得3k+b=0，b=6，解得k=2，b=6，直线AC的解析式为y=-2x-6，如图1，过点P作PNx轴，交AC于N，则PNOC，点N（x，-2x-6），PN=（

8、-2x-6）-（2x2+4x-6）=-2x2-6x，PNOC，PQOQPNOC，PQOQ=2x26x6=（x+32）2+926，当x=-32时，PQOQ的最大值为34.3. 一次函数y2x2分别与x轴、y轴交于点A、B顶点为（1，4）的抛物线经过点A（1）求抛物线的解析式；（2）点C为第一象限抛物线上一动点设点C的横坐标为m，ABC的面积为S当m为何值时，S的值最大，并求S的最大值.2【解答】解：（1）一次函数y2x2与x轴交于点A，则A的坐标为（1，0），抛物线的顶点为（1，4），设抛物线解析式为ya（x1）2+4，抛物线经过点A（1，0），0a（11）2+4，a1，抛物线解析式为y（x1）

9、2+4x2+2x+3；（2）点C为第一象限抛物线上一动点，点C的横坐标为m，过点C作x轴的垂线，交AB于点D.C（m，m2+2m+3），D（m，-2m-2）.点A到CD的距离为m+1，点B到CD的距离为m.SABC=SACD-SBCD=12CD·（m+1-m）=12m2+2m+3-（-2m-2）=-12（m-2）2+92.当m2时，S的值最大，最大值为92.4. 如图1，抛物线yax2+bx+c（a0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若SPBD3，请求出点P的坐标【

10、解析】（1）设抛物线的解析式为ya（x1）2+4，将点B（3，0）代入得，（31）2×a+40解得：a1抛物线的解析式为：y（x1）2+4x2+2x+3（2）过点P作PQy轴交DB于点Q，抛物线的解析式为yx2+2x+3D（0，3）设直线BD的解析式为ykx+n，3k+n=0，n=3，解得：k=1，n=3，直线BD的解析式为yx+3设P（m，m2+2m+3），则Q（m，m+3），PQm2+2m+3（m+3）m2+3mSPBDSPQD+SPQB，SPBD12m·PQ+12×PQ×（3m）12×PQ×3=32PQ32m2+92m，SPBD

11、3，32m2+92m3解得：m11，m22点P的坐标为（1，4）或（2，3）【专题提高】5. 已知抛物线yax2+x+c经过A（1，0）、B（2，0）、C三点，直线ymx+交抛物线于A、D两点，交y轴于点G（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AD上方抛物线上的一点，作PFx轴，垂足为F，交AD于点N，且点N将线段PF分为1：2的两部分求点P的坐标；过点P作PMAD于点M，若直线l到直线AD的距离是PM的2倍，请直接写出直线l的解析式【解析】（1）设抛物线的表达式为：ya（xx1）（xx2），将点A、B的坐标代入上式得：ya（x+1）（x2）a（x2x2）ax2ax2aax2+x+c，故a1，解得：a1；故抛物线的表达式为：yx2+x+2；（2）将点A的坐标代入直线表达式得：0m+12，解得：m12，故直线的表达式为：y12x+12，令x0，则y12，故点G（0，12），则tanGAOOGOA12，则cosGAO25，设点P的坐标为：（x，x2+x+2），则点N（x，12x+12），则PN（x2+x+2）（12x+12）x2+12x+32；点N将线段PF分为1：2的两部分，则NF13PF或23PF，即：12x+1213（x2+x+2）或12x+1213（x2+x+2）×2，解得：x1或12或54（舍去1），当x12时，yx2+x+294，