求圆锥曲线的离心率的常用方法

1、求圆锥曲线的离心率 的常用方法、根据条件先求出a, c,利用例1若椭圆经过原点，且焦点为e=c求解 afi(1 ， 0),F2（3, 0）,则其离心率为（1C.232a*B.3解析：由Fi、F2的坐标知2c=3 - 1,c=1,又.,椭圆过原点，- a- c=1,a=2, c=1,c 1所以离心率e=c=1.故选C.a 2例2如果双曲线的实半轴长为 2,焦距为6,那么双曲线的离心率为（）36A. 2B,云D2)1d.4a+c=3,解析：由题设a=2, 2c=6,二、构建关于a, c的齐次等式求解例3 设双曲线X2- y2= 1（0<a<b）的半焦距为c,直线L过（a,0）, （0,

2、b）两点.已知原点到 a b直线的距离为:c,则双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.2,33解析：由已知,直线L的方程为bx+ay -ab=0.又 c2=a2+b2, - 4ab=J3c2,，一 ，- ab 3由点到直线的距离公式，得22=十c,a解得 e 2= 4 或 e2=:.又 0<a<b , - e2= &= a+b24a4,并整理，得 3e4-16e2+16=0.两边平方，得16a2（c2- a2）=3c 4.两边同除以a +b2 a2b2-=1+2>2, . . e2= 4,e = 2.故选 A.a '例4双曲线虚轴的一个端点为离心率为（）Fi,

3、 F2, ZFiMF2= 120",则双曲线的M ,两个焦点为(C)在 FiMF 2中，由余弦定理，得cos /6(B) *解析：如图2所示，不妨设 M(0 , b),|MF1|=|MF2|=/c2+b2.又 | F1F2| = 2c,(c 2+b2)+(c2+b2)- 4c21b2 - c21即 j 2 i 2 2 ) = cos120 °= - 3, '卜22 = - 3,2<c2+b2 - 32+b22b + c2-222- a1 一 2_22afQ_b =c - a，- 22= - 2, 3a =2c，e = 2,"=拳故选 b.A.222双

4、曲线乒卡=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为B.C.D.解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线,a=b, - c2a, - e=言=寸.故选 C.三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e的取值范围例6 设。£ （0, 4）,则二次曲线x x 设双曲线的方程为x2cot 0 - y2tan 0 =1的离心率的取值范围为（a.（0 , 2）b.（1,平）八 2解析：由 x2cot 0 y2tan 0 =1,C.（ Y，.2）D.（2, +8）0 C (0, 4)，得 a2= tanQ , b2= cot 0 ,c2= a2+b2= tan。+ cot 0 ,2.2 c-e =p

5、 =atan。+ cot 0tan2=1+ cot 0- 0 £ (0, 4), .cot2。>1, - e2>2, .">72 .故选 D.图3四、构建关于e的不等式，求e的取值范围例7如图，已知梯形ABCD中，| AB | = 2 | CD | ,点E分有向线段ACW成的比为入，一，一 ，23 ,双曲线过5 D、E三点，且以A、B为焦点.当入了寸，求双曲线离心率e的取值氾围.解析：以AB的垂直平分线为 y轴，直线AB为x轴，建立如图3所示的 直角坐标系xOy,则CD ± y轴.因为双曲线经过点 C、D,且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、

6、Dc _1. _ .关于 y 轴对称.依题怠，记 A（ - c, 0）, C（2，h）,E（x0, y°），其中 c= I AB | 为双曲线的半焦距，h是梯形的高.c由定比分点坐标公式得y°=1+入-_-c+ " 2_(入-2)cx0=1+ 入=2(1+ 入)'2b=1，则离心率壹.c2 h2 商3=112h2E)b2= 1由点C、E在双曲线上，所以，将点 C的坐标代入双曲线方程得将点E的坐标代入双曲线方程得 土（ :2）2（三-）当=14a 1+ 人 1+ 人 b 喝口e2 h2h2 e2e2 入-2 2再将e=a、得-岸=1,.2= - - 1,嘉（